6.2.1 矩形的性质（学案，有答案）
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6.2.1 矩形的性质（学案，有答案）
列清单·划重点
知识点1 矩形的定义
有一个角是_____________的平行四边形是矩形.
知识点2 矩形的性质
1.一般性质：矩形具有___________的所有性质.
2.特殊性质：
(1)定理1:矩形的四个角都是__________.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD是矩形,
(2)定理2：矩形的对角线___________.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是矩形,∴_________________.
3.矩形的对称性：
矩形既是__________对称图形，又是_________对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线.
注意
矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决.
知识点3 矩形的面积
知识点4 直角三角形斜边中线的性质
直角三角形斜边上的___________等于斜边的一半.
几何语言：
∵在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线，
∴CD=AD=BD=_________ AB(或AB=________ CD).
明考点·识方法
考点1 矩形的定义及边角的性质
典例1 如图，在矩形ABCD 中,点 E 在 AD 上,且 EC 平分∠BED,若AB=4,DE=2.
(1)求证:BC=BE;
(2)求△BEC的面积.
思路导析 (1)由矩形的性质和角平分线的定义可得∠BEC=∠ECB,则 BC=BE;
(2)∠A=90°,AB=CD=4,设BC=BE=x,则AE=x-2,根据求解x,得出BC,所以△BEC的面积
变式 如图,矩形 ABCD中，过对角线 BD 的中点O 作 BD 的垂线EF,分别交 AD, BC 于 点 E, F,连接BE,DF.
(1)求证:
(2)若 求四边形 EBFD的周长.
考点2 矩形对角线的性质
典例2 如图,在矩形 ABCD中,O为对角线AC,BD的交点，过点O的直线分别与边DA,BC 延长线交于点 E,F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若 求证：
思路导析 (1)证明 可得结论；(2)因为 所以 根据三角形的外角可得 则AE=AO，从而得结论.
变式 如图，在平行四边形 ABCD中,点 E 是边AB 的中点,连接CE并延长CE 交 DA 的延长线于点 F,连接 AC,BF.
(1)求证：四边形 AFBC 是平行四边形；
(2)若 且四边形 AFBC 是矩形时，求 的度数.
考点3 直角三角形斜边中线的性质
典例3 如图，在中,CD为斜边AB上的中线，过点 D 作 DE ⊥AB,连接 AE,BE, 若 则 DE 的长为____________.
思路导析 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 AD=4，再利用勾股定理求出DE 的长即可.
变式 如图，在中，于点 D,于点 E,点 M,N 分别是 BC,DE
的中点.
(1)求证:
(2)若 求MN的长.
当堂测·夯基础
1.如图,在矩形 ABCD中,对角线AC 与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD
第1题图 第2题图
2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点 E,∠ADB=35°,则∠OAE 的度数为 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3.如图,在矩形ABCD中,点 E在AB 的延长线上.若 BE=AC=6,∠E=15°,则AD=________.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点 E 为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点 F,G,则 EF+EG=__________.
第 4 题图 第 5 题图
5.如图,在 Rt△AEB 和 Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF=___________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 直角
知识点 2 1.平行四边形 2.直角 相等 3.中心 轴
知识点 3 2. 2 4
知识点4 中线
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∥
∵EC平分∠BED,∴∠BEC=∠DEC,
(2)设
的面积
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠OED=∠OFB,
∵O是BD 的中点,∴OD=OB,
在△DOE 和△BOF 中, ∴△DOE≌△BOF(AAS);
(2)∵AD∥BC,点 E,F分别在AD,BC上,∴DE∥BF,
∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,∴四边形 BFDE 是平行四边形，
∵EF⊥BD,∴四边形 BFDE 是菱形,∴BE=DE=BF=DF,
∵∠A=90°,AB=4,AD=8,
解得 BE=5,
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×5=20,∴四边形 BFDE 的周长为20.
