2024-2025 学年九年级期末测试卷
数学
一．选择题
1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A. 21 B.
1
12 C. D. 32
2
2. 一元二次方程 x2 3x 0的解是（ ）
A. x 3 B. x1 0, x2 3 C. x1 0, x2 3 D. x1 0, x2 3
3. 若 2a 5b a 0 a b， 值为（ ）
a b
3 3 3 7
A. B. C. D.
7 7 5 3
4. 学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排56场比赛，应邀
请多少个球队参加比赛？设邀 x个球队参赛，根据题意列方程正确的是（ ）
1
A. x x 1 56 1B. x x 1 56
2 2
C. x x 1 56 D. x x 1 56
5. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（ ）
A. 12种 B. 6种 C. 4种 D. 3种
6. 如图，点 A在线段 BD上，在 BD的同侧作30o角的直角三角形 ABC和30o角的直角三角形 ADE，CD与
BE，AE分别交于点 P，M，连接 PA对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP MD MA ME；③图中有 5对相似三角形；④ AP CD其中结论正确的
个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 规定：对于任意实数 a、b、c，有【a，b】★c ac b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如
【2，3】★1 2 1 3 5．若关于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有两个不相等的实数根，则 m的取值范
围为（ ）
m 1 1A. B. m C. m 1 1 且m 0 D. m 且m 0
4 4 4 4
8. 直线 y＝3x与 x轴正半轴的夹角的锐角为α，那么下列结论正确的是( )
1
A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3
3
9. 已知函数 y x2 4ax 5（a为常数），当 x 4时，y随 x增大而增大．P x1, y1 ,Q x2 , y2 是该函数
2
图象上的两点，对任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 总满足 y1 y2 5 4a ，则实数 a的取
值范围是（ ）
A. 1 a 2 B. 1 a 2 C. 2 a 3 D. 2 a 4
10. 如图，菱形 ABCD∽菱形 AEFG，菱形 AEFG的顶点 G在菱形 ABCD的 BC边上运动，GF 与 AB相
交于点 H， E 60 ，若CG 6， AH 14，则菱形 ABCD的边长为（ ）
A. 18 3 B. 16 3 C. 18 D. 16
二．填空题
11. 3 tan 30 tan 45 2sin 60 ______．
12. 如图，已知点M a,b 是函数 y x2 x 2图象上的一个动点.若 a 1，则b的取值范围是
__________.
13. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处， AB与CD
相交于 O，则 cot BOD的值等于________．
14. 如图 1，在矩形 ABCD中，动点 P从点 B出发，沿 B C D A的路径匀速运动到点 A处停止．设
点 P运动路程为 x， PAB的面积为 y，表示 y与 x的函数关系的图象如图 2所示；则下列结论：① a 4；
②b 20；③当 x 9时，点 P运动到点 D处；④当 y 9时，点 P在线段 BC或DA上，其中所有正确结
论的序号的是________．
15. 用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图 1，在Rt△ABC中， ACB 90 ， B 30 ，AC 2．第
一步，在 AB边上找一点 D（不与点 A，B重合），将纸片沿CD折叠，点 A落在 A 处，如图 2；第二步，
将纸片沿CA 折叠，点 D落在 D 处，如图 3．当点D 恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段 A D 的长
为________．
三．解答题
0
16. （1）计算： 6 3 2 8 2cos 45 1 1 20212
（2）用公式法解方程： x2 2x 4 0
17. 图①、图②、图③均是 5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，其顶点称为格点，V ABC的
顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中V ABC 的形状是 ．
（2）在图①中确定一点 D，连结DB、DC，使△DBC与V ABC全等．
（3）在图②中V ABC的边 BC上确定一点 E，连结 AE，使 ABE∽ CBA．
（4）在图③中V ABC 的边 上确定一点 P，在边 BC上确定一点 Q，连结 PQ，使△PBQ∽△ABC ，且
相似比为3:5．
18. 一个盒子中装有 1个红球、1个白球和 2个蓝球，这些球除颜色外都相同.
（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ；
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能
的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（红色和蓝色在一起可配成紫色）
（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，
那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .
19. 已知二次函数 y1 ax x m a 0 和一次函数 y2 ax b a 0 ．
（1）二次函数 y1的图象过 1,0 , 2,2 点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数 y2与二次函数 y1的图象交于 x轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：b am；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求 m的值．
20. 疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充
分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！
改革开放 40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面
示意图如图②，点 F在线段 HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点 E，AE的延长线交 HG于点 G，经
测量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段 AG的长度；（结果精确到 0.1m）
（2）连接 AF，当线段 AF⊥AC时，求点 F和点 G之间的距离．（结果精确到 0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，
tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
21. 新华商场销售某种电子产品，每个进货价为 40元，调查发现，当销售价格为 60元时，平均每天能销售
100个；当销售价每降价 1元时，平均每天多售出 10个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每
天达到 2240元．
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照
几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
BC AB
22. 我们知道：如图①，点 B把线段 AC分成两部分，如果 ，那么称点 B为线段 AC的黄金分
AB AC
5 1
割点．它们的比值为 ．
2
（1）在图①中，若 AC 20cm，则 AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为 20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD得折痕 EF ，连接CE，将
CB折叠到CE上，点 B对应点 H，得折痕CG．试说明：G是 AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为 a的正方形 ABCD的边 AD上任取点 E AE DE ，连接 BE ，
作CF BE，交 AB于点 F，延长 EF、CB交于点 P．他发现当 PB与 BC满足某种关系时，E、F恰好
分别是 AD、 AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
x 2 x 2
23. 有这样一个问题：探究函数 y 的图象和性质．小军根据学习函数的经验，对函数 y 的
2 x 2 x
图象和性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y x 2 的自变量 x的取值范围是 ：
2 x
（2）下表是 y与 x的几组对应值：
1
x … 5 1 4 3 2 1 2 1 2 3 4 5 …2
29 5 13 5 17 17 5 5 29
y … 2 2 m …
10 2 6 2 4 4 2 2 10
①其中，m ；
②如图，在平面直角坐标系 xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函
数的图象；
（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 2,2 ．结合函数图象，写出该函数的
其它性质（写出一条即可）： ．
x 2 5
（4）结合函数图象，请直接写出 时，x的取值范围： ．
2 x 22024-2025 学年九年级期末测试卷
数学
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A. 21 B. 12 C.
1 D. 32
2
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 21是最简二次根式，故此选项符合题意；
B、 12 2 3，故此选项不符合题意；
C 1 2、 ，故此选项不符合题意；
2 2
D、 32 4 2 ，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）
被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. 一元二次方程 x2 3x 0的解是（ ）
A. x 3 B. x1 0, x2 3 C. x1 0, x2 3 D. x1 0, x2 3
【答案】D
【解析】
【分析】根据因式分解法即可求出答案
【详解】解：∵ x2 3x 0，
∴ x( x 3) 0，
∴ x1 0, x2 3，
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
