人教A版（2019）安徽省休宁中学2023-2024学年度高一上学期数学期末测试卷(含解析）

休宁中学2023-2024学年度高一上学期数学期末测试卷
考试范围：必修一全册 考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. D. 或
4.设，，，则下列大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
6.实数，满足，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是 ( )
A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D.
8.已知函数设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 的一个必要不充分条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知，，则的否定对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
10.下列命题中正确的是( )
A.
B. 的最小值是
C. 当时，
D. 若，则的最大值是
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 若函数关于对称，则的最小值为
C. 若函数在上单调，则的取值范围是
D. 若，当时，函数的所有零点的和为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则满足的的取值范围是__________.
13.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
14.已知函数，，若，且在上单调递增，则的值为__________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
若，且，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知
求的值；
若，求及的值．
17.本小题5分
设函数，其中．
若不等式的解集为，求的值；
若时，，，，求的最小值；
若，求不等式的解集．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
是否存在实数满足对任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．
根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．
【解答】
解：，集合，
，
，
又，
实数的取值范围是．
故选：．
2.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了不等式的概念及性质，属于基础题．
根据不等式性质及取特殊值法来判断即可．
【解答】
解：对于，若，则，故A错误
对于，若，，则，故B错误
对于，若，，可得，若，，可得，则，
故C正确
对于，若，，则，故D错误．
故选C．
3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. 或 B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，方程的根与系数的关系，确定出，，的值是解题的关键，属于基础题．
根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可．
【解答】
解：由不等式的解集为，得到，
方程的两个根分别为，，
由韦达定理得：，，
所以，，，
所以不等式可化简为，即，
解得或，
所以不等式的解集为或
故选A．
4.设，，，则下列大小关系正确的是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查指数函数、对数函数的单调性，考查指数幂和对数的运算，属于基础题．
根据对数函数的单调性可得，同时可得，，继而可得出结果．
【解答】
解：，
，
，
可得，
故选C．
5.已知，，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式， 两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，属于中档题．
由题可得， ，所以，可求得和的值，再求的值即可．
【解答】
解：，，
又，， ，
，
，
，
．
故选D．
6.实数，满足，且，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题．
由已知，可得，利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：，
，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：．
7.已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是 ( )
A. 的图象关于原点对称 B. 的值域为
C. 在上单调递减 D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查幂函数及其性质，判断函数的奇偶性、单调性和值域，属于基础题．
由已知求得，进而求得，再逐一判断即可．
【解答】
解：由已知得，解得或，
当时，既不是奇函数也不是偶函数，
当时，是偶函数，
所以，则，故B错误；
，故是偶函数，图像关于轴对称，故A错误；
因为函数在上单调递增，
又函数在上单调递增，且，
由复合函数单调性可得在上单调递增，故C错误；
，故D正确．
故选D．
8.已知函数设为实数，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查分段函数，函数值域的应用，是较难题．
先求出的值域，再根据存在实数，使得成立，再求解的范围即可．
【解答】
解：解：当时，，
，当且仅当时取等号，
的取值范围是，
当时，，
的取值范围是，
要存在实数，使得成立，
则函数即，
，
解得：．
故选B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 的一个必要不充分条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知，，则的否定对应的的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合的个数为
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查集合和简易逻辑的综合，属于基础题．
根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，全称量词命题的否定逐一判断即可．
【解答】
解：对于、因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于、若集合中只有一个元素，
当时，，符合题意，
又，解得，故B不正确；
对于、已知：，
即，故对应的的集合为，故C正确；
对于、由，得，
故集合的个数为，故D不正确．
故选AC．
10.下列命题中正确的是( )
A.
