检测5函数的概念与性质基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
4．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．在和上单调递增
B．在和上单调递减
C．在上为增函数
D．在上为增函数
11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知幂函数，则（ ）
A． B．的定义域为
C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数则 .
13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 .
14．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数．
(1)求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求时，的值域．
16. (15分) （24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的最小值.
17. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知为定义在上的奇函数，且满足当时，．
(1)求的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．
18. (17分) （24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
19. (17分) （23-24高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有．
(1)判断函数的单调性；
(2)解不等式：；
(3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B D D A B AC ABC
题号 11
答案 AC
1．D
【分析】列出使函数解析式有意义的不等式，解出的取值范围即为函数的定义域.
【详解】由，解得且，
故函数的定义域为.
故选：D.
2．B
【分析】根据幂函数的定义以及单调性可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】因为幂函数在上单调递增，
则，解得或.
故选：B.
3．C
【分析】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可.
【详解】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,
即当小于等于200时,适宜开展户外活动,
即,
因为,
所以当时,
只需,
解得:,
当时,
只需,
解得:,
综上: 适宜开展户外活动的时间段为,
共计7个小时.
故选:C
4．B
【分析】根据函数函数的定义域以及当和时函数值的正负，即可排除求解.
【详解】由于函数的定义域为，故可排除C，
当时，，此时可排除A,
当时，，此时可排除D,
故选：B
5．D
【分析】由题意可知，为方程的两根，由此求出的解析式，进而求出函数的值域，从而得解.
【详解】由关于的不等式的解集为，得，为方程的两根，
即，
整理得，
所以函数的值域为.
故选：D.
6．D
【分析】依题意可得在上单调递减，根据奇函数的性质得到在上单调递减，即可得到的取值情况，从而求出不等式的解集.
【详解】因为且，都有，
所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
所以在上单调递减，又，所以，
所以当或时，当或时，
不等式，即或，
解得或，
所以满足不等式的实数的取值范围为.
故选：D
7．A
【分析】建立方程组求出的解析式，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由，得，联立消去，得，
而，则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：A
8．B
【分析】根据题意，得到时，函数有最小值为，然后转化为时，函数，列出不等式组即可求解.
【详解】由题知，
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
.
当时，函数在上单调递减，
.
的最小值为0，
，解得，即实数的取值范围为.
故选：B.
9．AC
【分析】根据函数相等的标准，定义域相等，法则相同逐项判断即可.
【详解】对于选项A，的定义域为的定义域为，
定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项B，的定义域为的定义域为，
定义域相同对应关系不同，不是同一个函数；
对于选项C，的定义域的定义域为，定义域相同，
且，与对应关系也相同，是同一个函数；
对于选项D，的定义域为的定义域为，
两函数定义域相等，但对应关系不同，不是同一个函数.
故选：AC.
10．ABC
【分析】分别判断选项内函数在指定区间内的单调性即可.
【详解】函数，定义域为，
由函数和在和上都单调递增，
所以在和上单调递增，A选项正确；
函数，图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，
由反比例函数在和上单调递减，
所以在和上单调递减，B选项正确；
当时，函数，所以在上为增函数，C选项正确；
函数在上单调递减，上单调递增，D选项错误.
故选：ABC.
11．AC
【分析】根据幂函数的定义得到方程，求出的值，即可求出函数解析式，从而判断A、B、C；判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可判断D.
【详解】A：由幂函数知，，解得，故A正确；
B，C：，则的定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故B错误，C正确；
D：由知函数在上单调递增，
所以由可得，解得，
即不等式的解集为，故D错误.
故选：AC
12．0
【分析】根据分段函数法则，先求，再求即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：0
13．1
【分析】因为奇函数且定义域为R，故可由求得的值，再利用奇函数的定义验证即可.
【详解】因为函数为奇函数，定义域为R，所以，即
此时，
，
即为奇函数，符合题意.
故答案为：1.
14． /
【分析】结合函数满足的性质以及当时，，即可求得；利用函数的性质推得其解析式，作出其大致图象，数形结合，求解不等式，即可确定的取值范围.
