6.2.2 矩形的判定（学案，有答案）
文档属性
| 名称 | 6.2.2 矩形的判定（学案，有答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 11.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-05 17:18:04 | ||
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文档简介
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6.2.2 矩形的判定（学案，有答案）
列清单·划重点
知识点1 矩形的判定
1.定义法：有一个角是_________的平行四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
是矩形.
2.定理1：有___________是直角的四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵_____________＝____________＝____________＝
∴四边形ABCD 是矩形.
3.定理2：对角线_的平行四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，且___________，
是矩形.
注意
判定矩形的两种基本思路：
(1)四边形矩形.
(2)
知识点2 解决矩形问题常添辅助线
1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形.
2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形.
明考点·识方法
考点1 用角判定四边形是矩形
典例1 如图,在中， ，D为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形 ADCE 是矩形.
思路导析 先证四边形 ADCE 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得 则 即可得出结论.
变式 如图,在中,AF,BH,CH, DF 分别是与 的平分线,AF 与BH 交于点E,CH 与DF 交于点G,连接EG,FH,求证:
考点2 用对角线判定四边形是矩形
典例2 如图，已知在中，对角线AC,BD 相交于点O,
(1)求证: 是矩形；
(2)若 求对角线AC的长.
思路导析 (1)由等腰三角形的性质得 再由平行四边形的性质得 则 即可得出结论：
(2)由矩形的性质得 再由含 角的直角三角形的性质求解即可.
变式 如图，已知四边形ABCD, 对角线AC，BD 相交于点O,点 E 是四边形ABCD 外一点.
(1)求证:AC,BD互相平分;
(2)若 请判断四边形 ABCD的形状，并给予证明.
考点3 矩形判定和性质的综合应用
典例3 如图,线段 DE与AF分别为 的中位线与中线.
(1)求证:AF 与DE互相平分；
(2)当线段 AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形 请说明理由.
思路导析 (1)根据线段中点的定义和三角形的中位线定理，可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；(2)当 时，四边形 ADFE 为矩形，根据三角形的中位线定理可得 从而可得AF=DE，然后利用(1)的结论即可解答.
变式 如图，在 中，延长 DC 至点 E,使连接 AE,交 BC 于点 F,连接AC,BE, .
(1)求证:四边形 ABEC 是矩形;
(2)求 的面积.
当堂测·夯基础
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB= CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 ( )
A. AB∥CD B. AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D
2.如图,用长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是____________________________.
3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,DF⊥AE于点 F,若EF=CE=1,AB=3,则线段AF 的长是____________.
第3题图 第4题图
4.如图,在矩形ABCD中,E,F 分别是边 AB,AD 上的动点,P 是线段 EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H 为垂足,连接 GH.若AB=8,AD=6,EF=7,则GH的最小值是_________.
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O 是边 AB 的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形 ABCD是矩形.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1. 直角 90° 2.三个角 ∠A ∠B ∠C 3. 相等 AC=BD
【明考点·识方法】
典例1 证明：∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴AE∥BC,AE=BD,
∵D为BC 中点,∴CD=BD,∴CD∥AE,CD=AE,∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∵AB=AC,D为BC 中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴平行四边形 ADCE 是矩形.
变式 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF,BH分别平分∠DAB,∠ABC, ∴∠AEB=∠HEF=90°,同理,∠AFD=90°,∠DGC=90°,
∴∠HGF=∠DGC=90°,∴四边形 EFGH 是矩形,∴EG=FH.
典例2 解:(1)证明:∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BD=AC,∴□ABCD 是矩形;
(2)∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠ABD=∠OAB=30°,∴BD=2AD=8,∴AC=BD=8.
变式 解:(1)证明: ∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC,BD互相平分;
(2)四边形ABCD 是矩形,
证明：连接OE，如图所示：
由(1)得，四边形ABCD 是平行四边形，
∴平行四边形ABCD 是矩形.
典例3 解:(1)证明:∵点 D 是AB 的中点,
∵点 E 是AC 的中点,点 F 是BC 的中点,∴EF 是 的中位线，
∥∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∴AF与DE 互相平分;
(2)当 时,四边形 ADFE 为矩形，
理由：∵线段DE为 的中位线，
由(1)得，四边形ADFE 是平行四边形，∴四边形 ADFE为矩形.
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠AFC=2∠D,
∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D,
∵CE=CD,∴AB=CE,∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴BC=2BF,AE=2AF,
∵2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠BAE,∴AF=BF,∴AE=BC,
∴四边形 ABEC 是矩形;
(2)∵四边形ABEC 是矩形,AB=2,BC=5,∴∠BAC=90°,
∴□ABCD的面积为
【当堂测·夯基础】
1. C
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3. 4 4. 6.5
5.证明:∵O是边AB 的中点,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,
∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°, ∥
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又 ∴四边形 ABCD 是矩形.
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6.2.2 矩形的判定（学案，有答案）
列清单·划重点
知识点1 矩形的判定
1.定义法：有一个角是_________的平行四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
是矩形.
2.定理1：有___________是直角的四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵_____________＝____________＝____________＝
∴四边形ABCD 是矩形.
3.定理2：对角线_的平行四边形是矩形.
几何语言：如图所示，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，且___________，
是矩形.
注意
判定矩形的两种基本思路：
(1)四边形矩形.