2a 5b a 0 a b3. 若 ， 值为（ ）
a b
3 3 3 7
A. B. C. D.
7 7 5 3
【答案】D
【解析】
b 2【分析】本题考查了比例的性质，由题意可得 a，代入计算即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题
5
的关键．
【详解】解：∵ 2a 5b，
∴b 2 a，
5
2 7
a b a a a
5 5 7∴
a b a 2
3 ．
a a 3
5 5
故选：D．
4. 学校要组织篮球邀请赛，赛制采用双循环制（每两队之间要进行两场比赛）．计划安排56场比赛，应邀
请多少个球队参加比赛？设邀 x个球队参赛，根据题意列方程正确的是（ ）
1 1
A. x x 1 56 B. x x 1 56
2 2
C. x x 1 56 D. x x 1 56
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关
系．赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场）， x个球队比赛总场数为 x x 1 ，即可列方程．
【详解】解：设有 x个队，每个队都要赛 x 1 场，
由题意得： x x 1 56，
故选：C．
5. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1、2、3，从中同时随机抽出两张，所有等可能的结果有（ ）
A. 12种 B. 6种 C. 4种 D. 3种
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了列举法求等可能结果，根据题意列举所有等可能结果，即可求解．
【详解】解：从中同时随机抽出两张，所有等可能结果为：1、 2；1、3； 2、3这 3种结果，
故选：D．
6. 如图，点 A在线段 BD上，在 BD的同侧作30o角的直角三角形 ABC和30o角的直角三角形 ADE，CD与
BE，AE分别交于点 P，M，连接 PA对于下列结论：
①△BAE∽△CAD；②MP MD MA ME；③图中有 5对相似三角形；④ AP CD其中结论正确的
个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
AB AE 3
【分析】如图，设 AC与 PB的交点为 N，根据直角三角形的性质得到 ，根据相似三角形
AC AD 2
的判定定理得到△BAE∽△CAD，故①正确；根据相似三角形的性质得到∠BEA=∠CDA，推出
△PME∽△AMD，根据相似三角形的性质得到 MP MD=MA ME，故②正确；由相似三角形的性质得到
∠APM=∠DEM=90°，根据垂直的定义得到 AP⊥CD，故④正确；同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
于是得到图中有 5对相似三角形有 6对，故③不正确．
【详解】解：如图，设 AC与 PB的交点为 N，
∵∠ABC=∠AED=90°，∠BAC=∠DAE=30°，
AB AE 3
∴ ，∠BAE=30°+∠CAE，∠CAD=30°+∠CAE，
AC AD 2
∴∠BAE=∠CAD，
∴△BAE∽△CAD，故①正确；
∵△BAE∽△CAD，
∴∠BEA=∠CDA，
∵∠PME=∠AMD，
∴△PME∽△AMD，
PM ME
∴ ，
MA MD
∴MP MD=MA ME，故②正确；
PM AM
∴ ，
ME MD
∵∠PMA=∠EMD，
∴△APM∽△DEM，
∴∠APM=∠DEM=90°，
∴AP⊥CD，故④正确；
同理：△APN∽△BCN，△PNC∽△ANB，
∵△ABC∽△AED，
∴图中有 5对相似三角形有 6对，故③不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
7. 规定：对于任意实数 a、b、c，有【a，b】★c ac b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如
【2，3】★1 2 1 3 5．若关于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有两个不相等的实数根，则 m的取值范
围为（ ）
1
A. m B. m 1 1 C. m 且m 0 1D. m 且m 0
4 4 4 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到mx2 x 1 0，再由有两个不相等
的实数根得到 12 4 m 1 0，且m 0，即可得到答案.
【详解】解：∵【x, x 1】★ mx 0，【a，b】★c ac b
∴ x mx x 1 0，即mx2 x 1 0，
∵关于 x的方程【x, x 1】★ mx 0有两个不相等的实数根，
∴ 12 4 m 1 0，且m 0，
m 1解得 且m 0，
4
故选：D．
8. 直线 y＝3x与 x轴正半轴的夹角的锐角为α，那么下列结论正确的是( )
1
A. tanα＝3 B. tanα＝ C. sinα＝3 D. cosα＝3
3
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合一次函数图象上点的坐标性质得出 AB，OB的长，再利用锐角三角函数关系得出答
案．
【详解】如图所示：AB⊥x轴于点 B，
∵y=3x，A点在 y=3x的图象上，
∴设 BO=x，则 AB=3x，
AB 3x
故 tanα= = =3．
OB x
故选 A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数关系以及一次函数的图象上点的性质，正确把握相关定义是解题关
