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第15章 分式
一、分式的判断与求值
1．在代数式中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行判断即可．
【解答】解：代数式，是分式，共2个，
故选：B．
2．如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
【分析】根据分式有意义的条件可得出x﹣1≠0，由此解答即可．
【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，
∴x≠1．
故选：C．
3．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x≠2或x≠﹣2
【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x＝2，
故选：A．
4．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据整式的定义对A选项和D选项进行判断；根据最简分式的定义对B选项和C选项进行判断．
【解答】解：A． 为整式，不是分式，所以A选项不符合题意；
B． 是最简分式，所以B选项符合题意；
C． ，所以C选项不符合题意；
D． 为整式，不是分式，所以D选项不符合题意．
故选：B．
5．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用分式的性质逐项判断即可．
【解答】解：A、，则A不符合题意；
B、与不一定相等，则B不符合题意；
C、，则C符合题意；
D、，则D不符合题意；
故选：C．
6．已知，则的值为 ．
【分析】由已知可得b＝3a，再代入求值即可．
【解答】解：∵，
∴b＝3a，
∴，
所以的值为．
故答案为：．
7．分式与的最简公分母是 ．
【分析】根据最简公分母的定义解答即可．
【解答】解：分式与的最简公分母是6x2y．
故答案为：6x2y．
8．把下列各组分式通分：
（1），，；
（2）．
【分析】（1）把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式解答即可；
（2）把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式解答即可．
【解答】解：（1），，；
（2），．
1．下列式子：﹣4x，，，，x，a﹣3b，其中是分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可．
【解答】解：分式：，，x，共3个，
故选：B．
2．若分式在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ）
A．x＝3 B．x≠3 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2
【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．
【解答】解：由题可知，
x﹣3≠0时有意义，
解得x≠3．
故选：B．
3．当x＝2时，下列分式的值为0的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零判断即可．
【解答】解：A、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意；
B、当x＝2时，分式的值为0，符合题意；
C、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意；
D、当x＝2时，分式无意义，分式的值不为0，不符合题意；
故选：B．
4．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据最简分式的定义判断即可．
【解答】解：A、是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式．不符合题意；
C、是最简分式，不符合题意；
D、，不是最简分式，符合题意；
故选：D．
5．下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．1
C． D．1
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【解答】解：A、，故A不符合题意．
B、1，故B不符合题意．
C、，故C符合题意．
D、1，故D不符合题意．
故选：C．
6．已知 ，则 的值为 ．
【分析】先用含n的式子表示m，再代入、求解．
【解答】解：∵，
∴mn，
∴，
故答案为：．
7．分式与的最简公分母是 ．
【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这个公分母叫做最简公分母，据此求解即可．
【解答】解：∵3和6的最小公倍数是6，字母a，b，c的最高次幂的积为a2b2c，
∴分式和的最简公分母是6a2b2c．
故答案为：6a2b2c．
8．通分：
（1）与；（2）；
（3）与；（4）与．
【分析】通分的关键是确定最简公分母．
①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．
②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积．
【解答】解：，
；
，
；
，
；
，
．
二、分式的基本运算
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先计算乘方，然后计算分式的乘法即可求解．
【解答】解：原式 ．
故选：C．
2．化简的结果是（ ）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式x，
故选：A．
3．计算 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
4．计算：．
【分析】先通分括号内的式子，然后再将括号外的除法化为乘法，最后约分即可．
【解答】解：
．
5．计算：．
【分析】直接根据分式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝[]÷（）
．
1．计算的结果是（ ）
A．2x B．2y C． D．
【分析】根据分式的除法，可得答案．
【解答】解：原式，
故选：D．
2．计算的结果是（ ）
A．﹣c B．c C． D．