(2)
知识点2 解决矩形问题常添辅助线
1.连接对角线构造等腰三角形或直角三角形.
2.作对角线上的高，构造含特殊角的直角三角形.
明考点·识方法
考点1 用角判定四边形是矩形
典例1 如图,在中， ，D为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形.求证：四边形 ADCE 是矩形.
思路导析 先证四边形 ADCE 是平行四边形，再由等腰三角形的性质得 则 即可得出结论.
变式 如图,在中,AF,BH,CH, DF 分别是与 的平分线,AF 与BH 交于点E,CH 与DF 交于点G,连接EG,FH,求证:
考点2 用对角线判定四边形是矩形
典例2 如图，已知在中，对角线AC,BD 相交于点O,
(1)求证: 是矩形；
(2)若 求对角线AC的长.
思路导析 (1)由等腰三角形的性质得 再由平行四边形的性质得 则 即可得出结论：
(2)由矩形的性质得 再由含 角的直角三角形的性质求解即可.
变式 如图，已知四边形ABCD, 对角线AC，BD 相交于点O,点 E 是四边形ABCD 外一点.
(1)求证:AC,BD互相平分;
(2)若 请判断四边形 ABCD的形状，并给予证明.
考点3 矩形判定和性质的综合应用
典例3 如图,线段 DE与AF分别为 的中位线与中线.
(1)求证:AF 与DE互相平分；
(2)当线段 AF 与BC 满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形 请说明理由.
思路导析 (1)根据线段中点的定义和三角形的中位线定理，可得四边形ADFE是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；(2)当 时，四边形 ADFE 为矩形，根据三角形的中位线定理可得 从而可得AF=DE，然后利用(1)的结论即可解答.
变式 如图，在 中，延长 DC 至点 E,使连接 AE,交 BC 于点 F,连接AC,BE, .
(1)求证:四边形 ABEC 是矩形;
(2)求 的面积.
当堂测·夯基础
1.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB= CD.下列说法能使四边形ABCD为矩形的是 ( )
A. AB∥CD B. AD=BC C.∠A=∠B D.∠A=∠D
2.如图,用长度分别相等的一种材料为对边做矩形窗框时，工人师傅们常常测量窗框的对角线是否相等，这样做的数学依据是____________________________.
3.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在 BC 边上,DF⊥AE于点 F,若EF=CE=1,AB=3,则线段AF 的长是____________.
第3题图 第4题图
4.如图,在矩形ABCD中,E,F 分别是边 AB,AD 上的动点,P 是线段 EF 的中点,PG⊥BC,PH⊥CD,G,H 为垂足,连接 GH.若AB=8,AD=6,EF=7,则GH的最小值是_________.
5.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O 是边 AB 的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形 ABCD是矩形.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1. 直角 90° 2.三个角 ∠A ∠B ∠C 3. 相等 AC=BD
【明考点·识方法】
典例1 证明：∵四边形 ABDE 是平行四边形，∴AE∥BC,AE=BD,
∵D为BC 中点,∴CD=BD,∴CD∥AE,CD=AE,∴四边形 ADCE 是平行四边形，
∵AB=AC,D为BC 中点,∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴平行四边形 ADCE 是矩形.
变式 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AF,BH分别平分∠DAB,∠ABC, ∴∠AEB=∠HEF=90°,同理,∠AFD=90°,∠DGC=90°,
∴∠HGF=∠DGC=90°,∴四边形 EFGH 是矩形,∴EG=FH.
典例2 解:(1)证明:∵∠OAB=∠OBA,∴OA=OB,
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BD=AC,∴□ABCD 是矩形;
(2)∵ ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,
∵∠AOB=120°,∴∠ABD=∠OAB=30°,∴BD=2AD=8,∴AC=BD=8.
变式 解:(1)证明: ∴四边形ABCD 是平行四边形，
∴AC,BD互相平分;
(2)四边形ABCD 是矩形,
证明：连接OE，如图所示：
由(1)得，四边形ABCD 是平行四边形，
∴平行四边形ABCD 是矩形.
典例3 解:(1)证明:∵点 D 是AB 的中点,
∵点 E 是AC 的中点,点 F 是BC 的中点,∴EF 是 的中位线，
∥∴四边形 ADFE 是平行四边形，
∴AF与DE 互相平分;
(2)当 时,四边形 ADFE 为矩形，
理由：∵线段DE为 的中位线，
由(1)得，四边形ADFE 是平行四边形，∴四边形 ADFE为矩形.
变式 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠AFC=2∠D,
∴AB=CD,AB∥CD,∠ABC=∠D,
∵CE=CD,∴AB=CE,∴四边形 ABEC 是平行四边形，∴BC=2BF,AE=2AF,
∵2∠D=∠AFC=∠ABC+∠BAE,∴∠ABC=∠BAE,∴AF=BF,∴AE=BC,
∴四边形 ABEC 是矩形;
(2)∵四边形ABEC 是矩形,AB=2,BC=5,∴∠BAC=90°,
∴□ABCD的面积为
【当堂测·夯基础】
1. C
2.对角线相等的平行四边形是矩形
3. 4 4. 6.5
5.证明:∵O是边AB 的中点,∴OA=OB,
在△AOD和△BOC中, ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,
∵∠A=∠B=90°,∴∠A+∠B=180°, ∥
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
又 ∴四边形 ABCD 是矩形.
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