B. 的最小值是
C. 当时，
D. 若，则的最大值是
【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了由基本不等式求最值，属于一般题．
利用基本不等式，需要一正二定三相等，分别判断即可．
【解答】
解：对于选项A中的式子，，
，
当且仅当，即时取等号，故A正确；
对于选项B中的式子，，
，
当且仅当时取等号，但是此时无解，
所以最小值不是，故B错误；
对于选项C中的式子，，
当时，没有最小值，故C错误；
对于选项D，，，
又，，
当且仅当时取等号，故D正确．
故选：．
11.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 函数的值域为
B. 若函数关于对称，则的最小值为
C. 若函数在上单调，则的取值范围是
D. 若，当时，函数的所有零点的和为
【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查三角函数性质的应用，属于较难题．
选项，，可得出值域；选项，利用对称性，可得出，得出的最小值；选项，函数在相邻的两条对称轴之间单调，即可求出的取值范围；选项，求出零点的值，即可求和．
【解答】
解：，则函数的值域为，所以选项A正确；
由函数关于对称可得，，
，
，的最小值为，所以选项B正确；
若函数在上单调，则，解得，所以选项C错误；
若，则 ，
令 ，即 ，
当时，则 ，，
，所以选项D正确．
故选ABD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则满足的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】【分析】
本题考查分段函数及不等式求解，涉及指数与对数函数性质的应用，属于基础题．
分和进行讨论，即可求解得到答案．
【解答】
解：时，则 ，解得；
时，则 ，解得．
综上可得的取值范围是．
故答案为：．
13.已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于基础题．
设，按二次项系数是否为进行分类讨论，当二次项系数不为时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于，根的判别式小于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围．
【解答】解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则
解得：，
综上，的取值范围为
故答案为
14.已知函数，，若，且在上单调递增，则的值为__________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查正弦函数的图象与性质，三角恒等变换的综合应用，属于综合题．
【解答】
解：，
由，
得，故，，，
又在上单调递增，
，．
故当时，．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
求；
若，且，求实数的取值范围．
【答案】解：由，得，所以，
所以，
由，得，
所以
由，得，
所以，解得
即
所以实数的取值范围．
【解析】本题考查交集，并集，补集运算，及并集和补集的混合运算，考查子集概念，考查集合关系中的参数范围问题，属于基础题．
选求出，再进行与的并集运算即可
依条件，是的子集，由此即可得出的范围．
16.本小题分
已知
求的值；
若，求及的值．
【答案】解：，
所以．
解：因为，
所以，
．
【解析】本题考查三角函数的化简求值问题，考查同角三角函数的基本关系与诱导公式，属于中档题．
根据诱导公式化简即可；
由条件可得，利用诱导公式和二倍角公式即可求解．
17.本小题分
设函数，其中．
若不等式的解集为，求的值；
若时，，，，求的最小值；
若，求不等式的解集．
【答案】解：不等式的解集为，
和是方程的两个实根，且，
从而有，解得；
，，
又，，
所以
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为．
因为，可得，
即可得，即，
，
当时，方程的根，，
故不等式的解集为
当时，方程的根，，
当，即时，即可得；
当，即时，即可得；
当，即时，即可得；
综上所得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为．
【解析】本题考查一元二次不等式解集与相应一元二次方程根的关系，考查利用基本不等式求最值的应用，含参的一元二次不等式的解法，属于中档题．
由题可知和是方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得到关于，的方程组，求解即可得到，的值；
由题，，，可得，利用基本不等式即可求解的最小值．
将不等式化简然后对的值分类讨论进行求解即可得．
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，且当时，
求函数的解析式；
当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】解：当时，，
则当时，，所以，
又是奇函数，，故，
当时，，
故函数
由，可得．
是奇函数，．
又是减函数，所以对恒成立．
令，则，
对恒成立．
方法一：令， ，
因为二次函数开口向上，所以为，中较大的值，
，解得．
实数的取值范围为．
方法二分离参数法对恒成立．
记，函数在区间上单调递减，
所以 ，
实数的取值范围为．
【解析】本题考查函数的奇偶性及函数解析式的求解，同时考查不等式恒成立问题及二次函数，属于较难题．
当时，，再由，求解当时，，故可得答案；
由已知可得恒成立，令，，则，即对恒成立．
方法一：利用二次函数性质可得，解出即可；
方法二：分离参数可得对恒成立，记，由函数的单调性即可求出答案．
19.本小题分
已知函数，的最小正期为．
求的值域；
方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
是否存在实数满足对任意，都存在，使成立．若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】解：函数，
的最小正周期为，，
，．
那么的解析式，
则当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．
所以函数的值域为．
方程在上有且有一个解，转化为函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．
，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，且，，，
或，
所以或．
由可知，．
实数满足对任意，都存在，使得成立．
即成立，
令，
设，则，
，，
可得在上恒成立．
令，其对称轴，，
当，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，，解得；
当，即时，，解得 ；
综上可得，存在，可知的取值范围是

【解析】本题考查三角函数的性质考查函数与方程的综合应用，考查不等式的恒成立问题，属于较难题．
根据三角函数的恒等变换，得到，进而可得结果；
问题等价于函数的图象与函数的图象在上只有一个交点．求出在上单调性，进而得解．
问题等价于对任意，成立．设，则有在上恒成立．借助二次函数的性质，即可求得的取值范围．