【详解】由题意得；
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
故由得，
由此作出函数的大致图象如图：
当时，令，解得或，
结合图象解不等式，可得或，
由于对任意，都有，故，
故答案为：，
15．(1)，，
(2)或1或
(3)图象见解析，
【分析】（1）根据分段函数解析式计算可得；
（2）根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得；
（3）根据函数解析式，可作出函数图象，根据函数解析式易求时，的值域.
【详解】（1）因为，
所以，，
.
（2）当时，，∴；
当时，，∴；
当时，，∴或（舍）.
综上所述，m的值为或1或.
（3）函数的图象，如图所示：
当，，
当，，
综上所述：结合图象可得的值域为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，根据条件建立方程组，即可求解；
（2）由（1）可得，对分类讨论，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）设，
因为
，
所以，解得，
所以.
（2），
当时，在上单调递增，，
当时，，
当时，在上单调递减，.
综上，.
17．(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）依题意可得，再求出时函数解析式，即可得解；
（2）根据单调性的定义，利用作差法证明即可.
【详解】（1）因为为定义在上的奇函数，
所以，
又当时，，
设，则，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
任取且，
则
,
∵且，故，，，,
则，故,
即，∴在上单调递增.
18．(1)
(2)70个，640万元
【分析】（1）利润=销售额-另投入成本-固定成本，分段计算整理即可；
（2）分别计算分段函数的最值，比较得出函数最值.
【详解】（1）根据题意得
当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为450，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为640，
所以建造70个生态农场获得的利润最大，最大利润为640万元.
19．(1)函数是定义在上的增函数.
(2)
(3)
【分析】（1）利用函数单调性的定义即可得到结果.
（2）由第一问的结果增函数即可求解不等式的解集.
（3）首先将函数恒成立问题转化成立，就是关于t的不等式求解，再构造函数进而求出实数的取值范围.
【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以，
设则由得到，
即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数.
（2）由（1）知函数是定义在上的增函数，且；
则有,解得，所以不等式的解集为
（3）因为，所以，若对所有，
恒成立，则成立，且，
所以对恒成立，即，恒成立，
令，则,即,解得，故实数的取值范围为检测5函数的概念与性质基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·辽宁锦州·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·云南昆明·期中）幂函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）
A． B．或 C． D．或
3．（22-23高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ）
A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时
4．（22-23高一上·湖南·期中）已知函数，则其图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·广东广州·期末）已知函数，若关于的不等式的解集为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高一上·湖北·阶段练习）定义在上的奇函数满足：且，都有，，则满足不等式的实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知函数的最小值为0，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列各组函数是同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列关于函数的结论正确的是（ ）
A．在和上单调递增
B．在和上单调递减
C．在上为增函数
D．在上为增函数
11．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知幂函数，则（ ）
A． B．的定义域为
C．为非奇非偶函数 D．不等式的解集为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数则 .
13．（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数为奇函数.则 .
14．（23-24高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，满足，且当时，． ；若对任意，都有，则的取值范围是 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·广东惠州·期中）已知函数．
(1)求，，的值；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的大致图象，并求时，的值域．
16. (15分) （24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知二次函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若，求的最小值.
17. (15分) （24-25高一上·湖北·阶段练习）已知为定义在上的奇函数，且满足当时，．
(1)求的解析式；
(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明．
18. (17分) （24-25高一上·山东潍坊·期中）某地结合实际情况，因地制宜发展生态产业，计划未来五年内在当地建造一批生态农场.经过调研得知，初期需投入固定成本300万元，除此之外，建造个生态农场需另投入成本万元，且初步估计未来五年内每个生态农场能带来30万元的利润.
(1)求该期间生态农场带来的利润（万元）关于农场数目的函数关系式；
(2)建造多少个生态农场能给当地带来最大利润？并求最大利润.
19. (17分) （23-24高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有．
(1)判断函数的单调性；
(2)解不等式：；
(3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
