1.4.2角平分线的性质 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
第一章 直角三角形
1.4.2角平分线的性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
01
02
03
角平分线的性质及其应用.
能应用角平分线的两个性质解决一些简单的实际问题.
02
新知导入
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1、角的平分线的性质定理:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵ OC是∠AOB的平分线
∴ PD＝PE
几何语言表述：
2、角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
03
新知探究
动脑筋：
如图，已知 EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M 是 EF 的中点. 需添加一个什么条件，就可使 CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
03
新知探究
解：可以添加MN=ME（或MN=MF）
∵ME⊥CD，MN⊥CA
∴M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线
同理可得AM是∠CAB的平分线。
理由如下：
新课探究
例1
如图，在△ABC的外角∠DAC的平分线上任取一点
P，作PE⊥DB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F。
试探索BE+PF与PB的大小关系。
03
新知讲解
解：∵AP是∠DAC的平分线
又PE⊥DB，PF⊥AC
∴PE=PF
在△EBP中，BE+PE＞PB
∴BE+PF＞PB。
03
新知探究
如图，你能在△ABC中找到一点P，使其 到三边的距离相等吗？
03
新知探究
因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以只要作△ABC任意两角（例如∠A 与∠B）的平分线，其交点P即为所求作的点. 点P也在∠C的平分线上，如图
分析：
你能证明吗？
03
新知探究
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
03
新知探究
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE
(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
A
B
C
P
M
N
D
E
F
03
新知探究
定理：三角形的三条角平分线相较于一点，并且这一点到三边的距离相等。
这个交点叫做三角形的内心
归纳
03
新知探究
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1 .到三角形三边距离相等的点是（ ）
三条高的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条角平分线的交点 D. 不能确定
2.如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为（ ）
A.4cm B.6cm C.10cm D. 以上都不对
C
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
6.某市有一块有三条公路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．
要求：在给出的示意图上用直尺和圆规作出小亭中心位置（用P表示），不写作法，但要保留作图痕迹．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
解：设三条公路围成的三角形绿地为△ABC，
如图
点P为△ABC中∠CAB与∠ABC的角平分线的交点．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：AD⊥EF．　　
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD．
在△AED和△AFD中，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．
05
课堂小结
角平分线的性质
3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相逢的新途径
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1、角的平分线的性质定理:
2、角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3、如图，△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，若点P到AC的距离为4，则点P到AB的距离为　 .
4
4、如图，点M在∠ABC内，ME⊥AB于E点，MF⊥BC于F点，且ME=MF，∠ABC=70°，则∠BME=　 　°．
55
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得此点一定在角的平分线上，故作出a、b、c三条线组成的角的平分线，其中两个角平分线的交点就是度假村的位置．
解：如图所示：
点P即为所求．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF＋∠BAF＝180°．
求证：DE＝DF；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，
又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，
∵∠EAF＋∠EDF＝180°，
∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，
∵∠AFD＋∠CFD＝180°，
∴∠AED＝∠CFD，
∴△DME≌△DNF，
∴DE＝DF．
Thanks!
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