云南省文山州2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

云南省文山州 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 2 8 < 0}， = { 2,0,1,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. { 2,0,1} C. {0,1,3} D. { 2,0,1,3}

2.已知复数 满足 2 2 1 = 0，则 =( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.抛物线 = 2 2的焦点坐标是( )
1 1 1 1
A. ( , 0) B. ( , 0) C. (0, ) D. (0, )
2 2 8 8
4.在空间直角坐标系中，已知向量 = (3,2,2 )， = ( , 9, 3)，若 ⊥ ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
2 2
5.若双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为4，焦距为4√ 3，则该双曲线的渐近线方程为( )
1 √ 2
A. = ±2 B. = ±√ 2 C. = ± D. = ±
2 2
( 2) + 5, < 1, ( ) ( )
6.已知 ( ) = { 2 在( ∞,+∞)上满足
1 2 < 0，则实数 的取值范围为( )
+ , ≥ 1 1 2
1 2 2
A. (0,2) B. [ , 2) C. [ , 2) D. ( , 2)
2 9 9
7.已知长方体 1 1 1 1的体积为16，且 1 = 2，则长方体 1 1 1 1外接球表面积的最小
值为( )
20√ 5 160√ 5
A. B. C. 20 D. 100
3 3
8.已知点 (0,0)，点 满足| | = 1，则点 到直线 3 = 0的距离的最大值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000
名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比
例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的同
学有12名，则( )
A. 这五个社团的总人数为100
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的5%
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D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
10.已知圆 ： 2 + 21 = 1， 2：( 3)
2 + ( 3)2 = 2( > 0)，则下列说法正确的是( )
A. 当 = 1时，圆 1与圆 2有2条公切线
B. 当 = 2时， = 1是圆 1与圆 2的一条公切线
C. 当 = 3时，圆 1与圆 2相离
D. 当 = 4时，圆 1与圆 2的公共弦所在直线的方程为 = + 1
11.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ，过点 的直线与抛物线交于 ( 1, 1)， ( 2 , 2)两点，点 在
上的射影为 1，点 为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 过点 (0,1)与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有3条
B. 以 为直径的圆与 = 0相切
C. 设 (0,1)，则| | + | 1| ≥ √ 2
D. 若| | = 8，则△ 的面积为2√ 2
三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
12.已知平面 过点 (0,0,0)， (2,2,0)， (0, 1,2)三点，直线 与平面 垂直.则直线 的一个方向向量的坐标
可以是______．

13.将函数 = cos(2 )的图象向右平移 (0 < < )个单位长度后，所得函数为奇函数，则 = ______．
6 2
14.1911年5月，欧内斯特 卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这箭论文中，他描
述了用 粒子轰击0.00004 厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，
卢瑟福希望 粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分 粒
子从金箔工反弹.如图2显示了卢瑟福实验中偏转的 粒子遵循双曲线一支的路径，则
该双曲线的离心率为______；如果 粒子的路径经过点(20,10)，则该粒子路径的顶
点距双曲线的中心______ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在锐角△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，已知1 2 = 4 ．
1 1
(1)求 + 的值；

(2)若 = 4，求△ 的面积．
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16.(本小题12分)
已知点 是圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 4与 轴的公共点，点 是圆 上到 轴距离最大的点．
(1)求直线 的方程；
(2)求经过 ， 两点，且圆心在直线 = 2 5上的圆的标准方程．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 4 2 ．
(1)当 = 2时，求 ( )在[ 2,2]上的最值；
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( )，若 ( )存在最小值 8，求实数 的值．
18.(本小题12分)
如图，已知在四棱柱 1 1 1 1中，底面 为梯形， // ， 1 ⊥底面 ， ⊥ ，其
中 = 1 = 2， = = 1， 是 1 1的中点， 是 1的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 1 1 夹角的余弦值；
(3)求点 到平面 1 的距离．
19.(本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，其中一个焦点的坐标为(1,0)． 2
(1)求 的方程；
(2)过左焦点的直线交 于 ， 两点，点 在 上．
( )若△ 的重心 为坐标原点，求直线 的方程；
( )若△ 的重心 在 轴上，求 的横坐标的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】( 2,2,1)(答案不唯一)

13.【答案】
6
14.【答案】√ 2 10√ 3
15.【答案】解：(1)由1 2 = 4 及倍角公式，
可得2 2 = 4 ，

又 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
2
故 = 2 ，
又 + + = ，则 = sin( + )，
则有 + = 2 ，

