2023-2024学年山东省威海市高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年山东省威海市高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，是无理数”的否定是( )
A. ，不是无理数 B. ，是无理数
C. ，不是无理数 D. ，是无理数
3.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
4.已知幂函数在上单调递增，则( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两校各有名教师报名支教，若从报名的名教师中任选名，则选出的名教师来自不同学校的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，，则( )
A. B. C. D.
7.掷红蓝两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件：红骰子的点数为，：红骰子的点数为，：两个骰子的点数之和为，：两个骰子的点数之和为，则( )
A. 与对立 B. 与不互斥 C. 与相互独立 D. 与相互独立
8.已知函数，若，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知甲、乙两组数的茎叶图如图所示，则( )
A. 甲组数的极差小于乙组数的极差 B. 甲组数的中位数小于乙组数的中位数
C. 甲组数的平均数大于乙组数的平均数 D. 甲组数的方差大于乙组数的方差
11.已知，，，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
12.若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则( )
A.
B. 在上单调递增
C.
D. 在上的实数根之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.数据，，，，，，，的第分位数是______．
14.已知，，则 ______．
15.已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为______．
16.已知函数若对，恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合，集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求在上的解析式；
解方程．
19.本小题分
为宣传第届杭州亚运会，弘扬体育拼搏精神，某学校组织全体学生参加了一次亚运会知识竞赛，竞赛满分为分从全体学生中随机抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，并将这名学生的成绩按照，，，，分成组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求图中的值，并估计该学校这次竞赛成绩的众数同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；
已知落在的学生成绩的平均数，方差，落在的学生成绩的平均数，方差，求落在的学生成绩的平均数和方差；
用样本频率估计总体，如果将频率视为概率，从全体学生中随机抽取名学生，求这名学生中恰有人成绩不低于分的概率．
20.本小题分
某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为现该植物覆盖面积单位：与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择参考数据：，，，
试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍．
21.本小题分
已知函数，记为的最小值．
求；
设，若关于的方程在上有且只有一解，求实数的取值范围．
22.本小题分
已知函数．
判断的单调性，并用单调性的定义证明；
若对，都有成立，求实数的取值范围；
是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：当时，集合，所以；
若，则，
因为，所以，
由，可得，解得，即实数的取值范围为．
18.解：因为是奇函数，
当时，，
当时，，，
所以，
所以；
由题意知，，
得，
令，则，即，
解得或，
即或，
解得或．
19.解：由题意知，，
估计该学校这次竞赛成绩的众数为．
因为落在与的人数比为：：，
所以，
．
由题意知，每名学生成绩不低于分的概率为，
则名学生中恰有人成绩不低于分的概率．
20.解：因为的增长速度越来越快，的增长速度越来越慢，
所以依题意应选择，由题意知，
所以，所以；
当时，，
所以藤蔓植物原先种植面积为，
设经过个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍，
所以，
可得，
所以
，
所以至少经过个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍．
21.解：由题意，的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，
当时，在上单调递增，此时的最小值为；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
此时的最小值为；
当时，在上单调递减，此时的最小值为．
综上所述，；
由第问，可知，方程，即，整理得，
所以关于的方程在上有且只有一解，
等价于与的图象在上有且只有一个交点，
因为，的图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递减，
又因为在上单调递增，
所以且，，解得．
因此，若关于的方程在上有且只有一解，的取值范围为．
22.解：在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
那么，
，
因为，所以，可得，又，
所以，即，
所以在上单调递增．
因为，所以，
所以，
由第问知在上单调递增，所以，
所以，即对恒成立．
令，，只需，
令，则，，
因为在上单调递增，
所以当时，，所以
由第问知，在上单调递增，
所以，
所以，为方程的两个实数根，
即方程有两个不等的实数根，
令，即方程有两个不等的正根，
所以即，
且，解得且，
所以存在实数满足题意，且．
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