【分析】先变形，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可．
【解答】解：
＝c，
故选：B．
3．计算： 1 ．
【分析】先计算乘除，再计算加减．
【解答】解：原式（x﹣y）
＝1．
4．计算：．
【分析】将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝（）
＝x﹣2．
5．化简：．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则计算．
【解答】解：原式＝（）
．
三、解分式方程
1．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
【分析】根据分式方程的解法，两侧同乘（x﹣1）化简分式方程即可．
【解答】解：解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为：1﹣2（x﹣1）＝﹣3x，
故选：B．
2．分式方程根是 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得：x＝﹣3，
检验：把x＝﹣3代入得：（x﹣1）（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是分式方程的根，
故答案为：x＝﹣3．
3．解方程：．
【分析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程去分母得：2x+4（x﹣1）＝3，
去括号得：2x+4x﹣4＝3，
移项，合并同类项得：6x＝7，
系数化为1得：x，
检验：将x代入2（x﹣1）得20，
故原分式方程的解为x．
4．解分式方程：．
【分析】先变形，再方程两边同乘（x+2）（x﹣2），将分式方程化为整式方程求解即可．
【解答】解：，
方程可化为，
方程两边同乘（x+2）（x﹣2），得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝2，
解得x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以原分式方程的解是x＝﹣1．
5．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得整式方程y2﹣4＝0，
解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解．
当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得．
经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝﹣1或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
（1）关于x的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于y的整式方程为 2y2﹣3y+1＝0 ．
（2）用换元法解：．
【分析】（1）根据题意可得原方程为，方程两边同时乘y可得2y2+1＝3y，即2y2﹣3y+1＝0；
（2）设，则原方程为，方程两边同时乘y，得整式方程y2﹣1＝0，解得y＝±1，再仿照题意求解即可．
【解答】解：（1）设，则原方程为，
方程两边同时乘y，得整式方程2y2+1＝3y，
即2y2﹣3y+1＝0．
故答案为：2y2﹣3y+1＝0；
（2）设，则原方程为，
y2﹣1＝0，
解得：y＝±1，
经检验y＝±1都是方程的解，
当y＝1时，则，即x+3＝2x﹣1，
解得：x＝4，
经检验x＝4是方程的解，
当y＝﹣1时，则，即x+3＝﹣2x+1，
解得：，
经检验是方程的解，
∴原分式方程的解为x＝4或．
1．解分式方程时，去分母变形为（ ）
A．2+x＝3（1﹣x） B．2+x＝3（x﹣1）
C．2+x＝3x﹣1 D．2﹣x＝3（x﹣1）
【分析】先将分式化为同分母分式，再乘以公分母即可得到答案．
【解答】解：原分式方程变形为，
两边同时乘以x﹣1得：2+x＝3（x﹣1），
故选：B．
2．若代数式与的值相等，则x＝ ．
【分析】根据代数式与的值相等，列出等式，解方程即可．
【解答】解：根据题意得：，
去分母得：6x＝4（x+8），
去括号得：6x＝4x+32，
移项得：6x﹣4x＝32，
解得：x＝16．
经检验，x＝16是原方程的解，
故答案为：16．
3．解方程．
【分析】根据解分式方程的方法，先方程两边同乘x﹣2，把分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，然后检验即可．
【解答】解：，
方程两边同时乘x﹣2，得3x﹣2（x﹣2）＝﹣6，
去括号，得3x﹣2x+4＝﹣6，
移项、合并同类项，得x＝﹣10，
检验，把x＝﹣10代入x﹣2＝﹣10﹣2＝﹣12≠0，
∴x＝﹣10是分式方程的解．
4．解方程：．
【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．
【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2﹣4＝（x+1）（x﹣1），
解这个方程得：x＝1，
检验：当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
原方程无解．
5．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 0 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
【分析】（1）根据题意将原方程换元即可；
（2）利用换元法解方程后进行检验即可．
【解答】解：（1）若方程，设，则原方程可化为0，
故答案为：0；
（2）设m，
则原方程化为m0，
解得：m1＝3，m2＝﹣3，
经检验，m1＝3，m2＝﹣3都是方程m0的解，
当3时，
解得：x＝﹣3.5，
经检验，x＝﹣3.5是方程3的解；
当3时，
解得：x＝﹣1.25，
经检验，x＝﹣1.25是方程3的解；
故原方程的解为x1＝﹣3.5，x2＝﹣1.25．
四、整数指数幂的计算
1．下列数字与3﹣1相等的是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），据此即可求得答案．
【解答】解：3﹣1，
故选：C．
2．计算： ．
【分析】先根据负整数指数幂、有理数的乘方法则计算，再根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：
