检测3一元二次函数、方程和不等式基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．苦，那么
D．若，则
2．（2023高三上·广西·学业考试）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
5．（23-24高三上·陕西汉中·期中）下列函数中，最小值为的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
8．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是真命题
D．“在上单调递增”是“”的必要不充分条件
11．（24-25高一上·重庆·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为
B．已知，，，则的最小值是
C．若，则的最小值为4
D．若，，，则的最小值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
13．（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ．
14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题
(1).已知，，求的取值范围；
(2).已知，，求的取值范围；
(3).已知，比较与的大小.
16. (15分) （24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
17. (15分) （23-24高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
18. (17分) （24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最小值．
19. (17分) （24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若，求关于x的不等式的解集；
(3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围．检测3一元二次函数、方程和不等式基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．苦，那么
D．若，则
2．（2023高三上·广西·学业考试）如图，是半圆O的直径，点C是直径上一动点，过点C作的垂线，交弧于点D，联结、、．设，，比较线段与的长度，得出结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数 的最小值是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
4．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知实数，且，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．或
5．（23-24高三上·陕西汉中·期中）下列函数中，最小值为的是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·湖北黄冈·一模）若，且则的最小值为（ ）
A．20 B．12 C．16 D．25
8．（24-25高一上·重庆·期中）当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知实数，，，满足，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·福建福州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．至少有一个实数，使
B．“”是“”的充分不必要条件
C．命题“，”的否定是真命题
D．“在上单调递增”是“”的必要不充分条件
11．（24-25高一上·重庆·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则的最大值为
B．已知，，，则的最小值是
C．若，则的最小值为4
D．若，，，则的最小值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是 ．
13．（2023·上海金山·二模）已知正实数a，b满足，则的最小值为 ．
14．（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）解决下列问题
(1).已知，，求的取值范围；
(2).已知，，求的取值范围；
(3).已知，比较与的大小.
16. (15分) （24-25高一上·湖南·阶段练习）已知，且．
(1)证明：；
(2)求的最小值．
17. (15分) （23-24高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
18. (17分) （24-25高一上·江苏扬州·期末）已知，，．
(1)求的最小值；
(2)求的最小值；
(3)求的最小值．
19. (17分) （24-25高一上·天津北辰·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为．
(1)求实数a，b的值；
(2)若，求关于x的不等式的解集；
(3)若对任意的实数恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A A B C D C AD BCD
题号 11
答案 CD
1．B
【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小一一判断求解.
【详解】对A，取，满足，但，A错误；
对B，因为，所以，所以，所以，B正确；
对C，取，满足，但不成立，C错误；
对D，，
因为，所以，即，D错误；
故选:B.
2．B
【分析】根据几何关系表示和，即可比较大小.
【详解】因为是圆的半径，所以，
因为是圆的直径，所以，
则，即，即，
所以，
当点与点重合时，，否则，即，
所以.
故选：B
3．A
【分析】由基本不等式求解，
【详解】
因为 所以 ， (当且仅当 即 时，等号成立
故最小值为，
故选：A
4．A
【分析】根据基本不等式“1”的妙用先求得的最小值，进而转化问题为，解不等式即可求解.
【详解】由，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
要使恒成立，则，
解得，即实数的取值范围为.
故选：A.
5．B
【分析】运用基本不等式及对勾函数依次求各项的最小值即可.
【详解】对于A项，当时，，当且仅当即时取等号，当时，，当且仅当即时取等号，故A项不成立；
对于B项，因为，，所以，当且仅当即时取等号，故B项成立；
对于C项，令（），则，
所以，，
由对勾函数可知，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，故C项不成立；
对于D项，令（），则，，
由对勾函数可知，在上单调递减，
所以的值域为，此时函数在上无最小值，故D项不成立.
故选：B.
6．C
【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解．
【详解】∵，
∴，又，
所以不等式的解为或．
故选：C．
7．D
【分析】由乘“1”法即可求解.
