2024-2025学年河南省百师联盟高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省百师联盟高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，：，设甲：；乙：，则甲是乙的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.直线与以点为圆心的圆相交于，两点，且，则圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3.甲、乙、丙、丁四人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的情况种数为( )
A. B. C. D.
4.下列说法中，正确的是( )
A. 点关于平面对称的点的坐标是
B. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 已知为空间中任意一点，，，，四点共面，且，，，中任意三点不共线，若，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为
5.已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线，直线过抛物线的焦点且与抛物线交于，两点，若弦的长为，则直线的方程为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7.如图，在两行三列的网格中放入标有数字，，，，，的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有最左边一列两个数字之和为”的不同的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
8.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为已知平面的方程为，直线是平面：与平面：的交线，则直线与平面所成角的大小为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.用，，，，这五个数字组成无重复数字的三位数，则( )
A. 可以组成个三位数
B. 在组成的三位数中，各位数字之和为的个数为
C. 在组成的三位数中，比大的个数为
D. 在组成的三位数中，百位上的数字最小的个数为
10.双曲线：的焦点为，，过的直线与双曲线的左支相交于，两点，过的直线与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为平行四边形，则( )
A.
B.
C. 平行四边形各边所在直线斜率均不为
D.
11.如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 存在点，使得平面
D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在平行六面体中，，点在上，且：：，用表示，则 ______．
13.已知椭圆，且，直线与椭圆相交于，两点若点是线段的中点，则椭圆的半焦距 ______．
14.已知集合，若，，且，，互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
名工作人员在社区开展交通安全宣讲活动，活动结束后，名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念．
要求小王与工作人员甲、乙都相邻，有多少种不同的站法？
若这名工作人员中，甲、乙、丙的身高互不相等，拍照时甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列不一定相邻，有多少种不同的站法？
若工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有多少种不同的站法？写出必要的数学式，结果用数字作答
16.本小题分
在空间直角坐标系中，点，，，．
证明：，，不共面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点．
用向量表示；
求线段的长及直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，为棱的中点．
证明：平面；
若，
求二面角的余弦值；
在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．
19.本小题分
设，分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆的短轴的一个端点，的面积为，椭圆的离心率为．
求椭圆的方程．
如图，，，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心．
当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；
求点到直线的距离的最大值．
参考答案
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15.解：由题意，名工作人员与社区组织者小王站成一排拍照留念，
小王与工作人员甲、乙都相邻，
把小王与工作人员甲、乙捆绑在一起看作一个复合元素，有种方法，
然后总体与其余名工作人员全排列，共有种排法，
则小王与工作人员甲、乙都相邻共有种；
由题意，甲、乙、丙的身高互不相等，甲、乙、丙三人按从高到低的顺序从左到右排列不一定相邻，
在个位置
中任选个，安排甲乙丙之外的人，有种情况，
将甲乙丙人按从左至右的顺序安排在剩余的个位置，有种情况，
故有种站法；
由题意，人站一排全排列有种排法，
因为甲站在最左端，其余人全排列有种站法，则乙站在最右端，其余人全排列有种站法，
甲站在最左端，乙站在最右左端，有种站法，
则工作人员甲不站在最左端，工作人员乙不站在最右端，有种站法．
16.证明：因为，，，，
所以，，．
若，，共面，则存在，，使得，
即，即，
所以，此方程组无解，所以，，不共面．
解：由题意得，，．
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，故平面的一个法向量为．
设直线与平面所成的角为，
则．
17.解：方法一、由题意知，
；
方法二、因为为的中点，
所以
．
因为四边形是正方形，，，
所以，，，
所以
，
所以，即线段的长为．
因为，
所以
，
所以．
又
，
所以，
即直线与所成角的余弦值为．
故线段的长为，直线与所成角的余弦值为．
18.解：证明：取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
又平面，平面，
平面；
，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
故，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
，
平面的一个法向量为，
则，则，
令，则，，
故，
，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则，，
由知平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离是，
，．
19.解：设椭圆的半焦距为，，
因为椭圆的离心率为，
所以，
又，
因为的面积为，
解得，
所以，
则椭圆的方程为；
设，，
因为直线垂直于轴，
所以，
因为原点是的重心，
所以，
解得，，
因为点在椭圆上，
所以，
解得，
则到直线的距离为；
当直线斜率不存在时，点到直线的距离为；
当直线斜率存在时，
设直线方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
因为原点是的重心，
所以，
解得，
即，
所以，
整理得，
则点到直线的距离
．
故当与轴垂直时点到直线的距离最大为．
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