2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）月考数学试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年吉林省通化市梅河口五中高二（上）12月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.在长方体中，若，即向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，是平面的两个不共线向量，非零向量是直线的一个方向向量，则“，，三个向量共面”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知是直线：上一动点，过点作圆：的两条切线，切点分别为、，则四边形的外接圆的面积的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知双曲线的左右焦点分别为，，且，当点到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知点在椭圆：上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.在三棱锥中，，，，若为三棱锥的外接球直径，且与所成角的余弦值为，则该外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B. 直线的方向向量，平面的法向量，则
C. 已知直线经过点，，则到的距离为
D. 若，则为钝角
10.已知直线：，则下列选项正确的是( )
A. 当直线与直线平行时，
B. 当直线与直线垂直时，
C. 当实数变化时，直线恒过点
D. 直线和，负半轴构成的三角形面积最小值是
11.如图，在长方体中，，，点是平面上的动点，满足，( )
A. 在底面上的轨迹是一条直线
B. 三棱锥的体积是定值
C. 若角是直线和平面所成角，则的最大值是
D. 不存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线：经过的定点坐标是______．
13.已知某组数据为，，，，它的平均数为，方差为，则的值为______．
14.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，，分别为的两个焦点，动点在上异于的左、右顶点，的重心为，若直线与的斜率之积为非零常数，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为，且经过点．
求与两坐标轴围成的三角形面积；
若直线，且到的距离为，求的方程．
16.本小题分
在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段的中点，为上的一点，且．
求直线与平面所成的角的正弦值；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知圆：．
若直线方程为与圆相交于、两点，求．
在的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值．
18.本小题分
如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线，均不与轴垂直．
求椭圆的方程；
若，求的方程；
记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值．
19.本小题分
某中学举办科学竞技活动，报名参加科学竞技活动的同学需要通过两轮选拔第一轮为笔试，设有三门考试科目且每门是否通过相互独立，至少有两门通过，则认为是笔试合格若笔试不合格，则不能进入下一轮选拔；若笔试合格，则进入第二轮现场面试面试合格者代表年级组参加全校的决赛现有某年级甲、乙两名学生报名参加本次竞技活动，假设笔试中甲每门合格的概率均为，乙每门合格的概率分别是，，，甲、乙面试合格的概率分别是，．
求甲能够代表年级组参加全校的决赛的概率；
求甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛的概率．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：直线的倾斜角为，
则直线的斜率是，
直线经过点，
故直线的方程为，即，
所以直线与坐标轴交点坐标为和，
则所求三角形面积为：，
直线的斜率是，
设其方程为，所以，得或，
所以的方程为或．
16.解：连接，底面是正方形，侧棱平面，
以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，平面，
平面，，，，
取平面的法向量为，
，，又，
，而，，
记直线与平面所成的角为，
则，
直线与平面所成的角的正弦值为．
设平面的法向量为，
，即，
令，则，，平面的法向量，
易知平面，取平面的法向量为，
记平面与平面的夹角为，则，
平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：圆：，即，
所以圆心，半径，
直线方程为与圆相交于、两点，
则直线方程为，
则圆心到直线的距离，直线与圆相交，
所以．
圆的圆心，半径，
则点到直线的距离为，
所以点到直线距离的最大值为，
所以面积的最大值为．
18.解：由题意得，解得，
故椭圆的方程为．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，
由，得，
则．
，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线经过点，不符合题意，舍去．
所以当时，的方程为．
证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且，
所以
，
所以为定值．
19.解：因为甲每门合格的概率均为，甲面试合格的概率是，
设事件为：甲能够代表年级组参加全校的决赛，则；
设事件为：甲能够代表年级组参加全校的决赛，乙每门合格的概率分别是，，，乙面试合格的概率是，
则，
设事件为：甲、乙两人中有且只有一人代表年级组参加全校的决赛，
则．
第1页，共1页