2024-2025学年上学期人教版八年级数学期末综合测试题（含答案）

人教版八年级数学上册综合测试题
测试时间：100分钟，总分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列四个图形中，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．纳米科技是新兴科技，1纳米＝0.000000001米，则5纳米用科学记数法表示为（　　）
A．5×10﹣8米 B．5×10﹣9米 C．5×10﹣10米 D．5×109米
3．下列计算正确的是（　　）
A．（a2）3＝a6 B．a2a3＝a C．（2a）3＝2a3 D．a10÷a2＝a5
4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BF＝CD，若∠A＝50°，则∠EDF的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
（4题图） （5题图）
5．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（　　）
A．60米 B．100米 C．90米
6．化简的结果是（　　）
A．a+a2 B．a﹣1 C．a+1 D．1
7．“五一”前夕，某校社团进行爱心义卖活动，先用800元购进第一批康乃馨，包装后售完，接着又用400元购进第二批康乃馨，已知第二批所购数量是第一批所购数量的，且康乃馨的单价比第一批的单价多1元，设第一批康乃馨的单价是x元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C．1 D．1
8．已知点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．72021 D．﹣72021
9．如图，AB＝12m，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC＝4m，P点从B向A运动，每分钟是1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，当P、Q两点同时出发t分钟后△CAP全等于△PBQ，则此时t的值是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是（　　）
A．∠A＝30°，∠B＝60° B．AB＝5，AC＝12，BC＝13
C．∠A＝50°，∠B＝80° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若DC＝6，则点D到直线AB的距离＝　 　．
12．若分式有意义，则a的取值范围是 　 　．
13．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y，若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 　 　．
14．分解因式：x2﹣7x﹣30＝　 　．
15．如图，在△ABC中，∠B＝42°，点D，E分别是BA，BC边上的点，将△BDE沿DE所在直线对折，得到△FDE．若∠ADF＝134°，则
∠CEF的度数为　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）分解因式：
（1）a3﹣4ab2； （2）3ma2﹣18ma+27m．
17．（12分）计算：
（1）3a3b （﹣2ab）+（﹣3a2b）2； （2）（x+y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）；
（3）（2ab2c﹣3）﹣2÷（a﹣2b）3； （4）．
18．（8分）（1）解方程：；
（2）先化简：，当a为整数时，该代数式的值也为整数，请直接写出所有a值．
19．（8分）如图，∠B＝∠C，AD＝AE，∠1＝∠2．求证：∠M＝∠N．
20．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，且BD＝BA．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AD于点E，作线段DC的中点F；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接EF，若∠EBD＝20°，求∠BEF的度数．
21．（9分）“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如：．
（1）计算；
（2）求等式中x的值．
22．（10分）【阅读材料】
我们知道，图形也是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．
在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形．
【理解应用】
（1）观察图2，请用两种不同方式计算阴影部分的面积，并把得到的等式写出来．
【拓展升华】
（2）利用（1）中的等式解决下列问题．
已知a2+b2＝10，a+b＝6，求ab的值；
（3）若用图一中的卡片拼成一个边长为y+3x的正方形，则需要甲型卡片 　 　张、乙型卡片 　 　张、丙型卡片 　 　张．
23．（11分）【课本再现】
本学期同学们在学习第十三章《轴对称》，第三单元13.3等腰三角形，第二课13.3.2等边三角形时（P81），学习了一个定理．
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【定理探索】
书中对上面的定理没有给出证明，请你结合图形（图1）写出已知、求证并给出定理的证明．
【定理应用】
（1）如图（2），在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D，AD＝4，则BC的长为 　 　．
A.8 B.4 C.12 D.6
（2）如图（3），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm．点D是斜边AB上一点，把△ACD沿CD折叠，得到△CDE．
①若∠BDE＝40°，则∠ACD＝　 　°；
②当折痕CD⊥AB时，求点D的位置（即求AD的长）．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
选项B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选：B．
2．解：5纳米＝0.000000005米＝5×10﹣9米．
选：B．
3．解：A．（a2）3＝a6，本选项符合题意；
B．a2a3＝a5，本选项不符合题意；
C．（2a）3＝8a3，本选项不符合题意；
D．a10÷a2＝a8，本选项不符合题意．
选：A．
4．解：∵AB＝AC、∠A＝50°，
∴∠B＝∠C（180°﹣∠A）＝65°．
在△BDF和△CED中，，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE＝∠BFD．
∵∠BDF+∠BFD+∠B＝180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE＝180°，
∴∠EDF＝∠B＝65°．
选：C．
5．解：依题意可知，小陈所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n，
则20n＝360，
解得：n＝18，
∴他第一次回到出发点O时一共走了：5×18＝90（米），
