检测6函数的概念与性质能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数满足，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
5．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2023 B． C．3 D．
6．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．已知，则
B．若，则
C．函数，只有一个零点
D．不等式的解集为
10．（24-25高一上·广东潮州·期中）下列各结论中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是增函数
C．命题“”的否定是“”
D．若幂函数在上单调递减，则
11．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为且 B．关于点对称
C．在区间上为增函数 D．值域为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则 ．
14．（24-25高一上·福建厦门·期中）定义.若函数，则的最小值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式．
16. (15分) （24-25高一上·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？
17. (15分) （24-25高一上·四川巴中·期中）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
(1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
18. (17分) （24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式.
19. (17分) （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
(1)若函数是否满足性质？请说明理由.
(2)若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）；
(3)在（2）的条件下，已知，，若，证明：.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B B C B C D ABD AD
题号 11
答案 AD
1．C
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【详解】对于幂函数，
有，解得或，
当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点；
当时，，则幂函数为，显然其图象不过原点；
综上，或.
故选：C.
2．D
【分析】由函数的定义域求出的定义域，进而求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域是，
所以函数的定义域是，
令，所以，
所以函数的定义域是.
故选：.
3．B
【分析】代入即可求解.
【详解】，
故，
故选：B
4．B
【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意得，，当且仅当，即时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
5．C
【分析】根据已知求出的周期、可得答案.
【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，，
因为，所以，
可得，所以的周期为4，
故，，又，所以，
，所以，
则.
故选：C.
6．B
【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的.
【详解】不妨设，由，可得：，
则函数，在R上单调递增，
则，解得，
即实数a的取值范围为．
故选：B．
7．C
【分析】由题意可知不等式的解集为R，分情况讨论，即可求解.
【详解】当时，不等式恒成立.
当时，恒成立；
当时，则需满足，
综合可得的取值范围是.
故选：C
8．D
【分析】根据题意求出各选项的解析式，结合奇函数的定义及单调性判断即可.
【详解】对于A，，
定义域为，在上单调递减；
对于B，，
定义域为，在上单调递减；
对于C，，
定义域为，在上单调递增，
设，则，
所以函数不为奇函数；
对于D，，
定义域为，在上单调递增，
设，则，
所以函数为奇函数，符合题意.
故选：D.
9．ABD
【分析】A选项，利用不等式的性质得到，；B选项，由基本不等式求出最小值；C选项，根据，得到函数有两个零点；D选项，化简得到，故，求出不等式解集.
【详解】A选项，，故，又，所以，A正确；
B选项，，又基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，B正确；
C选项，，，
故函数一定有两个零点，C错误；
D选项，不等式，
故，解得，故解集为，D正确.
故选：ABD
10．AD
【分析】根据抽象函数的定义域求法判断A，判断函数的单调性，即可判断B，根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断C，根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可判断D.
【详解】对于A：由题设令，解得，
所以的定义域为，故A正确；
对于B：由定义域为，且在和上都单调递增，但在定义域上不单调，故B错误；
对于C：由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，故C错误；
对于D：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，故D正确.
故选：AD
11．AD
【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断A、B；根据解析式直接判断函数在区间上单调性判断C；由解析式求区间值域，结合对称性确定函数值域判断D.
【详解】由解析式知，即，故定义域为且，A对；
由，则函数关于y轴对称，不关于原点对称，B错；
当时，，易知函数在上为减函数，C错；
由上，，则，根据对称性知上值域也是，
若，则，故，根据对称性知上值域是，
所以值域为，D对.
故选：AD
12．
【分析】根据题意，由换元法，结合对勾函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】，
令，则时，，
，函数在上单调递减，
若，则，
若，则，
故函数值域为．
故答案为：.
13．1
【分析】利用换元法求得的解析式，进而求得.
【详解】令，则，即，
其中，则．
故答案为：
14．
【分析】先表示出的解析式，然后作出的图象，根据图象求解出最小值；结合图象分析值域为时定义域的情况，由此确定出的取值情况，即可求的最大值．
【详解】记，
当时，，即，
当时，，
则当时，，即，
当时，，即，
所以，当或时，，则；
当时，，则，
所以，，
作出图象，如图所示，
由图象可知：当时，有最小值，最小值为．
当时，或或；
当时，或，
由图象可知：当时，的值域为，
此时的最大值为；
当时，的值域为，此时，
综上，的最大值为．
故答案为：；．
15．（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【分析】（1）设，由换元法可得出答案.
（2）由，由配凑法可得答案.
（3）可设，利用待定系数法可得答案.
（4）将用替换,由方程消元法可得答案.
【详解】（1）（换元法）设，则．
所以，所以．
即．
（2）（配凑法）因为，
又当时，（当且仅当时取“”），
当时，（当且仅当时取“”），
所以．
（3）（待定系数法）因为是一次函数，可设，
所以.
