检测2集合与简易逻辑用语能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若，则是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
4．（24-25高一上·全国·课后作业）《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．方程的解集是
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．9以内的素数组成的集合是
D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．或
11．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ）
A．3数集A有6个非空真子集
B．4数集B有6个2子集
C．若集合，则C的等和子集有2个
D．若集合，则D的等和子集有24个
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
13．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 .
14．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （21-22高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
16. (15分) （22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或．
(1)若 ，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
17. (15分) （24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合，，.
(1)求，，；
(2)若，求的取值范围.
19. (17分) （24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数.
(1)若，求集合；
(2)若，求的最小值；
(3)试判断与的大小关系，并证明你的结论.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A B A A D B BD ACD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】根据全称量词命题的否定求解即可.
【详解】根据全称量词命题的否定，：.
故选：D.
2．C
【分析】根据符号所代表的集合和集合与元素的关系逐项判断即可.
【详解】选项A：表示实数集，所以，说法错误；
选项B：表示有理数集，所以，说法错误；
选项C：表示整数集，所以，说法正确；
选项D：表示自然数集，所以，说法错误；
故选：C
3．A
【分析】由已知结合集合相等的条件及集合元素的互异性即可求解.
【详解】因为集合，
若，则或，
解得或，
当时，，与集合元素的互异性矛盾，舍去，
故，，符合题意，此时.
故选：A.
4．B
【分析】由充分不必要条件的概念即可判断.
【详解】充分性：根据这句话的大意可知，如果顺应天时地利的万物规律，就能花费较少的力取得更多成功，所以充分性成立；
必要性：“用力少而成功多”的前提不一定是“顺天时，量地利”，比如某种果实产量高，有可能是播种方式或灌溉频率等人为因素引起的，
故“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的充分不必要条件．
故选：B
5．A
【分析】首先判断阴影部分表示，然后求解，再根据并集的概念求解即可.
【详解】由图可知阴影部分表示的集合为，
因为，
所以或，
所以，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故选：.
6．A
【分析】分、和三种情况求解集合，并结合即可求解.
【详解】当时，即恒成立，故此时，满足；
当时，由得，故此时，
因为，，所以且，
所以；
当时，由得，故此时，
因为，，所以且，
所以.
综上，实数a的取值范围为.
故选：A.
7．D
【分析】根据绝对值的定义求解不等式，利用充分条件的定义建立不等式组，可得答案.
【详解】由不等式，可得（不合题意），
要使得是的一个充分条件，
则满足，解得.
故选：D.
8．B
【分析】设，根据元素个数得到子集个数，即，分析出，即可求解.
【详解】设，
则，即，
所以,
若,则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
若，则，即左边为奇数，右边为偶数，不成立，
所以,即，
因为，
且满足，
所以包含了的个元素外，
还包含个属于而不属于的元素，
当时，则,
如，符合题意.
当时，则,
如，符合题意.
所以的最大值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题考查交集与并集的混合运算，及集合的元素个数与集合子集间的关系，解题的关键由已知条件求，再分和讨论，体现了分类讨论的数学思想方法，难度较大.
9．BD
【分析】由集合元素的互异性可得A错误，D正确；无序性可得B正确，由0不是素数可得C错误；
【详解】对于A，方程的解集是，故A错误；
对于B，由集合中元素的无序性可得B正确，故B正确；
对于C，9以内的素数组成的集合是，故C错误；
对于D，由集合中元素的互异性可得均不相等，故D正确；
故选：BD.
10．ACD
【分析】转化为集合之间的包含关系，再对比选项即可.
【详解】设该条件所表示的集合为，因为其是“”的一个必要不充分条件，
则 .
对比选项知ACD，符合题意，B不合题意.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可.
【详解】3数集A有个非空真子集，A正确.
假设，
则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确.
C的等和子集有，，，共3个，C错误.
因为，，，所以在D中，
只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中，
D的等和子集有，，共2个；
在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个；
在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个；
在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个；
在D的8子集中，D的等和子集有，共1个.
综上，D的等和子集有个，D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】由条件可得，列不等式求的取值范围.
【详解】因为“”为假命题，
所以“”为真命题，
即方程没有实数根，
所以，故，
所以的取值范围为.
故答案为：.
13．
【分析】解出集合，由得到实数m的取值范围.
【详解】解得，即，
∵，∴
故答案为：
14．/
【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可.