键．
9. 已知函数 y x2 4ax 5（a为常数），当 x 4时，y随 x增大而增大． P x1, y1 ,Q x2 , y2 是该函数
图象上的两点，对任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 总满足 y1 y2 5 4a
2
，则实数 a的取
值范围是（ ）
A. 1 a 2 B. 1 a 2 C. 2 a 3 D. 2 a 4
【答案】B
【解析】
b 4a
【分析】抛物线的对称轴为 x 2a，当 x 4时，y随 x增大而增大．由1 0，抛物线开口
2a 2
向上，在对称轴右侧，y随 x的增大而增大，抛物线对称轴在 x=4及左侧， 2a 4 ,解得 a 2，对任意的
2a 1 x1 5
2
和 2a 1 x2 5， y1, y2 总满足 y1 y2 5 4a ，由 2a 1 2a， y1 y2 差的最大值是
2a 1 x 5上的最大值与最小值的差，抛物线的最小值为 y2=5 4a2，抛物线的最大值为，x=5时，
y 21=5 4a 5 5=30-20a，可得30-20a - 5 4a2 5 4a2 ，解得 a 1，可得实数 a的取值范围是
1 a 2．
b 4a
【详解】解：抛物线的对称轴为 x 2a，
2a 2
当 x 4时，y随 x增大而增大．
∵1 0，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y随 x的增大而增大，
∴ 2a 4，
解得 a 2，
对任意的 2a 1 x1 5和 2a 1 x2 5， y1, y2 总满足 y1 y2 5 4a
2
，
∵ 2a 1 2a，
∴ y1 y2 差的最大值是 2a 1 x 5上的最大值与最小值的差，
把抛物线配方得： y x2 4ax 5 x 2a 2 5 4a2，
在 2a 1 x 5区间内，
抛物线的最小值为 y2=5 4a2，
抛物线的最大值为，x=5时，y1=52 4a 5 5=30-20a，
∵ y1, y2总满足 y1 y2 5 4a
2
，
∴30-20a - 5 4a2 5 4a2 ，
解得 a 1，
∴实数 a的取值范围是1 a 2，
故选择：B．
【点睛】本题考查抛物线中参数的范围，掌握抛物线的对称轴，抛物线的增减性，抛物线的最大值与最小
值，一元一次不等式．
10. 如图，菱形 ABCD∽菱形 AEFG，菱形 AEFG的顶点 G在菱形 ABCD的 BC边上运动，GF 与 AB相
交于点 H， E 60 ，若CG 6， AH 14，则菱形 ABCD的边长为（ ）
A. 18 3 B. 16 3 C. 18 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，连接 AC，证明
V ABC是等边三角形，设 AB BC AC a ，则 BH a 14，BG a 6，再证明 BGH∽ CAG，
由相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接 AC．
∵菱形 ABCD∽菱形 AEFG，
∴ B E AGF 60 ， AB BC，
∴V ABC是等边三角形，
设 AB BC AC a ，则 BH a 14，BG a 6，
∴ ACB 60 ，
∵ AGB AGH BGH ACG CAG ，
∵ AGH ACG 60 ，
∴∠BGH＝∠CAG，
∵ B ACG，
∴ BGH∽ CAG，
BG BH
∴ ，
AC CG
a 6 a 14
∴ ，
a 6
∴ a2 20a 36 0，
∴ a 18或 2（舍弃），
∴ AB 18，
故选：C．
二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分）
11. 3 tan 30 tan 45 2sin 60 ______．
【答案】1
【解析】
【分析】将各特殊角的三角函数值代入即可得出答案．
【详解】解：原式 3 3 3 1 2
3 2
3 1 3
1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键．
12. 如图，已知点M a,b 是函数 y x2 x 2图象上的一个动点.若 a 1，则b的取值范围是
__________.
9
【答案】0 b
4
【解析】
【分析】根据 a 1得-1＜a＜1，再根据二次函数的解析式求出对称轴，再根据函数的图像与性质即可求解.
【详解】∵ a 1
∴-1＜a＜1，
y b 1∵函数 x2 x 2对称轴 x=
2a 2
9
∴当 a= 12 ，y有最大值 4
当 a=-1时， y ( 1)2 1 2 0
9
∴则b的取值范围是0 b
4
9
故填：0 b .
4
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据题意函数图像进行求解.
13. 在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A、B、C、D都在格点处， AB与CD
相交于 O，则 cot BOD的值等于________．
1
【答案】
3
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质、解直角三角形、勾股定理，平移CD到C D 交 AB于O ，则
BO D BOD，推出 cot BO D cot BOD ，设每个小正方形的边长为 a，则
O B a2 2a 2 5a，O D 2a 2 2a 2 2 2a，BD 3a，作 BE O D 于点 E，由等面
BE 3 2 a O E 2积法得出 ，再求出 a即可得解．
2 2
【详解】解：平移CD到C D 交 AB于O ，如图所示，
则 BO D BOD，
∴ cot BO D cot BOD，
