2024-2025学年云南省文山州富宁县上海市新纪元实验学校高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省文山州富宁县上海市新纪元实验学校高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线的方程为，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
4.设角的终边上有一点，则的值是( )
A. B. C. 或 D.
5.已知离心率为的双曲线与椭圆有相同的焦点，则( )
A. B. C. D.
6.点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是( )
A. B.
C. D.
7.若方程所表示的曲线为，则( )
A. 曲线可能是圆
B. 若，则不一定是椭圆
C. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
D. 若为双曲线，且焦点在轴上，则
8.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分包括边界的动点，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.若，，则( )
A. B.
C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量为
10.直线：与圆：的交点个数可能为( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为面的中心，、分别为到的中点，则( )
A. 平面
B. 平面与平面相交
C. 点到直线的距离为
D. 点到平面的距离为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知抛物线：则抛物线的准线方程为______．
13.已知直线：，：，若，则实数的值为______．
14.已知椭圆的左、右焦点分捌为，，直线与交于，两点，若面积是面积的倍，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.写出满足下列条件的直线的方程．
在轴上的截距是，且与轴平行；
经过点，且与轴垂直；
斜率是，在轴上的截距是．
16.已知点在圆：上．
Ⅰ求该圆的圆心坐标及半径长；
Ⅱ过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．
17.如图，正方形与正三角形的边长均为，平面平面，平面，且．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.已知椭圆的左焦点为，上、下顶点分别为，，且，点在上．
求椭圆的方程；
过左焦点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，证明：为定值．
19.已知点，分别为椭圆的左、右焦点，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点其中点在轴上方如图，将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，折叠后，在新图形中对应点记为，．
当时，
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.解：因为在轴上的截距是，即直线过点，且与轴平行，
则直线的斜率为，
所以过点的直线方程为，
即；
经过点，且与轴垂直，则直线的斜率不存在，
则直线方程为，
即；
斜率是，在轴上的截距是，即直线过，
则直线方程为，
即．
16.解：Ⅰ点在圆：上，，解得．
圆的方程为，
圆心坐标为，半径．
Ⅱ依题意，直线的方程为，即．
则圆心到直线的距离为，
．
17.证明：取的中点，连接，，则，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面．
解：平面，且为正方形，
以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：根据题意可知，，所以，
由于点在上，因此，
即，
解得，所以，
因此椭圆的方程为．
根据已知得直线的斜率必存在，所以设直线的方程为，
代入椭圆方程，可得，，
设，，
所以，
又因为，，则根据，
可得，
因此，
又由于，
因此为定值．证明完毕．
19.解：证明：依题意，椭圆的半焦距，
则，
椭圆的方程为，
直线，
由，
消去得，
解得或，
而点在轴上方，则，，
折叠后有，而二面角为直二面角，即平面平面，
平面平面，平面，
所以平面．
以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，
直线与平面所成角的正弦值为．
假定存在符合条件的，设折叠前，，折叠后，，
设直线方程为，
由消去得，
则，
折叠前，
折叠后，
由，，则，
即，
分子有理化得，
解得，
则，
即，，
整理得，
即，
解得，由，得
所以存在，使得折叠后的周长为，．
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