歙县中学2024-2025学年度高三上学期期末考试数学测试卷
考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
2.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知中，，，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
6.在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线：，圆：其中为常数，过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是( )
A. B. C. D.
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某类汽车在今年至月的销量单位：千辆如表所示其中月份销量未知：
月份
月销量
若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 残差绝对值最大为
C. 样本相关系数
D. 当解释变量每增加，响应变量增加
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A.
B. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称
C. 是函数的极大值点
D. 当时，函数的值域为
11.如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于下列选项中正确的有( )
A. 的最小值为
B. ：：时，：：
C. 三棱锥被平面分割成的两部分体积相等
D. 当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线：上，则的离心率为_________．
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛分制，若比分打到：时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了：，此局比赛结束时，两人的得分总和为，则此时的概率__________．
14.由函数图象上一点向圆：引两条切线，切点分别为点、，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为________，此时_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求的值．
16.本小题5分
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市个月的空气月平均相对湿度
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月
甲地
乙地
Ⅰ从上表个月中，随机取出个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
Ⅱ从上表第一季度和第二季度的个月中随机取出个月，记这个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；
Ⅲ若，设乙地上表个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．只需写出结论
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，，连接，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角正弦值的大小．
本小题分
已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
求点的轨迹方程，并指出轨迹．
当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对于各项均为整数的数列，如果满足为完全平方数，则称数列具有“性质”；
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：，，，，是，，，，的一个排列；数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
Ⅰ设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
Ⅱ试判断数列，，，，和数列，，，，是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
Ⅲ对于有限项数列：，，，，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”．歙县中学2024-2025学年度高三上学期期末考试数学测试卷
考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：因为集合是全体奇数，
是除以余的奇数，
则，
所以．
故选：．
判断集合，的关系，再利用交集的定义求解即得．
本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
2.已知复数满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由为复平面内复数对应的点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
是点到点的距离，则．
故的最大值为．
故选：．
根据给定条件，利用复数模的几何意义，结合圆的性质求出最大值．
本题考查复数模的几何意义，考查圆的性质，是基础题．
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，，
则，，
又，，
，
综上所述，．
故选：．
利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
4.已知中，，，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：已知中，，，，且，
则，
故．
故选：．
由已知及向量的数量积公式即可求得．
本题考查了平面向量数量积的运算，属基础题．
5.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：由数列为等差数列，且，，
则，解得，，
．
故选：．
根据等差数列的定义求得首项和公差，代入求和公式即可求得．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
6.在的二项展开式中，含的奇次幂的项之和为，当时，等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：由题得，
所以当时有，
当时有，
所以得，
故．
故选：．
利用二项式定理得的二项展开式，令分别取、得到两等式，令两等式相减即可得解．
本题考查二项式定理的应用，属于中档题．
7.已知抛物线：，圆：其中为常数，过点的直线交圆于、两点，交抛物线于、两点，且满足的直线只有三条的必要条件是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线、圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．
当轴时满足题意；当直线不垂直轴时设直线，分别联立抛物线、圆的方程并消去，得出关于的方程，设，根据列出方程，结合必要条件的概念即可得出结果．
【解答】解：由题意可知，当轴时，
直线与抛物线交于，与圆交于，满足题意；
当直线不与轴垂直时，设直线，，
设，
则，可取，
由和抛物线、圆的对称性，可得，
若，则，
即，解得，此时直线轴；
若，则，
即，即，
所以当时，仅有条．
有
则是满足的直线只有三条的必要条件．
故选D．
8.若函数有两个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：令，
所以．
令，定义域为，，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选：．
进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可．
本题主要考查函数的导数的应用，函数的极值研究单调性的判断，考查函数的零点的判定定理的应用，属于难题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.某类汽车在今年至月的销量单位：千辆如表所示其中月份销量未知：
月份
月销量
若变量与之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是( )
A.
B. 残差绝对值最大为
C. 样本相关系数
D. 当解释变量每增加，响应变量增加
【答案】AB
【解析】解：对于选项A，由题意知，
代入方程得，即，
解得，故选项A正确；
对于选项B，月份的残差为，月份的残差为，
月份的残差为，月份的残差为，
月份的残差为，所以残差绝对值最大为，故选项B正确；
对于选项C，由表格可知变量与呈正线性相关，则，故选项C不正确；
对于选项D，当解释变量每增加，响应变量不一定增加，故选项D不正确．
故选：．
对于，根据回归直线必过样本中心点可解得；对于，根据残差的定义计算，即可判断；对于，根据表格和相关系数的意义，即可判断；对于，根据相关关系的定义，即可判断．
本题主要考查了线性回归方程的性质，考查了残差的定义，以及相关系数的性质，属于基础题．
10.已知函数，则下列选项正确的是( )
A.
B. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于原点对称
C. 是函数的极大值点
D. 当时，函数的值域为
【答案】BCD
【解析】解：：由得，，
，故A错误．
：由题意得，，
则，
得为奇函数，图象关于原点对称，故B正确．
：由得，，
当时，，，
当时，，，
在上为增函数，在上为减函数，是函数的极大值点，故C正确．
D.由可知，
当时，，
结合选项C可得，在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数．
，，
，，
，，
故函数的值域为，选项D正确．
故选：．
计算可得选项A错误；计算平移之后的函数表达式，得到奇函数，选项B正确；分析函数在上为增函数，在上为减函数，可得选项C正确；分析函数在的单调性，计算最值，可得选项D正确．
本题考查了正弦函数的图像性质，考查了学生的逻辑推理能力以及运算技巧能力，属于中档题．
11.如图：三棱锥中，面，，，，，，，分别为棱，，的中点，为棱上的动点，过，，的平面交于下列选项中正确的有( )
A. 的最小值为
B. ：：时，：：
C. 三棱锥被平面分割成的两部分体积相等
D. 当为中点时，，，，，五点在一个球面上，且球的半径为
【答案】ABC
【解析】解：作出与的展开图，如图所示．
则当，，三点共线时，最小，
最小值为，故A选项正确；
由题意得，故BA，又面，
故以为原点，建系如图，
则，，，，
，，设，则，
若：：，则，而，，
设面的法向量，故，，
则，，令，解得，，
故，设面任意一点坐标为，
可得面的方程为，当，时，，
故，显然：：成立，故B正确，
三棱锥上部分被平面截为，，三部分，设原体积为，
设：：，，
，
，
故，
则三棱锥被平面分割成的两部分体积相等，故C正确，
若为中点，则，，
，，设面的法向量，
则，，则，，
令，解得，，故，
故，则面的方程为，
当，时，解得，，
设过，，，的球方程为，将点代入方程，
可得，，
，解得，，，，
故球的方程为，经检验，也在该球上，
故，，，，五点共球，且球的半径为，故D错误．
故选：．
作出与的展开图，即可求解选项问题，建系，利用平面的方程处理，利用截面计算体积为定值处理，球的方程处理即可．
本题考查立体几何的综合应用，距离的最值的求解，几何体的外接球问题，属难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，，直线与的左、右两支分别交于点，，交于点，若点恒在直线：上，则的离心率为__________．
【答案】
【解析】解：如图所示：
设，，，，，
的中点，的中点，
则，两式相减，得，化简得，
所以，所以，同理，
因为，所以，，三点共线，所以，
将代入得，即，
因为，所以，即点恒在直线上，
又点恒在直线：上，所以，所以，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得，，利用三点共线表示点的坐标，代入已知直线方程得，即可求出离心率．
本题考查双曲线的性质，涉及中点弦问题，常采用点差法，属于中档题．
13.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛分制，若比分打到：时，需要一人比另一人多得两分，比赛才能结束已知甲赢得每一分的概率为，在两人的第一局比赛中，两人达到了：，此局比赛结束时，两人的得分总和为，则此时的概率_________．
【答案】
【解析】解：因为比赛结束时，两人的得分总和为，其中且两人的得分的差的绝对值为，
所以，且为偶数，
所以当，，时，，
当时，，
当，且为偶数时，
若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜一负，
所以事件甲赢得比赛的概率为，
同理乙赢得比赛的概率为，
所以，
时，的值也符合关系，
所以，，，，
故答案为：．
由条件分析的特点，讨论，结合比赛流程及概率乘法公式分别求甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，相加可得结论．
本题解决的关键在于认真审题，分析事件的特征，选择适当的概率运算公式求解，是中档题．
14.由函数图象上一点向圆：引两条切线，切点分别为点、，连接，当直线的横截距最大时，直线的方程为_________，此时 _________．
【答案】 ．
【解析】解：设点，则以线段为直径的圆的方程为，
整理得，与圆：相交，得直线：，
令，解得，令，则，
令，解得，令，解得，
在上单调递增，上单调递减，，
当直线的横截距最大时，点，
此时直线的方程为，
而，，
所以．
故答案为：；．
先写出的直线方程，再构造函数，求出横截距最大时，点坐标，最后求直线方程和角的余弦值．
本题考查圆的切点弦方程以及利用导函数求最值，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别是的内角，，的对边，且．
Ⅰ求；
Ⅱ若，，求的面积；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，求的值．
【答案】解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
由正弦定理可得，；
Ⅱ由Ⅰ知，
因为，，所以，
由余弦定理可得，，
整理可得，
解得或舍去，
所以；
Ⅲ由于，
．
所以
．
【解析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理，两角和的余弦公式，二倍角公式及三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．
Ⅰ由已知结合正弦定理先进行代换，然后结合和差角公式及正弦定理可求；
Ⅱ由余弦定理可求，然后结合三角形的面积公式可求；
Ⅲ结合二倍角公式及两角和余弦公式即可求解．
16.本小题分