＝9﹣4
＝5，
故答案为：5．
3．计算：．
【分析】根据乘方，零指数幂以及负整数指数幂等运算法则进行计算即可．
【解答】解：
＝﹣8+9+1
＝2．
4．计算：．
【分析】根据乘方的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义化简计算即可．
【解答】解：原式＝﹣1+1+4﹣8＝﹣4．
1．计算2﹣1的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
【分析】直接利用负整数指数幂的性质，负整数指数幂：a﹣p（a≠0，p为正整数），计算得出答案．
【解答】解：2﹣1．
故选：B．
2．计算：2﹣3﹣（π﹣4）0＝ ．
【分析】先根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质计算乘方，再算减法即可．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
3．计算：．
【分析】先计算负整数指数幂、有理数的乘方和零指数幂，再计算加减．
【解答】解：
＝3﹣1﹣1
＝1．
4．计算：．
【分析】根据负整数指数幂法则、有理数的混合运算法则、零指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝﹣1+6﹣1+9＝13．
五、分式相关的化简求值
1．先化简，再代入求值：，其中a＝4．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝4代入进行计算即可．
【解答】解：原式
，
当a＝4时，原式．
2．先化简，再求值：，其中．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
，
当时，原式1．
3．先化简后求值：，其中满a足a2﹣a﹣2026＝0．
【分析】先把除法变成乘法，再约分化简，然后求出a2﹣a的值，最后利用整体代入法求解即可．
【解答】解：原式
＝（a﹣2）（a+1）
＝a2﹣2a+a﹣2
＝a2﹣a﹣2，
∵a2﹣a﹣2026＝0，
∴a2﹣a＝2026，
∴原式＝2026﹣2＝2024．
4．先化简，然后从﹣1，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先把括号内通分和除法运算转化为乘法运算，再约分得到原式，然后根据分式有意义的条件，把a＝0代入计算即可．
【解答】解：原式
，
∵a﹣1≠0且a+1≠0，
∴a可以取0，
当a＝0时，原式1．
1．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝﹣3代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝[]
，
当x＝﹣3时，原式．
2．先化简，再求值：，其中a1．
【分析】括号内先通分再计算，然后将除法转化为乘法计算，再代入a求值即可．
【解答】解：原式
．
当时，
原式．
3．化简求值：，其中，a为的小数部分．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【解答】解：
，
∵4＜5＜9，
∴，
∵a为的小数部分，
∴，
∴原式．
4．先化简，再求值：中从﹣1，1，0，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】根据分式的运算法则，因式分解，约分，通分进行化简，然后将符合题意的a值代入原式即可求出答案，
【解答】解：原式，
，
，
∵a+1≠0且a﹣1≠0，
∴a≠±1，
∴当a＝0时，原式；
或当a＝2时，原式．
六、分式方程的实际应用
1．工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器．
【分析】设甲车间每天生产x台空气净化器，则乙车间每天生产（x+100）台空气净化器，由题意：甲车间独立生产一半后，生产任务的数量增加了15000台．乙车间也加入了该小型空气净化器的生产．则正好可以按时完成生产任务．列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设甲车间每天生产x台，则乙车间每天生产（x+100）台空气净化器，由题意得，
，
解得x＝400，
经检验，x＝400是所列方程的根且符合题意．
所以甲车间每天生产400台空气净化器．
答：甲车间每天生产400台空气净化器．
2．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；
（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（）×151．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
3．小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．
（1）小刚步行的速度是每分钟多少米？
（2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？
【分析】（1）设小刚步行的速度是x米/分钟，由题意：小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．列出分式方程，解方程即可；
（2）求出小刚步行回家和骑自行车到电影院所用的时间，即可得出结论．
【解答】解：（1）设小刚步行的速度是x米/分钟，
由题意得：，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意，
答：小刚步行的速度是每分钟80米．
（2）∵，
∴小刚能在电影放映开始前赶到电影院．
4．小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒．
（Ⅰ）求这种大麻花的单价；
（Ⅱ）12月，这种大麻花的单价降至a元/盒（a＞0），两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小．
【分析】（Ⅰ）设这种大麻花的单价为x元，根据小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒，列出分式方程，解方程即可；
（Ⅱ）分别求出小天和小津两次一共购买的大麻花数量，再求出小天两次购进大麻花的平均单价、小津两次购进大麻花的平均单价，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）设这种大麻花的单价为x元，
