检测12必修第一册综合检测能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ）
A． B．0 C． D．2
4．（22-23高三上·天津滨海新·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·河南周口·期末）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．3
11．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．函数（且）的图像必过定点
B．若（且），则
C．已知函数，方程的实数解为
D．对任意，都有
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知是角终边上的一个点，将绕原点顺时针旋转至，则点的坐标为 .
13．（24-25高一上·江苏·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为 .（精确到0.01）
14．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·四川成都·期末）已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
16. (15分) （23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值.
17. (15分) （24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，.
(1)求证：为奇函数；
(2)解关于的不等式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高一上·天津宁河·期中） 已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间 上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
19. (17分) （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的最小正周期为.
(1)若，求的值；
(2)的图象关于点中心对称，求的解析式，并求函数的单调递增区间.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A C C C A AC ABD
题号 11
答案 AC
1．C
【分析】由可知，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项.
【详解】由可知，故AB错误；
如图，
对于C选项，，正确；
对于D选项，，错误.
故选：C
2．B
【分析】先根据点所在的象限，判断，的符号，再结合各象限三角函数的符号，确定角终边所在的位置.
【详解】因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故选：B
3．D
【分析】根据幂函数的特征以及性质可求得结果.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又因为该函数在上为增函数，
所以，
故选：D.
4．A
【分析】解出不等式和，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解.
【详解】由，得，解得；
由，得，得，
当时，一定可以推出，而当时，不能推出，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5．C
【分析】根据代数式有意义的条件列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】因为，
所以，
所以函数的定义域为，
故选：C．
6．C
【分析】利用函数的奇偶性及在2处的函数值正负判断即得.
【详解】函数的定义域为R，
，函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除BD；
而，排除选项A，选项C符合题意.
故选：C
7．C
【分析】先根据分段函数的单调性求的范围，然后在解抽象不等式.
【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增，
于是单调递增时只需，则；
又因为在上单调递增，
且，则，即
于是.
故选：C
8．A
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
则，
所以
，
当且仅当时，
即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
9．AC
【分析】取特殊值可判断B为假命题，C为真命题，由绝对值的性质可得A正确，根据二次函数性质可判断D错误.
【详解】对于A，易知对，和不同时为0，所以，即A为真命题；
对于B，当时，，所以，为假命题；
对于C，易知当时，，即C为真命题；
对于D，若，易知在或时，取得最小值为，
因此，，即D为假命题.
故选：AC
10．ABD
【分析】根据奇偶函数的性质得到，根据对于任意，都有得到在为增函数，从而得到，即可得到答案.
【详解】由题意得.
因为对于任意，都有，
所以对于任意，都有，
设，得在为增函数.
当时，在为减函数，不符合题意.
当时，.
所以可以为1，2，3.
故选：ABD
11．AC
【分析】A由可得函数所过定点；
B由指数函数单调性可判断选项正误；
C解方程可判断选项正误.
D由函数与1的大小关系可判断选项正误.
【详解】对于A，令，可得，又，
则图象过点，故A正确；
对于B，若，且时，，故B错误；
对于C，，
故C正确；
对于D，当时，；当时，;
当时，.故D错误.
故选：AC
12．
【分析】设，首先求出，根据三角函数的定义即可求出的值，再求出，则，计算可得.
【详解】设，因为，
由正切函数定义可得，解得；
，
所以，
，
即点Q的坐标为.
故答案为：．
13．
【分析】根据题意可得，再结合对数式与指数式的互化及对数的运算性质即可求解．
【详解】由题意知，
所以，两边取以10为底的对数，得，
所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，求出，根据每10分钟转一圈，求出，最后根据点的起始位置在摩天轮的最低点，求出，再代入即可求解.
【详解】因函数最大值为110，最小值为10，因此有，解得，，
而函数的周期为10，即，则，
又当时，，则，而，解得，
所以，
故答案为：.
15．(1)，；
(2)
【分析】（1）求出，由并集，交集和补集概念求出集合；
（2），分和两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）时，，又，
故，
或，
故或；
（2），
当时，，解得，
当时，，解得，
故的取值范围是.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再结合正弦函数的性质求出解析式.
（2）由（1）的结论，利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的单调性求解.
【详解】（1）依题意，，
由函数的最小正周期为，得，解得，
由图象关于直线对称，得，即，
而，因此，所以.
（2）由（1）得
，
令，得，
则函数的单调递增区间为，依题意，，
则，所以实数的最大值是.
17．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案；
（2）设，根据在上的单调性可得答案；
（3）原不等式等价为对恒成立，再利用基本不等式可得答案.
【详解】（1）函数，即，
可得，解得或，
可得的定义域为，关于原点对称，
又，则为奇函数.
（2）不等式，即为式，
设，即，可得在上单调递减，
所以由，所以，解得，
所以原不等式的解集为.
（3）由题意，则，解得，
所以恒成立，即恒成立，
化为，即对恒成立
由，
当且仅当，即时，取得等号，
所以，即的取值范围是.
18．(1)奇函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)最大值为，最小值为
【分析】（1）首先求出函数的定义域，再根据奇偶性的定义证明即可；
（2）利用单调性的定义证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可.
（3）根据的奇偶性与单调性得到在区间的单调性，从而求出函数的最值.
【详解】（1）为奇函数.
证明：由已知，函数的定义域为．
则，都有，
且，
所以函数为奇函数．
（2）任取，且，则，
那么，
因为， 所以，，，
所以，
所以，
所以在上是增函数．
（3）因为为奇函数，且在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
所以当时，取得最小值，即，
当时，取得最大值，即.
19．(1)
(2)；在上的单调递增区间为
【分析】（1）由已知可得，可求；
（2）由周期可求，根据的图象关于点中心对称，可求得，进而可得，可求单调递增区间.
【详解】（1）由，可得，所以，，所以；
（2）函数函数的最小正周期为，
所以，解得，所以，
又因为的图象关于点中心对称，所以，
所以，又，所以，
所以，
所以，
令，得，
又，所以在上的单调递增区间为.检测12必修第一册综合检测能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·四川宜宾·期末）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是（ ）
A． B．0 C． D．2
4．（22-23高三上·天津滨海新·期末）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·河北石家庄·阶段练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·山东济南·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高三上·河南周口·期末）函数单调递增，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）下列四个命题中，为真命题的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（ ）
A．1 B．2 C．-1 D．3
11．（24-25高一上·宁夏银川·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．函数（且）的图像必过定点
B．若（且），则
C．已知函数，方程的实数解为
D．对任意，都有
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）已知是角终边上的一个点，将绕原点顺时针旋转至，则点的坐标为 .
13．（24-25高一上·江苏·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，于1898年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为常数.为测算某蓄电池的常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.若计算时取，则该蓄电池的常数大约为 .（精确到0.01）
14．（22-23高一下·山东枣庄·阶段练习）如图，摩天轮上一点在时刻距离地面的高度满足，，，，已知某摩天轮的半径为50米，点距地面的高度为60米，摩天轮做匀速运动，每10分钟转一圈，点的起始位置在摩天轮的最低点，则（米）关于（分钟）的解析式为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·四川成都·期末）已知集合.
(1)若，求；
(2)若，求的取值范围.
16. (15分) （23-24高一上·浙江杭州·期末）已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值.
17. (15分) （24-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，.
(1)求证：为奇函数；
(2)解关于的不等式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高一上·天津宁河·期中） 已知函数
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)证明在区间 上是增函数；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
19. (17分) （24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的最小正周期为.
(1)若，求的值；
(2)的图象关于点中心对称，求的解析式，并求函数的单调递增区间.
