检测8指数函数与对数函数能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川眉山·一模）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设且，若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是定义在R上的偶函数，当时，，则当时， D．已知，则的最小值为
10．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称 D．在定义域上单调递减
11．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．方程只有一个实数根-3
D．方程有7个不等的实数根
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调递增区间为 ．
13．（24-25高一上·浙江温州·期中） .
14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设常数，函数.若方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值.
(1)；
(2)已知，求的值.
16. (15分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）
（1）；
（2）已知，用表示.
17. (15分) （24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，.
(1)证明：函数的图象是轴对称图形；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若函数有且只有一个零点，求实数的值.
18. (17分) （24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性并证明，并求的值域.
(3)解关于的不等式.
19. (17分) （24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若对于恒成立，求m的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D A C B C BC AC
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】列出年后的研发资金表达式，得出对应的不等式由换底公式计算可得结果.
【详解】设年后的研发资金开始超过200万元，所以；
可得，取对数可得，
因此最少需要4年，即该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年.
故选：C
2．C
【分析】依题意可得，又幂的运算性质及基本不等式计算可得.
【详解】因为，且，则，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
即的最小值为.
故选：C
3．A
【分析】先根据幂函数的定义和性质求出，再根据指数函数的性质即可得解.
【详解】由题意得且，解得，
，令得，此时，
故的图像过定点．
故选：A.
4．D
【分析】由幂函数和对数函数性质即可求解判断.
【详解】因为在为增函数，
所以，即；
又为增函数，所以，
所以.
故选：D.
5．A
【详解】由题意可得，计算即可得解.
【分析】由题意可得，
即，即.
故选：A.
6．C
【分析】由题意确定函数在每一段上单调递减需要满足的条件，以及函数在处函数值的关系，得到关于的不等式组，求解可得的取值范围.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故选：C.
7．B
【分析】分类讨论，当时， 令可判断原不等式不成立，当时，令函数，由函数的单调性可得当时，取得最大值，从而代入不等式可得解.
【详解】不等式，变形为，
当时， 令，则，此时原不等式不成立；
当时，令，
由在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，
故当时，取得最大值为，
由，解得，
所以.
故选：B.
8．C
【分析】由得或，作出函数的图象，将原方程三个不同的实数根转化为方程有两个解，方程有且只有一个解，数形结合求解即可.
【详解】由得或，作出函数的图象，
易知当时，不符合题意；
当时，，结合函数的图象知，
要使方程有三个不同的解，
需满足方程有两个解，方程有且只有一个解，
由图象知，所以.
故选：C.
9．BC
【分析】A选项，当为偶数时，；B选项，作差法比较出大小；C选项，由函数为奇函数，得到时，，则；D选项，将原式变形为，利用基本不等式求得最小值.
【详解】A选项，当为奇数时，，
当为偶数时，，A错误；
对于B，，
因为，
所以，
所以，
所以，即，故B正确.
对于C，因为是定义在上的偶函数，当时，，
所以当时，，则，故C正确；
对于D，，由基本不等式得，
当且仅当，即时取等号，但，故等号取不到，D错误
故选：BC
10．AC
【分析】根据对数函数的对称性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，所以A选项正确.
BC选项，由，解得或，
所以的定义域是.
，所以是奇函数，图象关于原点对称，
所以B选项错误，C选项正确.
D选项，在区间上单调递减，
在上单调递增，根据复合函数的单调性同增异减可知，
在上单调递减，所以D选项错误.
故选：AC
11．BC
【分析】直接代入即可求解A，根据时，即可代入求解B，作出函数图象，结合函数的周期性即可求解CD.
【详解】对A，，故A错误；
对B，当时，，故，故B正确；
对CD，由解析式可得当时，周期为3，当时，，故可作图：
易得当时，且，解得，故C正确；
又当时，，故方程有8个不等的实数根，故D错误；
故选：BC
12．
【分析】根据指数函数以及绝对值函数的单调性，结合复合函数单调性原则即可求解.
【详解】因为的定义域为R，设，
则在上单调递减，在上单调递增．
因为在R上单调递增，所以的单调递增区间为．
故答案为：
13．6
【分析】根据指对数的运算求解即可.
【详解】
.
故答案为：6
14．
【分析】首先画出函数的图象，利用与有3个交点，求的取值范围；对数方程去绝对值，得的值，再利用数形结合求的取值范围，即可求解.
