检测7指数函数与对数函数基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知是定义在R上的奇函数，时，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．8 B． C． D．
5．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，
1 1.5 1.25 1.375 1.3125
0.875 0.2246
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125
7．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（22-23高一上·四川成都·期中）幂函数在上单调递增，则的图像过定点 .
13．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．（24-25高一上·上海·阶段练习）方程有四个不同的实数根，求的取值范围 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）设函数的表达式为（且）．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，求的值．
16. (15分) （23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）计算：
(1)
(2)
17. (15分) （24-25高一上·江苏·阶段练习）已知
(1)求证：在上存在零点；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. (17分) （24-25高一上·四川成都·期末）已知函数（且）的图象过点.
(1)求的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集；
(3)记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
19. (17分) （24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)当时，若对于恒成立，求的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B A D D D ABC AD
题号 11
答案 BC
1．A
【分析】结合幂的运算性质可得，，结合幂函数的单调性比较的大小.
【详解】因为，，
所以，，
因为函数为增函数，，
所以，
故.
故选：A.
2．D
【分析】由对数运算性质，奇函数性质结合时的解析式可得答案.
【详解】.
故选：D
3．B
【分析】结合函数单调性，利用零点存在性定理计算即可得.
【详解】函数是定义域上的增函数，
又，，所以，
所以函数的零点所在区间为.
故选：B.
4．B
【分析】先计算出，根据函数为奇函数，得到.
【详解】，又是定义在R上的奇函数，故.
故选：B
5．A
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
则.
故选：A
6．D
【分析】由零点存在性定理和，得到方程的一个近似根为1.3125.
【详解】由于在R上为连续函数，
，，
且，
而，均不合要求，
故方程的一个近似根为1.3125，D正确
故选：D
7．D
【分析】构造函数，分析其奇偶性和单调性，再解不等式即可.
【详解】令，则，且定义域为，
所以为奇函数，
因为函数在上均为增函数，
所以函数在上为增函数，
因为，
所以原不等式可转化为，
即，
由单调性可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式，是解决本题的关键.
8．D
【分析】分析函数的单调性与奇偶性，由已知等式可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】对任意的，，即恒成立，
所以，函数的定义域为，
因为，
所以，，
所以，，故函数为奇函数，
当时，函数、均为增函数，
所以，函数在上为增函数，
因为外层函数为增函数，
由复合函数法可知，函数在上为增函数，
由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，可得，
又因为，，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为8.
故选：D.
9．ABC
【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C.
【详解】因为，所以，
对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，所以，故D错误.
故选：ABC.
10．AD
【分析】根据对数运算判断AC；根据根式的定义判断BD.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，是非负数，所以，故D正确；
故选：AD．
11．BC
【分析】利用函数的奇偶性的定义与零点的定义逐项判断即可得结论.
【详解】对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称.
又，所以是偶函数.
而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；
对于C，由，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数.
而，所以存在零点.
所以是偶函数又存在零点，故C正确；
对于D，由，解得，所以的定义域为.
所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.
故选：BC.
12．
【分析】由幂函数定义得到且，解得，结合指数函数的性质，得到定点坐标.
【详解】由题意得且，解得或-1（舍去），
故，令，得，此时，
故的图象过定点.
故答案为：
13．
【分析】根据复合函数单调性以及真数恒大于零，解不等式可得.
【详解】由题意知需满足在上恒成立，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减；
所以,解得；
即实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【分析】数形结合将方程转化为有4个交点的问题，即可求得实数的取值范围．
【详解】方程恰有四个不同的实数根，即函数与函数的图像有四个不同的交点，如图所示：
由图可知：，即得．
故答案为：.
15．(1)奇函数，理由见解析
(2)
【分析】（1）根据奇偶性的定义判断即可；
（2）由（1）可得，从而推导出，再利用并项求和法计算可得.
【详解】（1）的定义域为，且，
，
为上的奇函数．
（2）由（1）知，为上的奇函数，即，
令取，得，
，，
，
令，得，即，
，
即．
16．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据指数与对数的性质运算即可；
（2）直接利用对数运算性质即可得出.
【详解】（1）原式
.
（2）原式.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先判断函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）结合（1）的单调性可知对任意的，不等式恒成立，参变分离，结合基本不等式计算可得，需注意.
【详解】（1）函数的定义域为，
又与均在上单调递增，
所以在上单调递增，且为连续函数，
又，，
所以，所以在上存在唯一零点，
即在上存在零点；
（2）由（1）可知在上单调递增，
因为对任意的，不等式恒成立，
所以对任意的，不等式恒成立，
即对任意的，不等式恒成立，
又，当且仅当，即时取等号，
又，所以，
所以，即实数的取值范围为.
18．(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）将点代入函数解析式，即可求的值.
（2）根据（1）的结果，结合指数运算，将函数不等式转化为代数不等式求解.
（3）结合函数的单调性，求出两函数的值域，，再根据条件，可得集合，的包含关系，进一步可求实数的取值范围.
【详解】（1）因为函数（且）的图象过点，
所以.
（2）当时，不等式可化为，
也就是.
因为恒成立，所以.
所以所给不等式的解集为：.
（3）由（1）得：，当时，函数单调递增，
且，，所以函数的值域为：；
当时，函数单调递减，所以函数值域为：.
因为是的必要条件，所以.
所以.
所以实数的取值范围为：
19．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）换元，分类讨论解一元二次不等式，进而根据对数函数的单调性求解不等式即可；
（2）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解.
【详解】（1）不等式，
令，则，即，
即，即，
当时，，解得，所以，解得且；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．检测7指数函数与对数函数基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，，则，，的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏扬州·期末）已知是定义在R上的奇函数，时，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高一上·云南昆明·阶段练习）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·青海西宁·阶段练习）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．8 B． C． D．
5．（24-25高一上·山东·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知函数在区间内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如下表所示，
1 1.5 1.25 1.375 1.3125
0.875 0.2246
那么方程的一个近似根（精确度为0.1）为（ ）
A．1 B．1.5 C．1.25 D．1.3125
7．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，若，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列运算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（24-25高一上·广东东莞·期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（22-23高一上·四川成都·期中）幂函数在上单调递增，则的图像过定点 .
13．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
14．（24-25高一上·上海·阶段练习）方程有四个不同的实数根，求的取值范围 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）设函数的表达式为（且）．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数，求的值．
16. (15分) （23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）计算：
(1)
(2)
17. (15分) （24-25高一上·江苏·阶段练习）已知
(1)求证：在上存在零点；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18. (17分) （24-25高一上·四川成都·期末）已知函数（且）的图象过点.
(1)求的值；
(2)当时，求关于的不等式的解集；
(3)记在区间上的值域分别为集合，若是的必要条件，求实数的取值范围.
19. (17分) （24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数.
(1)求关于的不等式的解集；
(2)当时，若对于恒成立，求的取值范围.
