检测10三角函数能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．对任意的，都有
C．函数在区间上恰好有三个零点 D．函数是偶函数
7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（ ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间）
A． B．
C． D．
8．（2025高三·全国·专题练习）已知是锐角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于的正角 D．第一或第二象限角
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高一上·贵州·阶段练习）下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是
B．终边在直线上的角α的取值集合可表示为
C．角α为第四象限角的充要条件是
D．若角α的终边上一点P的坐标为，则
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
11．（2024·河南新乡·一模）已知，则以下等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·江西·二模）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是 ．
13．（2024·北京大兴·三模）已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 .
14．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
16. (15分) （24-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
(1)求的值；
(2)若，求的坐标.
17. (15分) （24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．
(1)当时，求的面积；
(2)求三角形区域面积的最大值．
18. (17分) （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知．
(1)的对称轴方程；
(2)的单调递增区间；
(3)若方程在上有解，求实数m的取值范围．
19. (17分) （22-23高一上·广东广州·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A A B D C A C AD BD
题号 11
答案 BC
1．C
【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形、的面积即可得解.
【详解】由题意可得，扇形的面积是，
扇形的面积是．
则扇面（曲边四边形）的面积是.
故选：C
2．A
【分析】由题设齐次式，化弦为切，解三角方程，求的值，检验即得.
【详解】由，可得，
解得或，
因为第三象限角，则，故.
故选：A.
3．A
【分析】求出，即可得出的值.
【详解】由题意，
所以.
故选：A
4．B
【分析】利用正切函数的性质结合集合间的基本关系判定充分、必要条件即可.
【详解】当函数的图象关于对称时，
有，，得，，
易知 ，，
所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．
故选：B．
5．D
【分析】应用二倍角正弦公式判断A,应用二倍角余弦公式判断B,C,由二倍角正切公式计算化简判断D.
【详解】，A错误；
，B错误；
，C错误；
，D正确．
故选：D.
6．C
【分析】根据图象的对称性可求出半个周期，从而得，再由建立方程求出，即可求出，根据周期判断A，根据判断B，求出零点即可判断C，根据正弦函数的奇偶性判断D.
【详解】
根据图象对称性可知，
，，，
又，，且为上升点，，，
，，.
对A，函数的周期，A错误；
对B，，B错误；
对C，令，得，，，，
又，，在区间上恰好有三个零点，C正确；
对D，为奇函数，D错误.
故选：C.
7．A
【分析】依题意建系，设，理解题意可得的值，代入点，求出，结合选项即得.
【详解】以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系．
由题意可得点作匀速圆周运动的角速度为，
可得秒后点旋转过的弧度为，
设函数，由题可得，
所以，当时，，
代入可得，则得，
则.
故选：A.
8．C
【分析】根据是锐角求出的取值范围，进而得出答案．
【详解】因为是锐角，所以，所以，满足小于的正角.
其中D选项不包括，故错误.
故选：C.
9．AD
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】对于A，根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
对于B，易知终边在直线上的角α可表示为，即B错误；
对于C，易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
对于D，由三角函数的定义可知角α的终边上一点的坐标为，则，故D正确；
故选：AD.
10．BD
【分析】作出函数的图象，利用正弦函数和余弦函数的图象和性质求解.
【详解】当时，；
当时，，画出函数的大致图象，如图．
由图象可知，函数的图象不关于直线对称，故A错误；
的最大值为，故B正确；
在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
当时，方程在上有4个解，故D正确．
故选：BD．
11．BC
【分析】根据两角差的正弦公式求出即可判断A；易得，，再根据二倍角的余弦公式即可判断BD；举例说明即可判断C.
【详解】对于A，当时，
，
所以不可能成立，故A错误；
对于B，由，得，
则，
则可能成立，故B正确；
对于C，取，
此时，
则可能成立，故C正确；
对于D，由，得，
则则，
则不可能成立，故D错误.
故选：BC.
12．①③④
【分析】根据平移得，由和的范围解得，再根据的范围和的单调性可判断①；求出向右平移个单位的解析式，利用诱导公式和的范围可判断②；求出的对称中心可判断③；令，转化为在上有两个不相等的实根，根据二次函数根的分布可判断④.
【详解】根据题意得，函数经过平移伸缩变换后的解析式为：，
，解得，，
，
当时，在上单调递减，①正确；
的图象向右平移个单位得到的函数是是一个偶函数，
则，②错误；
令，所以的对称中心为，
故③正确；
，，所以，
令，则关于x的方程在区间上有两个不相等的实根等价于在上有两个不相等的实根，
设，则函数与轴有两个交点，函数对称轴为，实数满足 ，解得：，所以④正确.