由题意得：16，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
答：这种大麻花的单价为15元；
（Ⅱ）由题意可知，小天两次一共购买的大麻花数量为：（件），
小津两次一共购买的大麻花数量为：（件），
∴小天两次购进大麻花的平均单价为（元），
小津两次购进大麻花的平均单价为（元），
∴小天两次购进大麻花的平均单价＝小津两次购进大麻花的平均单价．
1．随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩．
【分析】设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药7.5x亩，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入7.5x中，即可求出结论．
【解答】解：设一个人平均每小时喷洒农药x亩，则一架无人机平均每小时喷洒农药7.5x亩，
根据题意得：13，
解得：x＝8，
经检验，x＝8是所列方程的解，且符合题意，
∴7.5x＝7.5×8＝60．
答：一架无人机平均每小时喷洒农药60亩．
2．为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少50元，且用16000元购买A种垃圾桶的组数量是用10000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过6850元的资金购买A、B两种垃圾桶共30组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
【分析】（1）设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是（x+50）元，利用数量＝总价÷单价，结合用16000元购买A种垃圾桶的组数量是用10000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A种垃圾桶每组的单价），再将其代入（x+50）中，即可求出B种垃圾桶每组的单价；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（30﹣y）组，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过6850元，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种垃圾桶每组的单价是x元，则B种垃圾桶每组的单价是（x+50）元，
根据题意得：，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意，
∴x+50＝200+50＝250．
答：A种垃圾桶每组的单价是200元，B种垃圾桶每组的单价是250元；
（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（30﹣y）组，
根据题意得：200（30﹣y）+250y≤6850，
解得：y≤17，
又∵y为正整数，
∴y的最大值为17．
答：最多可以购买B种垃圾桶17组．
3．乡村振兴，交通先行，近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施，某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．
（1）原来每天修建道路多少米？
（2）请求出该村是提前多少天完成修建任务的？
【分析】（1）设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）根据（1）可求出原来计划用的天数，再减去15即可求得．
【解答】解：（1）设原来每天修建道路x米，则采用新的修建技术后每天修建道路2x米，
根据题意得：15，
解得：x＝200，
经检验，x＝200是所列方程的解，且符合题意．
答：原来每天修建道路200米．
（2）5400÷200＝27（天），
27﹣15＝12（天），
答：该村是提前12天完成修建任务的．
4．从智能家居到核心医疗，从手机到汽车，成熟的AI技术能够以极快的速度准确处理新信息，这使得其对于复杂的场景（例如无人驾驶汽车、图象识别程序和虚拟助理）非常有用．李老师在感受最新智驾汽车时，从涟水到盱眙共120公里，返程时为了避免堵车多绕行了24公里，李老师发现返程时平均速度是去时平均速度的1.2倍，往返共行驶了4小时，求李老师驾驶汽车去盱眙时的速度是多少？
【分析】依据题意，设去时速度为x km/h，则返程时速度为1.2x km/h，进而可得方程4，解方程即可判断得解．
【解答】解：由题意，设去时速度为x km/h，
则返程时速度为1.2x km/h，
∴4．
∴x＝60．
经检验：x＝60是原方程的解．
答：去时速度为60km/h．
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第15章 分式
一、分式的判断与求值
1．在代数式中，分式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如果分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠0 B．x≠﹣1 C．x≠1 D．x＞1
3．若分式的值为0，则（ ）
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝2或x＝﹣2 D．x≠2或x≠﹣2
4．下列各式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列各式从左到右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，则的值为 ．
7．分式与的最简公分母是 ．
8．把下列各组分式通分：
（1），，；
（2）．
1．下列式子：﹣4x，，，，x，a﹣3b，其中是分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．若分式在实数范围内有意义，则实数x应满足的条件是（ ）
A．x＝3 B．x≠3 C．x＝﹣2 D．x≠﹣2
3．当x＝2时，下列分式的值为0的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列等式中，不成立的是（ ）
A． B．1
C． D．1
6．已知 ，则 的值为 ．
7．分式与的最简公分母是 ．
8．通分：
（1）与； （2）；