典例2 证明:(1)∵四边形 ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE 和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF(ASA),∴AE=CF;
(2)∵四边形ABCD 是矩形,
∴OA=OD,∴∠OAD=∠ADB=2∠E,
∵∠OAD=∠E+∠AOE,∴∠E=∠AOE,∴AE=AO,
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DA∥CB,∴∠EAF=∠EBC,
∵点 E是边AB 的中点,∴AE=BE,
在△AEF 和△BEC中, ∴△AEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,
又∵AE=BE,∴四边形 AFBC 是平行四边形；
(2)∵四边形 AFBC 是矩形,∴AB=CF,∴EC=EB,∴∠ECB=∠EBC,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠D=50°,∴∠D=∠EBC=50°,∴∠ECB=50°,
∴ ∠AEC = ∠ECB +∠EBC = 50°+50°=100°.
典例3 3 解析:在 Rt△ABC中,CD 为斜边AB 上的中线,CD=4,
∵DE⊥AB,AE=5,
变式 解:(1)证明:连接EM,DM,
∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵在 Rt△DBC和Rt△EBC中,M是BC 的中点，
∵N是DE 的中点,∴MN⊥ED;
(2)在 Rt△DBC中,M 是BC 的中点,
同理∠MEC=∠MCE,
∵∠ECB+∠DBC=45°,∴∠EMB+∠DMC=2(∠ECB+∠DBC)=90°,∴∠EMD=90°,
∵N是DE 的中点,DE=10,
【当堂测·夯基础】
1. C 2. A 3. 3 5. 40°
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6.2.1 矩形的性质（学案，有答案）
列清单·划重点
知识点1 矩形的定义
有一个角是_____________的平行四边形是矩形.
知识点2 矩形的性质
1.一般性质：矩形具有___________的所有性质.
2.特殊性质：
(1)定理1:矩形的四个角都是__________.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD是矩形,
(2)定理2：矩形的对角线___________.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是矩形,∴_________________.
3.矩形的对称性：
矩形既是__________对称图形，又是_________对称图形，对称轴是过每组对边中点的直线.
注意
矩形的两条对角线将矩形分成四个大的直角三角形或四个小的等腰三角形，因此矩形问题常放在等腰三角形或直角三角形中解决.
知识点3 矩形的面积
知识点4 直角三角形斜边中线的性质
直角三角形斜边上的___________等于斜边的一半.
几何语言：
∵在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD是斜边AB的中线，
∴CD=AD=BD=_________ AB(或AB=________ CD).
明考点·识方法
考点1 矩形的定义及边角的性质
典例1 如图，在矩形ABCD 中,点 E 在 AD 上,且 EC 平分∠BED,若AB=4,DE=2.
(1)求证:BC=BE;
(2)求△BEC的面积.
思路导析 (1)由矩形的性质和角平分线的定义可得∠BEC=∠ECB,则 BC=BE;
(2)∠A=90°,AB=CD=4,设BC=BE=x,则AE=x-2,根据求解x,得出BC,所以△BEC的面积
变式 如图,矩形 ABCD中，过对角线 BD 的中点O 作 BD 的垂线EF,分别交 AD, BC 于 点 E, F,连接BE,DF.
(1)求证:
(2)若 求四边形 EBFD的周长.
考点2 矩形对角线的性质
典例2 如图,在矩形 ABCD中,O为对角线AC,BD的交点，过点O的直线分别与边DA,BC 延长线交于点 E,F.
(1)求证:AE=CF;
(2)若 求证：
思路导析 (1)证明 可得结论；(2)因为 所以 根据三角形的外角可得 则AE=AO，从而得结论.
变式 如图，在平行四边形 ABCD中,点 E 是边AB 的中点,连接CE并延长CE 交 DA 的延长线于点 F,连接 AC,BF.
(1)求证：四边形 AFBC 是平行四边形；
(2)若 且四边形 AFBC 是矩形时，求 的度数.
