2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，且，则( )
A. B. C. D.
2.在数列中，若，则( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，，，则的前项和为( )
A. B. C. D.
5.法国数学家加斯帕蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”他发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆的中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆若椭圆的蒙日圆为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
6.设等差数列，的前项和分别为，，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知正项等比数列的前项和为，且数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知：，直线：，为上的动点过点作的切线，，切点分别为，，当最小时，直线的方程为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若直线经过椭圆的一个焦点，则的值可能为( )
A. B. C. D.
10.若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数在适当排序后成等差数列，也在适当排序后成等比数列，则( )
A. B. C. D.
11.在直角坐标系中，已知点，直线：，过外一点作的垂线，垂足为，且，记动点的轨迹为，过点作的切线，该切线与，轴分别交于，两个不同的点，则下列结论正确的是( )
A. 动点的轨迹方程为
B. 当时，，，三点共线
C. 对任意点除原点外，都有
D. 设，则的最小值为
12.已知为坐标原点，是椭圆的右焦点，与交于，两点，，分别为，的中点，若，则的离心率可能为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知为等比数列，，，则 ______．
14.点到直线的距离的最大值为______．
15.若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为______．
16.如图，正方体的棱长为，是的中点，则点到直线的距离为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆过点和，且圆心在直线：上．
求圆的标准方程；
经过点的直线被圆截得的弦长为，求的方程．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点为，是上的点，且．
求的方程；
已知直线交于，两点，且的中点为，求的方程．
19.本小题分
设数列满足．
求的通项公式；
记数列的前项和为，证明：．
20.本小题分
如图，长方体的底面为正方形，，为上一点．
证明：；
若平面，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知双曲线的离心率为，且其焦点到渐近线的距离为．
求的方程；
若动直线与恰有个公共点，且与的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
22.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求，；
若，数列的前项和为，当为何值时，最大？并求的最大值．
参考答案
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17.解：由和，可得的垂直平分线方程为，
与直线：联立可得圆的圆心坐标为．
圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
设圆心到直线的距离为，由弦长公式得，故．
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
所以，解得，则直线的方程为．
若直线的斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为，符合题意．
故直线的方程为或．
18.解：因为是抛物线上的点，且，
所以，
解得，
则抛物线的方程为；
易知直线的斜率存在，
不妨设直线的斜率为，，，
因为，两点都在抛物线上，
所以，
两式相减得，
即，
因为的中点为，
所以，
所以直线的方程为，
即．
19.解：因为，
所以当时，，
两式相减得，所以．
当时，，即，符合上式，
故的通项公式为．
证明：由知，
所以，
故．
20.证明：由题可知，平面，
，连接，四边形为正方形，
，又，
平面，又平面，
；
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
则，
易知是平面的一个法向量，
因为平面，所以，解得，
所以平面的一个法向量为，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
21.解：设双曲线右焦点为，一条渐近线方程为，
所以右焦点到渐近线的距离为，
因为离心率，所以，，
故双曲线的方程为．
证明：双曲线的渐近线为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，
此时；
当直线的斜率存在时，不妨设：，且，
联立，消得，
由，得，
联立，得，
不妨设与的交点分别为，，
则，同理可得，
所以，
因为原点到的距离，所以，
因为，所以，
故的面积为定值．
22.解：由题意，令，可得，
化简整理，得，
令，可得，
化简整理，得，
把代入，可得，
若，则，
若，则，
此时或，
综上所述，可得，或或．
由题意及，可知，
则，
此时，
当时，，
两式相减，可得，
化简整理，得，
，
，，
令，则
，
数列是首项为，公差为的等差数列，
，
当时，最大，
的最大值为．
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