即，所以
解得
所以的解析式是．
（4）（方程组法）因为，①
所以将用替换，得，②
由①②解得．
16．(1)；
(2)当产量为200个时，零件的利润最大，最大利润为12795元．
【分析】（1）分和两种情况，得到利润（单位：元）表示为产量的函数，写出分段函数的形式；
（2）当时，利用二次函数单调性求出最大值，当时，由对勾函数单调性求出最大值，比较后，得到答案.
【详解】（1）；
当时，，
当时，，
．
（2）当时，，
此时．
当时，由对勾函数知在上单调递减，
此时．
综上，当产量为200个时，零件的利润最大，最大利润为12795元．
17．(1)
(2)当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
【分析】（1）根据题意，分和两种情况，求出的解析式，从而得解；
（2）利用二次函数的性质与基本不等式分别求得两段解析式的最大值，从而比较得解.
【详解】（1）因为每件机器零件的批发价为元，所以万件机器零件的销售收入为万元，
依题意得，当时，，
当时，，
所以.；
（2）当时，，
所以在上单调递增，所以；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，所以，
因为，
所以当年产量为万件时，年利润最大，最大年利润为万元.
18．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【分析】（1）由关于原点对称可得，再结合代入计算即可得；
（2）借助单调性的定义证明即可；
（3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得.
【详解】（1）由题意可得为奇函数，
，即，
又，故，
即，此时有，
故为奇函数，图象关于原点对称，
故；
（2）在上单调递增，证明如下：
令，
则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
（3）由题意可得为奇函数，
则得，
又在上单调递增，则有，解得，
故不等式的解集为.
19．(1)满足性质，理由见解析
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）通过验证函数在定义域上是否满足，即可判断；
（2）由函数满足性质，求得的值，由函数在的不等式得到函数单调性，从而将函数值不等式转化为自变量的不等式，通过分类讨论来解答含参二次不等式，求得解集；
（3）由（2）得到函数满足且，从而得到，再由基本不等式求得，得证.
【详解】（1）当时，
，所以满足性质.
（2）若满足性质，
时，得到，
在上单调，在时恒有，
所以在上是单调减函数，
得到，即，
所以，即，即，
①当时，即时，不等式为，不等式解集为；
②当时，，不等式解集为；
③当时，，不等式解集为；
（3））已知，，若，
，
，
∵在上是单调函数，
，，
∵，当且仅当，即时，取等号，
又∵，∴.
【点睛】方法点睛，本题对函数的性质做了新的定义，我们要验证函数是否满足这个性质就得严格按照定义进行证明；同理在已知函数满足这个性质的时候，定义中的等量关系就是我们去解题的关键.所以在解决这类题目的时候应该认真阅读定义，并灵活运算相关知识进行运用.检测6函数的概念与性质能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）若幂函数的图象不过原点，则（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25高一上·云南昆明·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·新疆·阶段练习）已知函数满足，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为（ ）
A．135 B．149
C．165 D．195
5．（2024高三·全国·专题练习）已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（ ）
A．2023 B． C．3 D．
6．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·江苏常州·期中）若函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
8．（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数，则下列函数中为奇函数且在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．已知，则
B．若，则
C．函数，只有一个零点
D．不等式的解集为
10．（24-25高一上·广东潮州·期中）下列各结论中正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是增函数
C．命题“”的否定是“”
D．若幂函数在上单调递减，则
11．（24-25高一上·四川成都·期末）已知函数，则关于函数的说法正确的是（ ）
A．定义域为且 B．关于点对称
C．在区间上为增函数 D．值域为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为 ．
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数满足，则 ．
14．（24-25高一上·福建厦门·期中）定义.若函数，则的最小值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式：
（1）已知，求的解析式；
（2）已知，求的解析式；
（3）已知是一次函数且，求的解析式；
（4）已知满足，求的解析式．
16. (15分) （24-25高一上·云南大理·期中）某工厂生产某种医疗器械零件的固定成本为元，每生产一个零件需增加投入元，已知总收入（单位：元）关于产量（单位：个）满足函数：
(1)将利润（单位：元）表示为产量的函数；（总收入=总成本+利润）
(2)当产量为何值时，零件的利润最大？最大利润是多少元？
17. (15分) （24-25高一上·四川巴中·期中）我县提出了“科技强县”的发展目标，通江县工业园区为响应这一号召，计划在年投资新技术，生产某种机器零件，通过市场分析，生产此种机器零件全年需投入固定成本万元，每生产万件机器零件，需另投入变动成本万元，且由市场调研知每件机器零件的批发价为元，且全年内生产的机器零件当年能全部销售完．
(1)试写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少万件时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
（注：年利润=年销售收入固定成本变动成本）
18. (17分) （24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且.
(1)求的解析式；
(2)判断并用定义证明的单调性；
(3)解不等式.
19. (17分) （24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，就称函数满足性质.
(1)若函数是否满足性质？请说明理由.
(2)若满足性质，在定义域上单调，且对都成立，解关于的不等式（a）；
(3)在（2）的条件下，已知，，若，证明：.
