屯溪一中2023-2024学年度高二上学期期末数学测试卷
考试范围：选修一全册、选修二第四章数列；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点，，，则( )
A. 与是共线向量
B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
2.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
3.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为( )
A. B. C. D.
4.过点且与原点距离最大的直线方程为( )
A. B.
C. D.
5.若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
6.圆关于直线对称的圆的方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
8.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在个点到直线的距离都等于
10.已知曲线，则下列结论正确的是 ( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为_________．
13.已知正项数列中，，，，则数列的前项和为_________．
14.已知椭圆，与双曲线具有相同焦点、，且在第一象限交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的最小值是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题3分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求 的长度．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式； 记求．
17.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
19.本小题7分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．屯溪一中2023-2024学年度高二上学期期末数学测试卷
考试范围：选修一全册、选修二第四章数列；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三点，，，则( )
A. 与是共线向量
B. 与共线的单位向量是
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查共线向量、单位向量，平面的法向量，空间向量的夹角，属于中档题．
根据共线向量、单位向量、空间向量夹角的求法、法向量的概念求解即可，
【解答】
解：，，，所以与不共线，所以A错误
与共线的单位向量为或，所以B错误
，所以，，所以C错误
设平面的法向量是，则，即，
所以令，可得，，所以D正确．
故选D．
2.设，，向量，，，且，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间向量的坐标运算以及模的计算，属于基础题．
先求出，，求出，再利用模的公式解决．
【解答】
解：由题意得，解得，
再由 得，解得，
故，
所以，
故选C．
3.已知公差不为零的等差数列中，，，，成等比数列，则等差数列的前项和为 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力．
设等差数列的公差为，由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，再由等差数列的求和公式，计算可得所求和．
【解答】
解：公差不为零的等差数列中，，
可得，即，即，
，，成等比数列，可得，即，
解方程可得，，
前项和，
故选：．
4.过点且与原点距离最大的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．
先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．
【解答】
解：要使过点的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线垂直，
由，则所求直线的斜率为，
直线的方程为，
即．
故选A．
5.若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用点斜式求直线的方程，求直线方程是解析几何常见的问题之一，属于中档题．
求直线方程时，要注意斜率是否存在．
【解答】
解：根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段的中点．
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，
故选C．
6.圆关于直线对称的圆的方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】
由题意可得两圆的圆心的连线和对称轴垂直，斜率之积等于，求出的值．
本题主要考查两个圆关于一条直线对称的性质，属于中档题．
【解答】
由于圆的圆心为，圆的圆心为，又两圆关于直线对称，故有，解得．
7.已知，是双曲线的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆与双曲线的简单几何性质、椭圆的定义、双曲线的定义，是中档题．
设 ，由椭圆及双曲线定义和勾股定理可得离心率的值．
【解答】
解：根据题意设 ，
设椭圆长半轴长为 ，短半轴长为 ，双曲线实半轴长为 ，虚半轴长为，设的中点为，
则由椭圆及双曲线定义可得 ，
又因为 ，且 分别为 ，的中点，所以 ，
所以 到渐近线 的距离为 ，
所以 ， ，
结合 ，可得
因为 ，所以 即 ，
整理得，将代入得 ，
又，所以椭圆的离心率是．
故选A．
8.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图所示，为圆的切线，为切点，为割线，则如图所示，在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上的任意一点，过点作直线垂直于点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，向量数量积的运算，利用余弦定理解三角形，属于较难题．
