2023-2024学年福建省三明市五地五校联考高一（下）期中数学试卷（含答案）

2023-2024学年福建省三明市五地五校联考高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.下列说法中正确的是( )
A. 直四棱柱是长方体
B. 棱锥的侧面只能是三角形
C. 通过圆台侧面一点，有无数条母线
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所围成的旋转体为圆锥
3.已知向量，，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.设的内角，，所对边分别为，，，若，，，则( )
A. B. C. 或 D.
5.四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，，，分别为，的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
7.河水的流速为，一艘小船想沿垂直于河岸方向以的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为( )
A. B. C. D.
8.若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，下列命题正确的是( )
A.
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则点是边的中点
D. 若，则点在边的延长线上
10.下列是关于互不相同的直线，，和平面，的四个命题，其中错误的命题是( )
A. ，，点，则与是异面直线
B. ，，则与是异面直线
C. ，，，且，则
D. ，，则“与相交”与“与相交”等价
11.如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是( )
A. 圆锥的侧面积为 B. 圆柱与球的表面积之比为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 圆柱、圆锥、球的体积之比为：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内，方程的根为______．
13.在平面直角坐标系中，已知点，，则的中点坐标为______；当实数 ______时，．
14.如图所示，为了测量、处岛屿的距离，小明在处观测，、分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则、两处岛屿的距离为______海里．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
若是纯虚数，求；
若，求；
在的条件下，复数满足，写出复数在复平面上对应点的轨迹．
16.本小题分
已知向量与的夹角，且，．
求，，在上的投影；
求向量与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
在边上，
若是边的中点，，，求；
若，，求．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，．
求该直三棱柱的表面积与体积．
若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱．
这样的大棱柱有几种拼法？在原图基础上画出其中两种拼后的简图不需要用斜二测画；
这几种拼法中大棱柱表面积最大时，求此大棱柱的外接球的体积．
19.本小题分
古希腊数学家托勒密对凸四边形凸四边形是指没有角度大于的四边形进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大根据上述材料，解决以下问题：
如图，在凸四边形中，
若，，，图，求线段长度的最大值；
若，，图，求四边形面积取得最大值时，角的大小，并求出四边形面积的最大值提示：圆内接四边形对角互补
参考答案
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15.解：复数，
若为纯虚数，
则，解得；
，
则，解得或，
当时，，，
当时，，；
由可知，，
故，即，
故复数在复平面上对应点的轨迹为以为圆心，为半径的圆．
16.解：已知向量与的夹角，且，，
则，
，
在上的投影为；
由已知可得，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角的余弦值为．
17.解：因为，由正弦定理得，
又，
，
，
，
，
又，
；
由在中，由余弦定理有，
，，是边的中点，，整理得：，解得舍去或，
；
由，，，
，
在中由正弦定理可得，又，，
，
在中由余弦定理可得，即．
18.解：，
，
．
种．
组合：
组合：
组合：
组合：
以上选两种即可．
由题得，在所有的拼法中组合重合的面的面积最小，
则组合大柱体的表面积最大，
此时外接球直径，
解得，
所以．
19.解：，，，，
可得，
由题意可得，
即，
即，
即的最大值为；
如图，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，，
所以，即，，
在中，，
在中，由余弦定理可得，
由可得，
解得，而，
可得，
所以，
此时．
所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为．
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