检测4一元二次函数、方程和不等式能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ）
A． B．1 C．17 D．25
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·广东广州·期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，且，则的最小值为9
10．（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的取值范围是
11．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ．
13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 .
14．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，．
(1)若，求和B；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16. (15分) （24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
(1)用、表示文字宣传区域面积和；
(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
17. (15分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为{或}，求，的值．
(2)求不等式的解集．
18. (17分) （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
19. (17分) （24-25高一上·广东·阶段练习）已知函数．
(1)若方程在上有解，求的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若，求函数在区间上的最大值．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D B A C A A D AD BCD
题号 11
答案 BCD
1．D
【分析】由题意确定对称轴为，进而得到，即可求解.
【详解】由题意可知二次函数对称轴为：，即，
解得：，
所以，
故选：D
2．D
【分析】求集合中函数的值域，得到集合，再由集合交集和补集的定义求.
【详解】函数值域为，则，
又，则有，所以.
故选：D.
3．B
【分析】根据得，则，再利用基本不等式即可求解.
【详解】∵正实数满足，
∴，
则
.
当且仅当，且，即时取等号，
故选：B．
4．A
【分析】原命题为假命题，所以命题的否定为真命题，从而，恒成立.分离常数，结合对勾函数的单调性求最值即可.
【详解】原命题为假命题，则否定为真命题，即，恒成立，
，令，则，，
所以，
根据对勾函数的性质知在上单调递增，所以当时，，
∴.
故选：A.
5．C
【分析】根据题意结合基本不等式运算求解即可.
【详解】因为，可得，
又因为，即，整理可得，
且，，则，可得，
当且仅当，即，时，所以取得最大值．
故选：C.
6．A
【分析】利用基本不等式可求解.
【详解】因为，所以.因为，所以，所以，即，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是6.
故选：A
7．A
【分析】由不等式的性质可判断A；举反列可判断BCD.
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A正确；
对于B，已知，取，
所以，
所以，故B错误；
对于C，，，故C错误；
对于D，已知，取，
，所以，故D错误.
故选：A.
8．D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出范围.
【详解】由，且，得，
当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D
9．AD
【分析】利用一元二次不等式的解法和充分不必要条件的定义判断选项A；利用全称量词命题的否定为存在量词命题判断选项B；利用不等式的性质判断选项C，利用基本不等式“1”的妙用判断选项D.
【详解】对A，由，可得，
即，解得或，
所以“”能推出“”， “”不能推出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；
对B，命题“”的否定是“”，B错误；
对C，若，则不成立，所以C错误；
对D，因为，
所以，
当且仅当，即，
又因为，所以时，等号成立，
所以的最小值为9，D正确；
故选:AD.
10．BCD
【分析】特殊值判断A；利用不等式性质判断BC；利用不等式性质求的范围判断D.
【详解】对于A，由，但，即，错误；
对于B，因为，，所以，又因为，，所以，
所以，正确；
对于C，由得，所以，又，所以，正确；
对于D，因为，所以，
两个不等式相加，得到，即的取值范围是，正确.
故选：BCD.
11．BCD
【分析】根据基本不等式判断ABD，由不等式性质判断C．
【详解】，
，所以，
当且仅当，即时等号成立，A错；
，
当且仅当，即 时等号成立，B正确；
由已知，，，
所以，C正确；
由已知，，
，
当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：BCD．
12．
【分析】利用作差法比较大小即可.
【详解】，
因为，所以，，所以，
所以.
故答案为：
13．
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故答案为：.
14．
【分析】对不等式的类型分类讨论，根据判别式及二次项系数的符号列式可求出结果.
【详解】①当，即时，
，解得.
②当，即时，
若，则原不等式为，恒成立．
若，则原不等式为，即，不符合题目要求，舍去．
综上所述，当时，原不等式的解集为R.
故答案为：.
15．(1)；
(2)．
【分析】（1）分别求出集合A和集合B即可.