故答案为：①③④.
13．（答案不唯一）
【分析】根据三角函数恒成立，则对应的解析式求得即可．
【详解】，若对任意实数x都有恒成立，
则，或，
由，得，
因为，令，得，
由，得，
因为，令，得，
所以满足条件的一组有序数对为或.
故答案为：（答案不唯一）
14．
【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.
【详解】因，所以，又，所以.
根据，得，同时也能确定.
因为，所以.
.
所以
因为，所以.
在这个区间内，时，.
故答案为：.
15．（1）；；（2）答案见解析
【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得；
（2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可.
【详解】（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角，所以半径，
所以这个圆心角所对的弧长；
扇形的面积.
故这个圆心角所对的弧长为；扇形的面积为.
（2）设扇形的圆心角为，半径为，弧长为，面积为，
则，所以，
所以，
所以当半径时，扇形的面积最大，这时rad.
故当扇形的半径为，圆心角为时，扇形的面积最大，最大值为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义可得，即可由诱导公式化简，利用齐次式弦切互化即可代入求解
（2）根据，利用诱导公式即可结合三角函数的定义求解.
【详解】（1）由于点的坐标为且在单位圆上，结合，故，
因此，
（2）由于，故，
因此，，
又点的坐标为，则点的坐标为
17．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角函数表达出的长，再由面积公式即可求解.
（2）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值.
【详解】（1）设与相交于点，则，
则，，
易知等于到的距离，
所以
（2）过点作于点，则，
而，
则三角形区域面积为
，
设，因为，所以，
故，而，
则，故当时，取得最大值，
故三角形区域面积的最大值为
18．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由，结合正弦型函数性质求对称轴即可；
（2）根据正弦型函数的单调性求函数增区间；
（3）问题化为与的图象有交点，根据正弦型函数的区间值域得，即可求范围.
【详解】（1）由题设，
令，得，
所以函数对称轴方程为；
（2）由，则单调增区间为的单调减区间，
令，则，
所以的单调增区间为；
（3）方程在上有解，等价于与的图象有交点．
由，则，即，
所以，故的取值范围为．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数，再利用正弦函数性质求出周期作答.
（2）由（1）中函数式求出A，再利用差角的正弦公式、辅助角公式结合正弦函数性质求解作答.
【详解】（1）依题意，
，
所以函数的周期为.
（2）由（1）知，，
在中，，有，于是，解得，则，
，
显然，，因此当，即时，，
所以的最大值为.检测10三角函数能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高一上·山东日照·阶段练习）折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
3．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）“函数的图象关于对称”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（24-25高一上·全国·课后作业）下列各式中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·新疆阿克苏·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．对任意的，都有
C．函数在区间上恰好有三个零点 D．函数是偶函数
7．（24-25高一上·全国·课后作业）已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（ ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间）
A． B．
C． D．
8．（2025高三·全国·专题练习）已知是锐角，那么是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．小于的正角 D．第一或第二象限角
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（22-23高一上·贵州·阶段练习）下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是
B．终边在直线上的角α的取值集合可表示为
C．角α为第四象限角的充要条件是
D．若角α的终边上一点P的坐标为，则
10．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的最大值为
C．在上单调递增
D．方程在上最多有4个解
11．（2024·河南新乡·一模）已知，则以下等式可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·江西·二模）把的图象向右平移个单位，再把所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，再把所得图象各点的纵坐标伸长为原来的2倍．得到函数的图象，若对成立．
①的一个单调递减区间为；
②的图象向右平移个单位得到的函数是一个偶函数，则m的最小值为；
③的对称中心为；
④若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，则n的取值范围为．
其中，判断正确的序号是 ．
13．（2024·北京大兴·三模）已知，，若对任意实数x都有恒成立，则满足条件的一组有序数对为 .
14．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）若，且，则 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高一上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为.求这个圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
16. (15分) （24-25高一上·四川成都·期末）如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为.
(1)求的值；
(2)若，求的坐标.
17. (15分) （24-25高三上·上海松江·期末）为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域（底边）种植观赏树木，其余区域种植花卉．设，．
(1)当时，求的面积；
(2)求三角形区域面积的最大值．
18. (17分) （24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知．
(1)的对称轴方程；
(2)的单调递增区间；
(3)若方程在上有解，求实数m的取值范围．
19. (17分) （22-23高一上·广东广州·期末）已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)在中，若，求的最大值.