设每个小正方形的边长为 a，
则O B a2 2a 2 5a，O D 2a 2 2a 2 2 2a， BD 3a，
1 1
作 BE O D 于点 E，则 S O BD BD O F O D BE ，2 2
∴ BE 3 2 a
2
∴O E O B 2 2 BE 2 a ，
2
2
a
∴ cot BOD cot BO E
O E 1
2 ，
BE 3 2 3a
2
1
故答案为： ．
3
14. 如图 1，在矩形 ABCD中，动点 P从点 B出发，沿 B C D A的路径匀速运动到点 A处停止．设
点 P运动路程为 x， PAB的面积为 y，表示 y与 x的函数关系的图象如图 2所示；则下列结论：① a 4；
②b 20；③当 x 9时，点 P运动到点 D处；④当 y 9时，点 P在线段 BC或DA上，其中所有正确结
论的序号的是________．
【答案】①③④
【解析】
【分析】先结合图①由图 2为等腰梯形可得 a的值，则可求得 AB与CD的值；再根据三角形的面积公式可
得 b的值；然后结合图形可知当 x=9时，点 P运动到点 D处；最后根据图 1及图 2中的 b值，可得当 y 9
时，点 P在线段 BC或DA上，从而问题得解．
【详解】解： 动点 P从点 B出发，沿 B C D A的路径匀速运动，
∴图 2为等腰梯形，
a 13 9 4，故①正确；
BC DA a 4，
在矩形 ABCD中， AB CD 9 4 5，
b 5 4 2 10，故②错误；
点 P运动的路程为 x，当 4 x 9时，
y b 10，
x 9时，点 P运动到点 D处，故③正确；
b 10，
在图 2中等腰梯形的两腰上分别存在一个 y值等于9，
结合图 1可知，当 y = 9时，故④正确；
综上，正确的有：①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，明确矩形的性质、数形结合并分段讨论是解题的关键．
15. 用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图 1，在Rt△ABC中， ACB 90 ， B 30 ，AC 2．第
一步，在 AB边上找一点 D（不与点 A，B重合），将纸片沿CD折叠，点 A落在 A 处，如图 2；第二步，
将纸片沿CA 折叠，点 D落在 D 处，如图 3．当点D 恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段 A D 的长
为________．
【答案】1 或4 2 3
【解析】
【分析】分两种情形解答：①点D 恰好落在直角三角形纸片的 AB边上时，由题意：
ADC≌ A DC≌ A D C，则 D A C DA C A 60 ， A C AC 2； A C垂直平分线段DD ；
1 1
利用 S△ABC AC BC AB CE，可求得CE，则 A E A C CE，解Rt A D E可求线段 A D ；2 2
②点D 恰好落在直角三角形纸片的 BC边上时，由题意： ADC A DC A D C，则
1
D A C DA C A 60 A C AC 2 ACD A CD A CD ACB 30 ；在Rt△A D C中，， ， 3
利用30 所对的直角边等于斜边的一半可得结论．
【详解】解：①点D 恰好落在直角三角形纸片的 AB边上时，设 A C交 AB边于点 E，如图，
由折叠的性质得， ADC≌ A DC≌ A D C， A C垂直平分线段DD ．
则 D A C DA C A 60 ， A C AC 2；
∵ ACB 90 ， B 30 ，AC 2，
∴ BC AC tanA 2 tan60 2 3． AB 2AC 4，
S 1 1∵ ABC＝ AC BC＝ AB CE，2 2
CE AC BC 2 2 3 3．
AB 4
∴ A E A C CE 2 3．
在Rt A D E中，
∵ cos D A E A E ，
A D
A E 1
∴ ＝ ，
A D 2
∴ A D 2A E 4 2 3．
②点D 恰好落在直角三角形纸片的 BC边上时，如图，
由题意：△ADC≌△A DC≌△A D C， ACD A CD A CD
1
ACB 30 ；
3
则 D A C DA C A 60 ， A C AC 2，
∵ D A C 60 ， A CD 30 ，
∴ A D C 90 ，
∴ A D 1 A C 1 2 1．
2 2
综上，线段 A D 的长为：1 或4 2 3．
故答案为：1 或4 2 3．
【点睛】本题主要考查了翻折问题，含30 角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊角的三角函数值，
全等三角形的性质．翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键，当点 D 恰好落在直角三角形纸
片的边上时，要注意分类讨论．
三．解答题（共 8 小题，满分 75 分）
2 8 0
16. （1）计算： 6 3 2cos 45 1 12 2021
（2）用公式法解方程： x2 2x 4 0
【答案】（1）11 6 2 ；（2） x1 1 5， x2 1 5
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式、零指数幂，平方差公式化简各项，然后合并即可．
（2）运用公式法求解即可．
2 8 0
【详解】解：（1） 6 3 2cos45 1 1 2021
2
= 2 2 6 2 6 3 3 2 2 1
2 2
1
2 2
1
=6 6 2 3 2 1 2 1 1
=10 6 2 2 1
=11 6 2
（2） x2 2x 4 0
这里 a 1,b 2,c 4
=b2 4ac 22 4 1 ( 4) 20 0