【详解】集合，，且M，N都是集合的子集，
由，可得，由，可得．
要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立.
当，，，“长度”为，
当，，，“长度”为，
故集合的“长度”的最小值是.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用全称量词命题为真求出的范围，再由为真求得答案.
（2）由存在量词命题为真求出命题，进而求出，再结合（1）的信息求出结果.
【详解】（1）对于任意，不等式恒成立，而，则，
即命题，则命题，
所以实数的取值范围是.
（2）由，得，解得，
即命题，则命题，由（1）知命题，
由命题和均为真命题，得，
所以实数的取值范围是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用非空集合思想来得到参数的不等式求解即可；
（2）根据子集思想，讨论空集和非空集合两种情形，再进行端点值比较，得到不等式求解即可.
【详解】（1）由 ，则，
因为集合，所以，
解得：，故实数的取值范围是；
（2）由，则，
当为空集时满足题意，此时有，即；
当，且，或．则,
而且还满足或，解得：或，
由于，所以此时只有，
综上可得：实数的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据是真命题得到是假命题，利用判别式列不等式来求得的取值范围.
（2）根据“是的必要不充分条件”列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）因为命题是真命题，则命题是假命题，
即关于的方程无实数根，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，若命题是真命题，则，
因为命题是命题的必要不充分条件，
则是的真子集，
因此，解得，
所以实数的取值范围是.
18．(1)，，或
(2).
【分析】（1）根据集合的定义计算集合的并集，交集以及补集.
（2）利用集合的性质求参数的取值范围.
【详解】（1）因为，，
所以，，或.
（2）因为，，且，
所以，所以的取值范围是.
19．(1)
(2)15.
(3)，证明见解析
【分析】（1）由集合新定义直接求出即可；
（2）分、讨论，根据可得答案；
（3），不妨设，则可得答案.
【详解】（1）由题意可得；
（2）当时，.
当时，，此时最多有个.
于是.
由，即，解得.
当中的15个元素都是质数时，因为任意两个质数的商是不相等的，
此时，所以的最小值为15；
（3）.
不妨设，则，
至少这个元素属于.
于是.
【点睛】关键点点睛：第二小问关键点在于对集合新定义的理解，考虑互质与不互质的情况，再结合集合中元素的互异性和二次函数知识作答.检测2集合与简易逻辑用语能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·辽宁丹东·期中）若，则是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·天津河北·期中）下列关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）已知集合，若，则（ ）
A． B．2 C． D．6
4．（24-25高一上·全国·课后作业）《齐民要术》是中国杰出农学家贾思勰（xié）所著的一部综合性农学著作，也是中国现存最早的一部完整的农书，被誉为“中国古代农业百科全书”．书中有一句为“顺天时，量地利，则用力少而成功多”．大意是说根据规律办事，就可以用较少的力收获更多的成功．则“顺天时，量地利”是“用力少而成功多”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·福建福州·期中）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·北京朝阳·期中）数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法.记为集合的元素个数，为集合的子集个数，若集合满足：①，；②，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·重庆·阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．方程的解集是
B．由1，2，3组成的集合可表示为或
C．9以内的素数组成的集合是
D．若集合中的元素是的三边长，则一定不是等腰三角形
10．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）下列条件中可以作为“”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．或
11．（24-25高一上·河南·阶段练习）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（ ）
A．3数集A有6个非空真子集
B．4数集B有6个2子集
C．若集合，则C的等和子集有2个
D．若集合，则D的等和子集有24个
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）若命题：“”为假命题，则实数的取值范围为 ．
13．（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知集合或，，若，则实数m的取值范围是 .
14．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中，.已如集合，，且，都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （21-22高一上·辽宁丹东·阶段练习）已知命题，命题.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题和均为真命题，求实数的取值范围.
16. (15分) （22-23高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知集合，或．
(1)若 ，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
17. (15分) （24-25高一上·江苏淮安·期中）已知：关于的方程有实数根，．
(1)若命题是真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高一上·广东东莞·期中）已知集合，，.
(1)求，，；
(2)若，求的取值范围.
19. (17分) （24-25高一上·广东佛山·阶段练习）已知正实数集，定义称为的商集，用来表示集合中元素的个数.
(1)若，求集合；
(2)若，求的最小值；
(3)试判断与的大小关系，并证明你的结论.