先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案．
【解答】
解：连接，
在中，因为是的中点，点是圆上的任意一点，
所以，平方得，
将代入可得
，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故选：．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下四个命题表述正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在个点到直线的距离都等于
【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查直线和圆的位置关系，两圆的位置关系，两个圆的公切线的条数，以及直线过定点问题．
对于，将方程写成，然后由求解即可．
对于，根据题意设的坐标为，圆心为，由切线的性质得点在以为直径的圆上，求出圆的方程，将两个圆的方程相减求出公共弦所在的直线方程，再求出直线过的定点坐标即可．
对于，把圆的方程化为标准形式，分别求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，由圆与圆有三条公切线可得两圆外切，进而得到两圆的圆心距等于两圆的半径和，即可判断．
对于，分析圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离，结合，即可判断．
【解答】
解：对于，直线，
即，
由，解得
所以直线过定点，A错误
对于，因为点为直线上一动点，
所以设，
显然点不能在圆上，即或，
因为、是圆的两条切线，切点分别为、，为圆心，
所以，
所以点在以为直径的圆上，
即弦是圆和圆的公共弦．
因为圆心的坐标是，且半径，
所以圆的方程为 ，
又，
所以，得，
即公共弦所在的直线方程为，
所以由，得
所以直线过定点，B正确；
对于，曲线，即，
则圆心，半径为，
曲线，即，
则圆心，半径为，
两圆的圆心距为，
因为圆：与圆：有三条公切线，
则两圆属于外切的位置关系，
所以，解得，C正确；
对于，圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离，
又因为，
所以圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，D错误；
故选BC．
10.已知曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若曲线是椭圆，则其长轴长为
B. 若，则曲线表示双曲线
C. 曲线可能表示一个圆
D. 若，则曲线中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查椭圆，双曲线，圆的概念及标准方程以及直线与椭圆的位置关系，属于中档题．
先根据的符号以及与的关系可得曲线的类型可分析，，选项，之后联立直线和椭圆的方程，运用韦达定理结合弦长公式可分析选项．
【解答】
解：由题意：
若，根据双曲线的定义可知曲线表示双曲线，选项B正确
因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
故曲线不可能表示一个圆，选项C错误
若曲线是椭圆，则，
因为，
所以椭圆的焦点在轴上，
故其长轴长为，选项A错误
若，则曲线为椭圆，方程为，焦点坐标为，
当过焦点的直线斜率为时，此时该直线截椭圆的弦长为；
当过焦点的直线斜率不为时，不妨设该直线过椭圆的右焦点，方程为，与椭圆的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即，
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为．
选项D正确．
故选BD．
11.如图，在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查面面垂直的判定、直线与直线所成角的向量求法、平面与平面所成角的向量求法以及点线距离的向量求法，属于较难题．
以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用面面垂直的判定定理、直线与直线所成角的向量求法、平面与平面所成角的向量求法以及点线距离等相关知识逐项判断即可．
【解答】
解：以为坐标原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，
所以，，，
所以，，所以，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确
因为，所以，
所以，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B错误；
因为，所以，设平面的法向量为，则
令，解得，，所以，
又易得平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为，故C正确
设，
所以，
所以，，
所以点到直线的距离，
当且仅当时，等号成立，所以点到直线的距离的最小值为，D错误．
故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且与圆相切的直线方程为__________．
【答案】或
【解析】【分析】
本题主要考查了圆的切线方程和点到直线的距离公式以及直线的斜率等知识点，属于基础题．
根据题意分斜率存在和不存在两种情况分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程．
【解答】
解：当，时，，所以点在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，
当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或；
故答案为或．
13.已知正项数列中，，，，则数列的前项和为_________．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的判定或证明，等差数列的通项公式，裂项相消法求和，属于较难题．