流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气月平均相对湿度过大或过小时，都有利一些病毒繁殖和传播，科学测定，当空气月平均相对湿度大于或小于时，有利于病毒繁殖和传播．下表记录了某年甲、乙两个城市个月的空气月平均相对湿度
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月 月
甲地
乙地
Ⅰ从上表个月中，随机取出个月，求该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率；
Ⅱ从上表第一季度和第二季度的个月中随机取出个月，记这个月中甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份的个数为，求的分布列；
Ⅲ若，设乙地上表个月的空气月平均相对湿度的中位数为，求的最大值和最小值．只需写出结论
【答案】解：Ⅰ设事件：从上表个月中，随机取出个月，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播，用表示事件抽取的月份为第月，共有个基本事件，
共个基本事件，
所以，该月甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．
Ⅱ在第一季度和第二季度的个月中，
甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有月和月，
故所有可能的取值为，，．
，，．
随机变量的分布列为：
Ⅲ，设乙地上表个月的空气月平均相对湿度的中位数为，
则的最大值为，最小值为．
【解析】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列求法，考查中位数的求法，属于较难题．
Ⅰ利用列举法能求出甲地空气月平均相对湿度有利于病毒繁殖和传播的概率．
Ⅱ在第一季度和第二季度的个月中，甲、乙两地空气月平均相对湿度都有利于病毒繁殖和传播的月份只有月和月，所有可能的取值为，，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列．
Ⅲ，设乙地上表个月的空气月平均相对湿度的中位数为，由此能求出的最大值，最小值．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，，，，连接，，．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角正弦值的大小．
【答案】解：证明：因为，，
所以，
又，
所以，
根据余弦定理知，
又，，，
所以，，，
于是，
所以，
，
于是，
因为，
所以平面，又平面，
所以平面平面．
如图，以点为原点，分别以，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
于是，
设平面的法向量为，
又，，
于是，
所以不妨取，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据勾股定理得出，，再利用面面垂直的判定定理即可得证；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
本题考查面面垂直的判定以及向量法的应用，属于中档题．
18.本小题分
已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
求点的轨迹方程，并指出轨迹．
当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：由题设有，，
设，则，，
由题可得直线的方程为，
直线的方程为，
当时，由可得，
故，变形得，
当时，，故点的轨迹过，
综上，点的轨迹的方程，
轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线；
如图，
当时，点的轨迹方程，故A，
由题设可得的斜率不为零，设，，，
又，，
故，
故以、为直径的圆的方程为，
，
由，可得，
，
而，
故，
故以、为直径的圆的方程可化简为，
其中，令，
解得或，
故以、为直径的圆过定点，其坐标为，．
【解析】设，根据直线以为方向向量、直线以为方向向量可得、，消参后可得轨迹方程；
设，，，则可得、为直径的圆的方程为：，可证，故可求圆所过的定点．
本题考查了圆锥曲线的性质及直线与圆锥曲线位置关系的综合应用，属于难题．
19.本小题分
对于各项均为整数的数列，如果满足为完全平方数，则称数列具有“性质”；
不论数列是否具有“性质”，如果存在与不是同一数列的，且同时满足下面两个条件：，，，，是，，，，的一个排列；数列具有“性质”，则称数列具有“变换性质”．
Ⅰ设数列的前项和，证明数列具有“性质”；
Ⅱ试判断数列，，，，和数列，，，，是否具有“变换性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列，不具此性质的说明理由；
Ⅲ对于有限项数列：，，，，，某人已经验证当时，数列具有“变换性质”，试证明：当时，数列也具有“变换性质”．
【答案】解：Ⅰ当时，，
又，所以
所以是完全平方数，
则数列具有“性质”．
Ⅱ数列，，，，具有“变换性质”，
数列为，，，，．
数列，，，，不具有“变换性质”．
因为，都只有与的和才能构成完全平方数，
所以数列，，，，不具有“变换性质”．
Ⅲ设，，
注意到，
令，
由于，，所以，
又，，
所以，
即
因为当时，数列具有“变换性质”，
所以，，，，，可以排列成，，，，，
使得都是平方数；
另外，，，，可以按相反顺序排列，
即排列为，，，，
使得，
，，
所以，，，，，，，，
可以排成，，，，，，，满足都是平方数．
【解析】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，属于困难题．
Ⅰ由题意知所以是完全平方数，数列具有“性质”．
Ⅱ由题设条件知：数列，，，，具有“变换性质”，数列为，，，，数列，，，不具有“变换性质”以数列，，，不具有“变换性质”．
Ⅲ设，，令，则由此可知当时，数列也具有“变换性质”．