考点3 直角三角形斜边中线的性质
典例3 如图，在中,CD为斜边AB上的中线，过点 D 作 DE ⊥AB,连接 AE,BE, 若 则 DE 的长为____________.
思路导析 先根据直角三角形斜边上的中线的性质得到 AD=4，再利用勾股定理求出DE 的长即可.
变式 如图，在中，于点 D,于点 E,点 M,N 分别是 BC,DE
的中点.
(1)求证:
(2)若 求MN的长.
当堂测·夯基础
1.如图,在矩形 ABCD中,对角线AC 与BD 相交于点O，则下列结论一定正确的是 ( )
A. AB=AD B. AC⊥BD C. AC=BD D.∠ACB=∠ACD
第1题图 第2题图
2.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点 E,∠ADB=35°,则∠OAE 的度数为 ( )
A. 20° B. 25° C. 30° D. 35°
3.如图,在矩形ABCD中,点 E在AB 的延长线上.若 BE=AC=6,∠E=15°,则AD=________.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点 E 为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点 F,G,则 EF+EG=__________.
第 4 题图 第 5 题图
5.如图,在 Rt△AEB 和 Rt△AFB中,∠AEB=∠AFB=90°,O为AB的中点,连接EF,OE,若∠EAF=50°,则∠OEF=___________.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 直角
知识点 2 1.平行四边形 2.直角 相等 3.中心 轴
知识点 3 2. 2 4
知识点4 中线
【明考点·识方法】
典例1 解:(1)证明:∵四边形ABCD 是矩形,
∥
∵EC平分∠BED,∴∠BEC=∠DEC,
(2)设
的面积
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD∥BC,∴∠OED=∠OFB,
∵O是BD 的中点,∴OD=OB,
在△DOE 和△BOF 中, ∴△DOE≌△BOF(AAS);
(2)∵AD∥BC,点 E,F分别在AD,BC上,∴DE∥BF,
∵△DOE≌△BOF,∴DE=BF,∴四边形 BFDE 是平行四边形，
∵EF⊥BD,∴四边形 BFDE 是菱形,∴BE=DE=BF=DF,
∵∠A=90°,AB=4,AD=8,
解得 BE=5,
∴BE+DE+BF+DF=4BE=4×5=20,∴四边形 BFDE 的周长为20.
典例2 证明:(1)∵四边形 ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠OAE=∠OCF,
在△OAE 和△OCF中, ∴△OAE≌△OCF(ASA),∴AE=CF;
(2)∵四边形ABCD 是矩形,
∴OA=OD,∴∠OAD=∠ADB=2∠E,
∵∠OAD=∠E+∠AOE,∴∠E=∠AOE,∴AE=AO,
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴DA∥CB,∴∠EAF=∠EBC,
∵点 E是边AB 的中点,∴AE=BE,
在△AEF 和△BEC中, ∴△AEF≌△BEC(ASA),∴EF=EC,
又∵AE=BE,∴四边形 AFBC 是平行四边形；
(2)∵四边形 AFBC 是矩形,∴AB=CF,∴EC=EB,∴∠ECB=∠EBC,
∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠D=50°,∴∠D=∠EBC=50°,∴∠ECB=50°,
∴ ∠AEC = ∠ECB +∠EBC = 50°+50°=100°.
典例3 3 解析:在 Rt△ABC中,CD 为斜边AB 上的中线,CD=4,
∵DE⊥AB,AE=5,
变式 解:(1)证明:连接EM,DM,
∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠BDC=∠BEC=90°,
∵在 Rt△DBC和Rt△EBC中,M是BC 的中点，
∵N是DE 的中点,∴MN⊥ED;
(2)在 Rt△DBC中,M 是BC 的中点,
同理∠MEC=∠MCE,
∵∠ECB+∠DBC=45°,∴∠EMB+∠DMC=2(∠ECB+∠DBC)=90°,∴∠EMD=90°,
∵N是DE 的中点,DE=10,
【当堂测·夯基础】
1. C 2. A 3. 3 5. 40°
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