（3）与； （4）与．
二、分式的基本运算
1．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
2．化简的结果是（ ）
A．x B．x﹣1 C．﹣x D．x+1
3．计算 ．
4．计算：．
5．计算：．
1．计算的结果是（ ）
A．2x B．2y C． D．
2．计算的结果是（ ）
A．﹣c B．c C． D．
3．计算： ．
4．计算：．
5．化简：．
三、解分式方程
1．解方程去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（ ）
A．1﹣2＝﹣3x B．1﹣2（x﹣1）＝﹣3x
C．1﹣2（1﹣x）＝﹣3x D．1﹣2（x﹣1）＝3x
2．分式方程根是 ．
3．解方程：．
4．解分式方程：．
5．阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程：．
解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得整式方程y2﹣4＝0，
解得y＝±2．经检验：y＝±2都是方程的解．
当y＝2时，，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，，解得．
经检验：x＝﹣1和都是原分式方程的解，
所以原分式方程的解为x＝﹣1或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．
（1）关于x的方程，可以设，新方程去分母后可化为整式方程，这个关于y的整式方程为 2y2﹣3y+1＝0 ．
（2）用换元法解：．
1．解分式方程时，去分母变形为（ ）
A．2+x＝3（1﹣x） B．2+x＝3（x﹣1）
C．2+x＝3x﹣1 D．2﹣x＝3（x﹣1）
2．若代数式与的值相等，则x＝ ．
3．解方程．
4．解方程：．
5．阅读下面材料，解答后面的问题
解方程：．
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘y得：y2﹣4＝0，
解得：y＝±2，
经检验：y＝±2都是方程的解，∴当y＝2时，，解得：x＝﹣1，
当y＝﹣2时，，解得：，
经检验：x＝﹣1或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或．上述这种解分式方程的方法称为换元法．
【解决问题】
（1）若方程，设，则原方程可化为 0 ．
（2）模仿上述换元法解方程：．
四、整数指数幂的计算
1．下列数字与3﹣1相等的是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．计算： ．
3．计算：．
4．计算：．
1．计算2﹣1的值为（ ）
A．2 B． C．﹣2 D．﹣1
2．计算：2﹣3﹣（π﹣4）0＝ ．
3．计算：．
4．计算：．
五、分式相关的化简求值
1．先化简，再代入求值：，其中a＝4．
2．先化简，再求值：，其中．
3．先化简后求值：，其中满a足a2﹣a﹣2026＝0．
4．先化简，然后从﹣1，0，1中选一个合适的数作为a的值代入求值．
1．先化简，再求值：，其中x＝﹣3．
2．先化简，再求值：，其中a1．
3．化简求值：，其中，a为的小数部分．
4．先化简，再求值：中从﹣1，1，0，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
六、分式方程的实际应用
1．工厂计划在规定的时间生产24000台空气净化器．甲车间按计划独自生产了12000台后，由于雾霾天气影响，空气净化器的需求量呈上升趋势，生产任务要增加15000台，乙车间也加入了该空气净化器的生产，甲、乙车间共同在规定时间完成了生产任务．已知乙车间每天比甲车间每天多生产100台，求甲车间每天生产多少台空气净化器．
2．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
3．小刚到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现钱包丢在家里，此时距电影放映还有25分钟，于是他立即步行（匀速）回家，在家拿钱包用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚骑自行车到电影院比他从电影院步行到家少用了9分钟．
（1）小刚步行的速度是每分钟多少米？
（2）小刚能否在电影放映前赶到电影院？
4．小天和小津各经营一家“天津特产超市”，在今年11月两人以相同的价格购进同一品牌的天津大麻花，小天用1260元购进的大麻花数量比小津用1500元购进的数量少16盒．
（Ⅰ）求这种大麻花的单价；
（Ⅱ）12月，这种大麻花的单价降至a元/盒（a＞0），两人均决定再次购进这种大麻花，并且与11月相比，两人购进大麻花的总价均不变．比较小天两次购进大麻花的平均单价与小津两次购进大麻花的平均单价的大小．
1．随着科学技术的不断发展，无人机在农业生产中得到广泛应用．经实践调查，一架无人机每小时喷洒农药的亩数是一个人每小时喷洒农药亩数的7.5倍，120亩的农田利用一架无人机喷洒比一个人喷洒节约13小时，求一架无人机平均每小时喷洒农药多少亩．
2．为创建和谐文明的校园环境，某初中准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少50元，且用16000元购买A种垃圾桶的组数量是用10000元购买B种垃圾桶的组数量的2倍．
（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价分别是多少元；
（2）该学校计划用不超过6850元的资金购买A、B两种垃圾桶共30组，则最多可以购买B种垃圾桶多少组？
3．乡村振兴，交通先行，近年以来，某市高质量推进“四好”农村公路建设，着力打通农村交通基础设施，某村准备修一条5400米长的道路，在修建600米后，由于采用新的修建技术，这样每天修建长度是原来的2倍，结果共用15天完成了全部任务．
（1）原来每天修建道路多少米？
（2）请求出该村是提前多少天完成修建任务的？
4．从智能家居到核心医疗，从手机到汽车，成熟的AI技术能够以极快的速度准确处理新信息，这使得其对于复杂的场景（例如无人驾驶汽车、图象识别程序和虚拟助理）非常有用．李老师在感受最新智驾汽车时，从涟水到盱眙共120公里，返程时为了避免堵车多绕行了24公里，李老师发现返程时平均速度是去时平均速度的1.2倍，往返共行驶了4小时，求李老师驾驶汽车去盱眙时的速度是多少？
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