【详解】画出函数的图象，与直线有三个交点，
所以实数的取值范围是：，
令，得，
所以.由图可知，，，，
由，得，，，
故答案为：；.
15．(1)4
(2)
【分析】（1）根据分数指数幂和根式运算法则得到答案；
（2）两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值.
【详解】（1）原式.
（2）因为，
所以，
，
所以.
16．（1）4；（2）
【分析】（1）根据对数恒等式，对数的换底公式的推论及对数运算法则化简求值；
（2）由条件，结合指数与对数的关系可得，再结合换底公式由表示.
【详解】（1）
；
（2）因为，故，
故.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将点，代入函数的解析式求出，再证明函数为偶函数，即可证明函数的图象是轴对称图形；
（2）将利用对数的运算化为，再进行求解即可；
（3）将问题转化为只有一个解，结合函数的单调性求出实数的值.
【详解】（1）由题意可知，，解得，.
所以.易知的定义域为，
因为，
所以函数是偶函数，故函数的图象是轴对称图形.
（2）不等式可化为，即，
解得，又，所以，解得，故原不等式的解集为.
（3）由（1）可知，，
由题意可知，，得，即，
令，又知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得.
18．(1)
(2)单调递增，理由见解析，的值域为；
(3)
【分析】（1）根据，求出；
（2）定义法判断函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论，并由，变形解不等式，求出值域；
（3）由函数奇偶性和单调性，得到，解不等式，求出解集.
【详解】（1）因为是定义域为R的奇函数，故，
，即，
故，解得；
（2）由（1）知，，在R上单调递增，
任取，且，
，
因为，在R上单调递增，故，
又，
所以，即，
所以在R上单调递增，
，变形得到，解得，
故的值域为；
（3）因为是定义域为R的奇函数，
故，
由（2）知，在R上单调递增，
所以，令，
则，解得，
故，解得，
不等式的解集为.
19．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用换元法，将函数转化为关于的二次函数，从而得解；
（2）利用换元法，将不等式转化为关于的二次不等式，解后再利用对数函数的单调性即可得解；
（3）利用换元法与参数分离法得到的恒成立问题，再利用函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为，
令，由，可知，
函数转化为．
因为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值，为．
由，可知当时，取到最大值，
故当时，函数的值域为．
（2）由题得，令，
则，即，解得或，
当时，即，解得；
当时，即，解得，
故不等式的解集为或.
（3）由于对于恒成立，
令，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以当时，函数取得最大值，为，
故当时，对于恒成立．
所以的最小值为.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立；
（2）恒成立.检测8指数函数与对数函数能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一上·浙江杭州·期末）某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
2．（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．（24-25高一上·四川德阳·期末）已知幂函数在区间上单调递减，则函数（且的图像过定点（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·云南曲靖·期末）若，则a、b、c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川眉山·一模）放射性物质的衰变规律为：，其中指初始质量，为衰变时间，为半衰期，为衰变后剩余的质量.已知甲、乙两种放射性物质的半衰期分别为，（单位：天），若两种物质的初始质量相同，1024天后发现甲的质量是乙的质量的8倍，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖南·阶段练习）设且，若函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高一上·安徽·阶段练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·广东湛江·期中）设，若关于的方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东江门·期中）下列说法正确的是（ ）
A． B．若，则
C．是定义在R上的偶函数，当时，，则当时， D．已知，则的最小值为
10．（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）关于函数，下列说法正确的有（ ）
A． B．的函数图象关于y轴对称
C．的函数图象关于原点对称 D．在定义域上单调递减
11．（22-23高一上·广东广州·阶段练习）设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．方程只有一个实数根-3
D．方程有7个不等的实数根
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）函数的单调递增区间为 ．
13．（24-25高一上·浙江温州·期中） .
14．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）设常数，函数.若方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 ，的取值范围为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·广东江门·期中）计算下列各式的值.
(1)；
(2)已知，求的值.
16. (15分) （24-25高一上·江西南昌·阶段练习）
（1）；
（2）已知，用表示.
17. (15分) （24-25高一上·广东广州·期末）已知函数的图象经过点，.
(1)证明：函数的图象是轴对称图形；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若函数有且只有一个零点，求实数的值.
18. (17分) （24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性并证明，并求的值域.
(3)解关于的不等式.
19. (17分) （24-25高一上·山东·阶段练习）已知函数
(1)当时，求该函数的值域；
(2)求不等式的解集；
(3)若对于恒成立，求m的最小值.