2 20
∴ x
2
∴ x1 1 5， x2 1 5
【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程以及实数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算过程是
解答本题的关键．
17. 图①、图②、图③均是 5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，其顶点称为格点，V ABC的
顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）网格中V ABC的形状是 ．
（2）在图①中确定一点 D，连结DB、DC，使△DBC与V ABC全等．
（3）在图②中V ABC的边 BC上确定一点 E，连结 AE，使 ABE∽ CBA．
（4）在图③中V ABC的边 上确定一点 P，在边 BC上确定一点 Q，连结 PQ，使△PBQ∽△ABC ，且
相似比为3:5．
【答案】（1）直角三角形
（2）见解析 （3）见解析
（4）见解析
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理及勾股定理的逆定理可得出结论．
（2）取格点 D，使 BD AC， AB CD即可．
（3）过点 A作 AE BC于点 E，可得 AEB BAC 90 ，进而可得△ABE∽△CBA．
（4）取格点 M，使 AM ∥ BC ，且 AM 2，过点M 作MQ∥AC，交BC于点Q，交 AB于点 P，可得
APM BPQ BP BQ 3 BP 3∽ ，则 ，可得 ，即△PBQ∽△ABC ，且相似比为3:5．
AP AM 2 AB 5
【小问 1详解】
解：∵ AB 42 22 2 5， AC 12 22 5 ， BC 5，
∴ AB2 AC 2 BC 2，
∴V ABC为直角三角形；
【小问 2详解】
如图①，点 D即为所求（答案不唯一）．
由图可知：在△DBC和V ABC中：
AB CD
AC BD，
BC CB
∴ DBC≌ ABC（ SSS）；
【小问 3详解】
如图②，点 E即为所求．
过点 A作 AE BC于点 E，则： AEB 90 ，
∴ AEB CAB，
又∵ B B，
∴△ABE∽△CBA；
【小问 4详解】
如图③，点 P，Q即为所求．
如图： AM ∥ BC ， AM 2，
则： APM∽ BPQ，
BP BQ 3
∴ ，
AP AM 2
BP 3
∴ ，
AB 5
∵MQ∥AC，
∴△PBQ∽△ABC ，
BP 3
相似比为： ．
AB 5
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图、勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、相
似三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
18. 一个盒子中装有 1个红球、1个白球和 2个蓝球，这些球除颜色外都相同.
（1）从盒子中任意摸出一个球，恰好是白球的概率是 ；
（2）从中随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球，试用树状图或表格列出所以可能
的结果，并求两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率.（红色和蓝色在一起可配成紫色）
（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，
那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .
1 1 4
【答案】（1） ;（2） ;（3） .
4 3 25
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列举出所有情况，两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可;
（3）画出树状图，列举出所有情况，找到两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率占所有情况数的多少即可;
1
【详解】（1）如果从盒子中随机摸出 1个球，摸出白色球的概率为 ；
4
（2）画树状图如下：
共有 12种情况，能配成紫色的概率情况数有 4种，
1
所以两次摸到不同颜色球的概率为 .
3
（3）往盒子里面再放入一个白球，如果从中随机摸出一个球，画树状图如下：
共有 25种情况，能配成紫色的概率情况数有 4种，
4
那么两次摸到的球的颜色能配成紫色的概率是 .
25
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出
符合事件 A或 B的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A或 B的概率．
19. 已知二次函数 y1 ax x m a 0 和一次函数 y2 ax b a 0 ．
（1）二次函数 y1的图象过 1,0 , 2,2 点，求二次函数的表达式；
（2）若一次函数 y2与二次函数 y1的图象交于 x轴上同一点，且这个点不是原点．
①求证：b am；
②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求 m的值．
【答案】（1）二次函数 y1 的表达式为 y1 x x 1 ；
（2）①证明见解析，②m 2
【解析】
【分析】（1）待定系数法，求出函数解析式即可．
（2）①先求出二次函数 y1 ax x m a 0 与 x轴的交点坐标，进而得到一次函数 y2与二次函数 y1的