由题可得，可知数列是首项为，公差的等差数列，得到数列的通项公式，进而得到，即可得到数列的通项公式，再利用裂项相消法得到数列的前项和为 ，即可求出数列的前项和．
【解答】
解：由，得，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
又因为，所以，
所以，
所以数列的前项和为 ，
令，则．
故答案为．
14.已知椭圆，与双曲线具有相同焦点、，且在第一象限交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为、，若，则的最小值是_________ ．
【答案】
【解析】【分析】
本题考查了圆锥曲线的综合应用，结合余弦定理、基本不等式等，对椭圆、双曲线的性质进行逐步分析，属于难题．
通过椭圆与双曲线的定义，用 和 表示出的长度，根据余弦定理建立 的关系式，根据离心率的定义 表示出两个离心率的平方和，利用基本不等式即可求得最小值．
【解答】
解：由题意可得 ，
所以解得
在 中，根据余弦定理可得，
代入得，
化简得，
而
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为，
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体，底面是正方形，，，，，，设，，．
试用、、表示；
求 的长度．
【答案】解： ．
，
，
所以
．
【解析】本题考查空间向量的线性运算，空间向量的数量积运算，属于基础题．
，由此能求出结果．
由题意，结合，由此能求出的长度．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式； 记求．
【答案】解：由，得，
两式相减得，即，
又，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
也符合，故，
，，
是以为首项，为公差的等差数列，
；
，
，
由得：，
，
．
【解析】本题考查了数列的递推关系，等差数列和等比数列的通项公式，利用错位相减法进行数列求和，属于中档题．
由，得，两式相减得，即，从而得出是以为首项，为公比的等比数列，得出的通项公式；通过，可得出是以为首项，为公差的等差数列，得出的通项公式；
依题意，，
则，由 ，结合等比数列的求和公式经过化简可得出结果．
17.本小题分
如图，在边长为的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】解：证明：因为，
所以．
又因为，，平面，
所以平面．
因为平面，
所以．
又因为，，平面，
所以平面．
解：因为平面，，
所以以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，．
所以，．
设平面的法向量，
由，令，得
因为平面，所以平面的法向量，
所以，．
因为所求二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
假设在线段上存在一点，使得平面平面．
设，，
则．
所以．
所以，．
设平面的法向量，
由，得
令，得
因为平面平面，
所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．
【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，属于中档题．
由，得，由，得平面，从而，进而，由此能证明平面．
以为原点，分别以，，为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
设，，推导出求出平面的法向量，利用向量法能求出在线段上存在点，使得平面平面，且．
18.本小题7分
已知圆的圆心在直线上，且过圆上一点的切线方程为．
求圆的方程；
设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
【答案】解：由题意，过点的直径所在直线方程为，
联立 ，
解得
圆心坐标为，半径 ，
圆的方程为；
设圆心到直线的距离为，
则的面积，
由于，
当，即时面积最大为．
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时到的距离为；
故直线斜率存在，设为，则直线的方程为，
由到的距离，
解得或，
故此时直线方程为或．
【解析】本题考查圆的方程的求法，直线方程以及直线与圆的位置关系，考查掉到直线的距离公式的运用，以及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由题意，求出过点的直径所在直线方程，圆心为两条直线的交点，由此得到所求；
设圆心到直线的距离为，求出的面积，利用基本不等式求出时面积最大为，设直线的方程为，利用掉到直线的距离公式求出，即可求解．
19.本小题分
已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为．
求椭圆的标准方程；
设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为若为一动点，点满足 试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．
【答案】解：抛物线的焦点为，
过垂直于轴的直线截所得的弦长为，
所以，解得，
所以，
又椭圆的离心率为，
，
椭圆的方程为；
设，，，
则由，
得 ， ，
点在椭圆上，
所以， ， ，
故
，
设分别为直线的斜率，
由题意知， ，
因此，
所以，
所以点是椭圆上的点，
由知，又 ，
，
恰为椭圆的左、右焦点，
由椭圆的定义，为定值．
【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程，考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆锥曲线相交弦长问题，圆锥曲线中的定值问题，涉及向量的几何应用和坐标运算，属于难题．
根据题意得到，再由直线截所得的弦长为，进而得到，即，结合椭圆的离心率为，求出，即可得到椭圆的方程；
设，，，由，得 ，，再根据点在椭圆上，结合直线的斜率之积为，得到，进而知点是椭圆上上的点，利用求出，再根据由椭圆的定义，可知为定值．