由锐角△ 可知 , ∈ (0, )，故 ≠ 0，
2
+ 2
因此 = ，

整理可得 + = 2 ，
1 1
所以 + = 2；

(2)由(1)中 = 2 ，
利用正弦定理可得 = 2 ，
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因为 = 4，所以 = 2，
1 1
则 △ = = × 4 × 2 = 4． 2 2
16.【答案】解：(1)在圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 4中令 = 0，解得 = 2，
可知圆 与 轴切于点 (0,2)，
结合 ⊥ 轴，| | = 4，点 在 轴上方，可知 (2,4)，
2 0
所以直线 的方程为 = ，化简得 +2 = 0．
4 2 2 0
(2)由(1)知 (0,2)， (2,4)，
所以线段 的中点为(1,3)，且直线 的斜率 = 1，
可得线段 的中垂线方程为 3 = ( 1)，即 + 4 = 0，
+ 4 = 0 = 3
由{ ，解得{ (3,1) 2 2 = 1，所求圆的圆心为 ，半径 = √ (0 3) + (2 1) = √ 10． = 2 5
所以所求圆的标准方程为( 3)2 + ( 1)2 = 10．
17.【答案】解：已知函数 ( ) = 4 2 ，
(1)当 = 2时， ( ) = 4 2 2 = (2 )2 2 2 ，
1设 = 2 ∈ [ , 4]，则 ( ) = 2 2 ，开口向上，对称轴 = 1，
4
1
所以函数 ( )在[ , 1]上单调递减，(1,4]上单调递增，
4
所以 ( ) = (1) = 1， ( ) = (4) = 8，
所以 ( )在[ 2,2]上的最小值为 1，最大值为8．
(2) ( ) = ( ) + ( ) = 4 2 + 4 2 = (2 + 2 )2 (2 +2 ) 2，
设 = 2 +2 ≥ 2√ 2 2 = 2，当且仅当2 = 2 ，即 = 0时取得等号，

所以 = 2 2， ( ) = 2 2， ∈ [2,+∞)，对称轴 = ．
2

当 ≥ 2，即 ≥ 4时， = 2 2在[2, ]上单调递减，( ,+∞)上单调递增，
2 2 2
2
所以 = 时， = 2 = 8，解得 = 2√ 6或 = 2√ 6(舍去)， 2 4
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当 ≤ 2，即 ≤ 4时， = 2 2，在[2,+∞)上单调递增，
2
则当 = 2时， = 2 2 = 8，解得 = 5，不满足题意；
综上，实数 的值为2√ 6．
18.【答案】解：(1)证明：因为 1 ⊥底面 ， ⊥ ，
所以以 为坐标原点， ， ， 1所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
3 1
可得 (0,0,0), (2,0,0), 1(2,0,2), ( , , 2), (0,1,1), (1,1,0), 1(1,1,2)， (0,1,0)， 1(0,1,2)， 2 2
则
3 1
1 = (1, 1,2), = ( 1,0,1), 1 = (0,0,2)， 1 = ( , , 0)， 2 2
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，

{
1 ⊥ {
1 = + 2 = 0则 ，则 ，
⊥ = + = 0
令 = 1，可得 = 3， = 1，
即 = (1,3,1)，
因为
3 1
1 = (1,3,1) ( , , 0) = 0，可得 2 2 1
⊥ ，
且 1 平面 1 ，
所以 1 //平面 1
(2)设平面 1 1 的一个法向量为 = ( 1 , 1 , 1)，
⊥ = + 2 = 0
则{ 1 ，则{ 1 1 1 1 ，
⊥ 1 1 = 2 1 = 0
解得 1 = 0，令 1 = 1，可得 1 = 1，
即 = (1,1,0)，
4 2√ 22
所以cos < , >= = = ，
| || | √ 11×√ 2 11
因此平面 1 与平面 1 1 夹角的余弦值为
2√ 22；
11
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(3)易知 1 = (2,0,2)，
平面 1 的一个法向量为 = (1,3,1)，
| | 4 4√ 11
所以点 到平面 1 的距离为 =
1 = = ．
| | √ 11 11

= 1
2
【答案】解：(1)由题可得{ ，解得：{ = 419. = 1 2 ， = 3
2 = 2 2
2 2所以 的方程为： + = 1；
4 3
(2)( )因为左焦点为( 1,0)，直线 的斜率不为零，
设直线 的方程为 = 1， ( 1, 1)， ( 2, 2)， ( 3 , 3)，
= 1
联立{ 2 2 ，消去 得：(3 2 +4) 2 6 9 = 0，
+ = 1
4 3
6 9
所以 1 + 2 = 3 2 ， 1 2 =+4 3 2 ， +4
因为△ 的重心为原点，所以 1 + 2 + 3 = 0，
6
所以 3 = ( 1 + 2) = 3 2 ， +4
8
则 3 = ( 1 + 2) = ( 1 + 2) + 2 = ， 3 2+4
2 2
又 ( 3 , 3)在椭圆 + = 1上，
4 3
8 2 6 2
( ) ( )
则 3 2+4 2+ 3 +4 = 1，
4 3
12 2+16
化简得：
2 2
= 1，
(3 +4)
解得： = 0，所以直线 的方程是 = 1；
( )如图，设 ( , 0)，
( ) 6 8由 可知 3 = 2 ， 3 = 3 ( 3 +4 1+ 2) = 3 + ， 3 2+4
8 2
代入
2 2 (3 + ) 2
+ = 1，可得 3
2+4 12 + = 1，
4 3 4 2(3 2+4)
第 7 页，共 8 页
即 2 16 4
2
3 + 2 = 0， 3 +4 3 2+4
4(3 2+4 )
所以 2 = 2 ≥ 0， 9 4
即(3 + 4) (3 + 2)(3 2) ≤ 0
2
，且 ≠ ± ，
3
4 2 2
解得： ∈ [ , ) ∪ [0, )．
3 3 3
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