图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结
果．
【小问 1详解】
解：∵二次函数 y1 ax x m a 0 过 1,0 , 2,2 ，
∴m 1，
∴二次函数的表达式为 y1 ax x 1 ，
将 2,2 点代入，得2 2a，
∴ a 1；
∴二次函数 y1的表达式为 y1 x x 1 ．
【小问 2详解】
①∵当 y 0时， ax x m 0解得： x1 0, x2 m，
∴二次函数 y1 ax x 1 与 x轴交于 0,0 和 m,0 点，
又一次函数 y2与二次函数 y1的图象交于 x轴上同一点，且这个点不是原点，
∴一次函数 y2过 m,0 点，
∴ am b 0，
∴b am；
②∵b am，
∴ y2 ax am，
∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，
2
∵二次函数 y1 ax x m
m , am 的顶点为 2 4
，
m am2
∴ y2 ax am过 , ，
2 4
am2 am
∴
4 2
∵ a 0,m 0，
∴m2 2m，
∴m 2．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题
的关键．
20. 疫情突发，危难时刻，从决定建造到交付使用，雷神山、火神山医院仅用时十天，其建造速度之快，充
分展现了中国基建的巨大威力！这样的速度和动员能力就是全国人民的坚定信心和尽快控制疫情的底气！
改革开放 40年来，中国已经成为领先世界的基建强国，如图①是建筑工地常见的塔吊，其主体部分的平面
示意图如图②，点 F在线段 HG上运动，BC∥HG，AE⊥BC，垂足为点 E，AE的延长线交 HG于点 G，经
测量∠ABD＝11°，∠ADE＝26°，∠ACE＝31°，BC＝20m，EG＝0.6m．
（1）求线段 AG的长度；（结果精确到 0.1m）
（2）连接 AF，当线段 AF⊥AC时，求点 F和点 G之间的距离．（结果精确到 0.1m，参考数据：tan11°≈0.19，
tan26°≈0.49，tan31°≈0.60）
【答案】（1）线段的长度约为 3.5m；（2）点与点之间的距离约为 2.1m．
【解析】
【分析】（1）设 AE＝xm，根据直角三角形中三角函数列出等式即可求出 AG的长；
（2）当线段 AF⊥AC时，根据直角三角形的两个锐角互余可得∠FAE＝∠ACE＝31°．再根据三角函数即
可求出 FG的长．
AE
【详解】解：（1）在 Rt△ABE中， BE ，
tan ABE
在 Rt△ACE中，CE AE ，
tan ACE
x x
设 AE＝xm，则 20，
tan11 tan31
解得 x≈2.89m，
∴AG＝AE+EG≈2.89+0.6≈3.5m．
答：线段 AG的长度约为 3.5m；
（2）当线段 AF⊥AC时，
∵AE⊥BC，
∴∠FAE+∠CAG＝90°，∠CAG+∠ACE＝90°．
∴∠FAE＝∠ACE＝31°．
∴ tan FAG tan 31 FG ，
AG
∴ FG AG tan31 ≈3.5 0.6=2.1m．
答：点 F与点 G之间的距离约为 2.1m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是掌握锐角三角函数公式并能灵活应用解直角
三角形．
21. 新华商场销售某种电子产品，每个进货价为 40元，调查发现，当销售价格为 60元时，平均每天能销售
100个；当销售价每降价 1元时，平均每天多售出 10个，该商场要想使得这种电子产品的销售利润平均每
天达到 2240元．
（1）每个电子产品的价格应该降价多少元？
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，该商场应该将该电子产品按照
几折优惠销售？
（3）当定价为多少时，商场每天销售该电子产品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）每个电子产品的价格应该降价 4元或 6元；（2）该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售；
（3）当 x＝55时，w有最大值，最大值为 2250元．
【解析】
【分析】（1）设每个电子产品的价格应该降价 x 元，根据每个电子产品的利润乘以销售量，得一元二次方
程，求解即可；
（2）由（1）所求得的降价额，结合问题的实际意义，可得应降价多少，从而可得打几折优惠；
（3）设定价为 y元，商场每天销售该电子产品的利润为 w元，根据题意列出函数关系式，写成顶点式，即
可得问题的答案．
【详解】解：（1）设每个电子产品的价格应该降价 x元，由题意得：
（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240
∴（x﹣4）（x﹣6）＝ 0
∴x1＝4，x2＝6
∴每个电子产品的价格应该降价 4元或 6元．
（2）在平均每天利润不变的情况下，为尽可能赢得市场，需要让利于顾客，
该商场应该将该电子产品可以降价 6元销售：
（60﹣6）÷60＝0.9
∴该商场应该将该电子产品按照九折优惠销售．．
（3）设定价为 y元，商场每天销售该电子产品的利润为 w元，由题意得：
w＝（y﹣40）[100+（60﹣y）×10]
＝（y﹣40）（﹣10y+700）
＝﹣10y2+1100y﹣28000
＝﹣10（y﹣55）2+2250
∵二次项系数为﹣10＜0
∴当 x＝55时，w有最大值，最大值为 2250元．
【点睛】本题考查了二次函数及一元二次方程在实际问题中的应用，明确成本利润问题的基本关系式及二
次函数的性质，是解题的关键．