【详解】由条件可知：
所以，
当且仅当，即取得等号，
所以的最小值为25，
故选：D
8．C
【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可；
【详解】当时，恒成立，等价于恒成立，
又，当且仅当即时取等号，
所以，
故选：C.
9．AD
【分析】直接利用不等式的基本性质判断选项A，B，利用作差法判断选项C，D.
【详解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，，所以，故B错误；
对于C，，
因为，，所以，即，故C错误；
对于D，因为，，则，所以，
则，
所以，故D正确．
故选：AD
10．BCD
【分析】对于A，由实数的平方的非负性可判断；对于B，利用不等式的性质判断即可；对于C，先表示出原命题的否定，再利用二次函数的性质判断即可；对于D，求出函数的单调递增区间，转化为集合间的包含关系判断即可.
【详解】对于A，由，得，则不存在实数使得方程成立，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立；
假设，，满足，此时不成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“，”的否定是“，”，
因为恒成立，所以“，”是真命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
对于D，由，
得二次函数的开口向下，对称轴方程为，则单调递增区间为，
若在上单调递增，则，
所以，解得，故充分性不成立；
若，则，此时，所以在上单调递增，故必要性成立；
所以“在上单调递增”是“”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BCD
11．CD
【分析】由和为定值，求积的最大值，判断选项A；先根据条件换元，再由基本不等式求解选项B；多次利用基本不等式求解选项C；利用基本不等式“1”的妙用求解选项D.
【详解】对于A，，解得，平方得，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故A错误；
对于B，由，可得，得，
则，
当且仅当，即，故等号不成立，故B错误；
对于C，，
当且仅当且，即时取等号，
所以的最小值为4，故C正确；
对于D，
，
当且仅当，即时取等号，
所认的最小值为，故D正确.
故选：CD
12．
【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴求参数范围即可.
【详解】甲：，设此范围对应集合；
由，则乙：，设此范围对应集合，
因为甲是乙的必要不充分条件，则是的真子集，
则，所以的取值范围是：.
故答案为：
13．8
【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由及，则，
当且仅当时等号成立，故的最小值为8.
故答案为：8
14．
【分析】先根据得，再利用不等式性质即可得到答案.
【详解】∵，
∴，
∵，
∴ ，
故的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由不等式性质可解决问题；
（2）由待定系数法结合不等式性质可得答案；
（3）由作差法结合条件可比较大小.
【详解】（1）因，，则，
则；
（2）设.
则.，
则；
（3）
因，则，
则
16．(1)证明过程见解析
(2)
【分析】（1）由基本不等式得到，从而得到，证明出结论；
（2）变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】（1）已知，且，
由基本不等式得，即，解得，
当且仅当，即时，等号成立，证毕；
（2）因为，且，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为
17．(1)，
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集得到和是方程的两根，再由韦达定理即可求解；
（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以和是方程的两根，
由韦达定理得，解得，；
（2）由（1）得，
，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值，
即的最小值为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得；
（3）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得.
【详解】（1）因为，，，
所以，所以，解得，
所以，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
（2），
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为；
（3）因为，且，所以，
所以
，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由的两根为-1和2，代入方程即可求解；
（2）结合（1）通过和，两类情况讨论即可；
（3）通过参变分离求最值即可求解.
【详解】（1）由题意可得：的两根为-1和2，
所以，
解得：.
（2）由（1）知：可化为：
，
即：
当，不等式为：，得，
当，的两根为：和
当时，
（i） ，即时，的解集为：；
（ii） ，即时，的解集为：；
（iii） ，即时，的解集为：；
综上：时，解集为；
时，解集为：；
时，解集为：；
时，解集为：；
（3）若对任意的实数，恒成立，求实数m的取值范围
由（1）可化为：，
即，对任意恒成立，
令，
可得，
易知，对称轴为：，所以当时，，
所以.
所以实数m的取值范围为.