(2) 因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ,即可求出a的取值范围.
【详解】（1）当时，化为，则，
，；
化为，则，
所以
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，所以 ，
又，
所以且等号不同时成立，
解得，即的取值范围为．
16．(1)
(2)长和宽分别为时，面积取得最大值.
【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即得.
（2）由（1）的结论，利用基本不等式求出最大值.
【详解】（1）依题意，三个栏目的文字宣传区域拼在一起，相当于长宽分别为的矩形，
所以.
（2）依题意，，由（1）知，
当且仅当时取等号，由，解得，
所以纸张的长和宽分别为时，面积取得最大值.
17．(1)，
(2)答案见详解
【分析】（1）由一元二次不等式与一元二次方程的关系可知得方程的两根为和，由韦达定理列式求解；
（2）不等式可转化为，对分类讨论求解.
【详解】（1）根据题意，，方程的两根为和，
，解得.
（2）不等式可转化为，即，
当时，上式变为，解得，
当时，方程的根为或，
当时，，所以原不等式的解集为或，
当时，，所以原不等式的解集为，
当时，，所以原不等式的解集为，
当时，，所以原不等式的解集为.
综上所述，原不等式解集为：
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．(1)5
(2)9
【分析】（1）根据得，再由，结合基本不等式求最小值，注意要分析等号成立的条件.
（2）由得，再根据“1”的应用，，结合基本不等式求最小值.
【详解】（1）因为，，且，所以，所以，
则.
因为，所以，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，即，
故的最小值是5.
（2）因为，所以，
所以.
因为，，所以，，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以，即，
故的最小值是9.
19．(1)
(2)答案见解析
(3).
【分析】（1）将题意转化为在上有解，求出的值域可得，解不等式即可.
（2）由可得，分类讨论，和，解一元二次不等式即可得出答案.
（3）分，和，结合二次函数的性质求出.
【详解】（1）在上有解，
即在上有解，
因为，所以，
因为，
所以，解得，
所以的取值范围是．
（2）因为，
所以即，
即，
①当，即或时，的解集为；
②当，即或时，的解集为；
③当，即或时，的解集为．
综上可得，或时原不等式的解集为
或时原不等式的解集为
或时原不等式的解集为．
（3）由题意知，当时，，
在上单调递增，
当时，
在上单调递减，在上单调递增，
且，令，解得或，
所以当时，，
当时，，
综上:.检测4一元二次函数、方程和不等式能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则等于（ ）
A． B．1 C．17 D．25
2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知全集，集合，则（ ）．
A． B．
C． D．
3．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知正实数a、b满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
4．（24-25高三上·江苏南通·期中）若命题“，不等式成立”是假命题，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）已知实数满足，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知，且，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．14 D．16
7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高一上·广东广州·期末）若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）下列命题为真命题的是（ ）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．命题“”的否定是“”
C．若，则
D．若，且，则的最小值为9
10．（24-25高一上·江苏·期末）下列命题中正确的是（ ）
A．若且，则
B．若，则
C．若且，则
D．若，则的取值范围是
11．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）若正数，满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ．
13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最小值为 .
14．（24-25高一上·上海静安·阶段练习）若不等式的解集为，则实数a的取值范围是 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·福建福州·期中）已知集合，．
(1)若，求和B；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
16. (15分) （24-25高一上·上海·期中）某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为．版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为．三个栏目的文字宣传区域面积和为，
(1)用、表示文字宣传区域面积和；
(2)如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
17. (15分) （24-25高一上·北京·阶段练习）已知关于的不等式．
(1)若不等式的解集为{或}，求，的值．
(2)求不等式的解集．
18. (17分) （24-25高一上·云南昆明·阶段练习）已知，，且.
(1)求的最小值；
(2)求的最小值.
19. (17分) （24-25高一上·广东·阶段练习）已知函数．
(1)若方程在上有解，求的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集；
(3)若，求函数在区间上的最大值．