BC AB
22. 我们知道：如图①，点 B把线段 AC分成两部分，如果 ，那么称点 B为线段 AC的黄金分
AB AC
5 1
割点．它们的比值为 ．
2
（1）在图①中，若 AC 20cm，则 AB的长为 cm；
（2）如图②，用边长为 20cm的正方形纸片进行如下操作：对折正方形 ABCD得折痕 EF ，连接CE，将
CB折叠到CE上，点 B对应点 H，得折痕CG．试说明：G是 AB的黄金分割点；
（3）如图③，小明进一步探究：在边长为 a的正方形 ABCD的边 AD上任取点 E AE DE ，连接 BE ，
作CF BE，交 AB于点 F，延长 EF、CB交于点 P．他发现当 PB与 BC满足某种关系时，E、F恰好
分别是 AD、 AB的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由．
【答案】（1） 10 5 10
（2）见解析 （3） BP BC ，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据黄金分割的定义计算即可得解；
（2 DC 5 1）延长 EA，CG交于点 M，先证明 EMC BCG，再求出 tan DMC ，从而得出
DM 2
tan BCG 5 1 ，即可得解；
2
（3）由正方形的性质可得 AB BC， BAE CBF 90 ，证明 ABE≌ BCF ASA ，得出
AE AF
BF AE，证明△AEF∽△BPF ，得出 ，结合黄金分割的定义求解即可．BP BF
【小问 1详解】
解：∵点 B为线段 AC的黄金分割点， AC 20cm，
AB 5 1∴ 20 10 5 10 cm．2
故答案为： 10 5 10 ．
【小问 2详解】
解：延长 EA，CG交于点 M，
∵四边形 ABCD为正方形，
∴DM∥BC，
∴ EMC BCG，
由折叠的性质可知， ECM BCG，
∴ EMC ECM ，
∴ EM EC，
∵DE 10cm，DC 20cm，
∴ EC DE 2 DC 2 10 5cm，
∴ EM 10 5cm，
∴DM 10 5 10 cm，
∴ tan DMC DC 20 5 1 ．
DM 10 5 10 2
∴ tan 5 1 BCG ，
2
BG 5 1
即 ，
BC 2
∵ AB BC，
BG 5 1
∴ ，
AB 2
∴G是 AB的黄金分割点；
【小问 3详解】
解：当 BP BC 时，满足题意．
理由如下：
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB BC， BAE CBF 90 ，
∵ BE CF，
∴ ABE CFB 90 ，
又∵ BCF BFC 90 ，
∴ BCF ABE，
∴ ABE≌ BCF ASA ，
∴ BF AE，
∵ AD∥CP，
∴△AEF∽△BPF ，
AE AF
∴ ，
BP BF
当 E、F恰好分别是 AD、 AB的黄金分割点时，
∵ AE DE，
AF BF
∴ ，
BF AB
∵ BF AE， AB BC，
AF BF AE
∴ ，
BF AB BC
AE AE
∴ ，
BP BC
∴ BP BC ．
【点睛】本题考查了黄金分割、解直角三角形、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的
判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
y x 2 x 223. 有这样一个问题：探究函数 的图象和性质．小军根据学习函数的经验，对函数 y 的
2 x 2 x
图象和性质进行了探究．下面是小军的探究过程，请补充完整：
y x 2（1）函数 的自变量 x的取值范围是 ：
2 x
（2）下表是 y与 x的几组对应值：
1
x … 5 1 4 3 2 1 2 1 2 3 4 5 …2
29 5 13 5 17 5 5 29
y … 2
17
2 m …
10 2 6 2 4 4 2 2 10
①其中，m ；
②如图，在平面直角坐标系 xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，请根据描出的点，画出该函
数的图象；
（3）进一步探究发现，该函数图象在第一象限内的最低点的坐标是 2,2 ．结合函数图象，写出该函数的
其它性质（写出一条即可）： ．
x 2 5
（4）结合函数图象，请直接写出 时，x的取值范围： ．
2 x 2
【答案】（1） x 0
13
（2）① ；②见解析
6
（3）当 x 2时，y随 x的增大而增大（答案不唯一）
（4） 4≤x≤ 1或 x 0
【解析】
【分析】本题考查函数图象、自变量的取值范围，求函数值，分式有意义的条件，解答本题的关键是明确
题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据分式有意义的条件求解即可；
（2）①将 x 3代入函数解析式中，求出 m的值，根据图象中的点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本
题；
（3）根据图象，写出两条性质即可，注意本题答案不唯一；
（4）根据表格，图象求解即可．
【小问 1详解】
∵x在分母上，
∴ x 0．
故答案为： x 0；
【小问 2详解】
x 3 m 3 2 13①当 时， ，
2 3 6
13
故答案为： ；
6
②图象如图所示：
【小问 3详解】
观察函数图象，可知：当 x 2时，y随 x的增大而增大．
故答案为：当 x 2时，y随 x的增大而增大（答案不唯一）．
【小问 4详解】
x 2 5
根据表格与图象可知：当 时，x的取值范围是： 4≤ x≤ 1或 x 0．
2 x 2
故答案为： 4≤x≤ 1或 x 0．