选：C．
6．解：原式a+1．
选：C．
7．解：设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，
根据题意，．
选：A．
8．解：∵点P（a，3）和点Q（4，b）关于x轴对称，
∴a＝4，b＝﹣3，
则（a+b）2021＝（4﹣3）2021
＝1．
选：A．
9．解：∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，
由题意得，BP＝t m，BQ＝2t m，则AP＝（12﹣t）m，
分两种情况：
①若BP＝AC，则t＝4，
∴AP＝12﹣4＝8，BQ＝8，AP＝BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS）；
②若BP＝AP，则12﹣t＝t，
解得：t＝6，BQ＝12≠AC，
此时△CAP与△PQB不全等；
综上所述：运动4分钟后△CAP与△PQB全等，则此时t的值是4；
选：A．
10．解；A、当∠A＝30°，∠B＝60°时，∠C＝90°，不是等腰三角形，所以A选项错误．
B、当AB＝5，AC＝12，BC＝13，52+122＝132，所以是直角三角形，不是等腰三角形，错误；
C、当A＝50°，∠B＝80°，∠C＝50°，是等腰三角形，正确，
D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5，不是等腰三角形，所以D选项错误．
选：C．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．解：过D作DE⊥AB，交AB于点E，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥CB，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，
∴DE＝DC＝6，
即点D到直线AB的距离是6，
答案为：6．
12．解：根据题意得：a﹣2≠0，
解得：a≠2．
答案为：a≠2．
13．解：由y可得，xy＝3，
∴矩形的面积＝3，
此时矩形能被分割成3个全等的正方形，
则正方形面积为1，边长也为1，
那么图形只有下面一种情况，
其对角线长为，
答案为：．
14．解：x2﹣7x﹣30＝（x+3）（x﹣10）．
答案为：（x+3）（x﹣10）．
15．解：由折叠可知，，∠BED＝∠FED，
∵∠ADF＝134°，则∠BDF＝46°，
∴∠BDE＝23°，
∴∠BED＝∠FED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝115°，
则∠CED＝180°﹣∠BED＝65°，
∴∠CEF＝∠FED﹣∠CED＝50°，
答案为：50°．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）a3﹣4ab2
＝a（a2﹣4b2）
＝a（a+2b）（a﹣2b）；
（2）3ma2﹣18ma+27m
＝3m（a2﹣6a+9）
＝3m（a﹣3）2．
17．解：（1）原式＝﹣6a4b2+9a4b2＝3a4b2；
（2）原式＝x2+2xy+y2﹣（y2﹣4x2）
＝x2+2xy+y2﹣y2+4x2
＝5x2+2xy；
（3）原式；
（4）原式．
18．解：（1），
方程两边乘（x﹣2）得：2＝x﹣2+1+x，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为：；
（2）
，
∵分式的值为整数，
∴a﹣1＝±2或a﹣1＝±1且a（a﹣1）≠0
∴a的值为：2、﹣1、3．
19．证明：∵在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC．
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠DAE＝∠2+∠DAE，即∠BAN＝∠CAM，
在△BAN和△CAM中，
，
∴△BAN≌△CAM（ASA），
∴∠M＝∠N．
20．解：（1）如图，点E、F为所作；
（2）∵BA＝BD，BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠DBE＝20°，BE⊥AD，AE＝DE，
∴∠BED＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠ABE＝70°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC＝20°，
∵点F为CD的中点，E点为AD的中点，
∴EF为△ADC的中位线，
∴EF∥AC，
∴∠DEF＝∠DAC＝20°，
∴∠BEF＝∠BED+∠DEF＝90°+20°＝110°．
21．解：（1）由题意可得，
＝（a+b） （a﹣b）
；
（2）∵，
∴211，
去分母，得：2+1＝x﹣1，
移项及合并同类项，得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，
∴x＝4是原分式方程的解，
即x的值为4．
22．解：（1）根据题意得：（x+y）2﹣2xy＝x2+y2；
（2）把a+b＝6两边平方得：（a+b）2＝36，
整理得：a2+b2+2ab＝36，
把a2+b2＝10代入得：10+2ab＝36，
解得：ab＝13；
（3）根据题意得：（y+3x）2＝y2+6xy+9x2，
则需要甲型卡片9张、乙型卡片1张、丙型卡片6张．
答案为：9，1，6．
23．[定理探索]已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
求证：．
证明：如图，延长BC到D，使CD＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AC垂直BD，
∴AB＝AD，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵AB＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝BD＝2BC，
即；
[定理应用]（1）解：在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAC＝120°，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝90°，
∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠CAD，
∴CD＝AD，
∵AD＝4，
∴BD＝2AD＝8，
∴BC的长为BD+CD＝BD+AD＝8+4＝12；
选：C．
（2）①解：设∠ADC＝α，
∵折叠，
∴∠CDE＝α，
∵∠BDE＝40°，
∴∠CDB＝α﹣40°，
∵∠ADC+CDB＝180°，
即α+α﹣40°＝180°，
解得：α＝110°，
∵∠A＝30°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ADC﹣∠A＝40°，
答案为：40．
②解：在△ABC中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝8cm．
∴，
∴AB＝2BC＝2×8＝16（cm），
在△BCD中，
∵CD⊥AB，
∴△BCD是直角三角形，
又∵∠B＝60°，
∴，
∴AD＝AB﹣BD＝16﹣4＝12（cm），
∴AD＝12cm．
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