江西省景德镇第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

江西省景德镇第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 满足{1,2} {1,2,3,4,5,6}，且3 ，则满足条件的集合 有( )
A. 4个 B. 8个 C. 16个 D. 32个
2.已知函数 ( )的定义域为[ , ]，则“ ( )为增函数”是“ ( )的最小值为 ( )，最大值为 ( )”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.不等式( 2) 2 + 2( 2) 4 ≥ 0的解集为 ，则实数 的取值范围是( )
A. { | < 2或 ≥ 2} B. { | 2 < < 2}
C. { | 2 < ≤ 2} D. { | < 2}

4.在同一直角坐标系中，二次函数 = 2 + 4 与幂函数 = ( > 0)图像的关系可能为( )
A. B. C. D.
5.已知函数 ( )的定义域为 ， = ( ) + 是偶函数， = ( ) 3 是奇函数，则 ( )的最小值为( )
A. B. 2√ 2 C. 2√ 3 D. 2
6.函数 = [ ]为数学家高斯创造的取整函数. [ ]表示不超过 的最大整数，如[ 3.1] = 4，[2.1] = 2，已知
8
函数 ( ) = 2 + ，则函数 = [ ( )]的值域是( ) +3 +4 9
A. { 1,1,2} B. { 1,0,1} C. {0,1,2} D. { 1,0,1,2}
7.已知函数 ( ) = 2 + 2 ， ( ) = (2 ) + 2 ( ) + .若对于 1 ∈ [0, +∞)， 2 ∈ [0,1]，使得 ( 1) +
( 2) > 7成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 0) B. (0, +∞) C. ( ∞, 1) D. (1, +∞)
, ≤ 2
8.对实数 和 ，定义运算“◎”： ◎ = { ，设函数 ( ) = ( 2 1)◎(5 2)( ∈ )，若函
, > 2
数 = ( ) 的图象与 轴恰有1个公共点，则实数 的取值范围是( )
11
A. ( 1,6] B. ( ∞, 1] ∪ ( , 6)
4
11 11
C. ( , +∞) D. [ , 1) ∪ [6,8]
4 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列命题是真命题的是( )
1
A. 若( ) > 1 > 4 ，则 + 2 < 0
2
B. 若 ( + 2)的定义域为[0,2]，则 = ( )的定义域为[ 2,0]
(4 ), ≥ 0
C. 函数 = { 是定义在 上的单调递增奇函数
(4 + ), < 0
D. 记 { , }为实数 ， 的最小值， { , }为实数 ， 的最大值，函数 1( ) =
2， 2( ) =
2 + 4 ，
( ) = { 1( ), 2( )}， ( ) = { 1( ), 2( )}，则 ( )的最大值与 ( )的最小值的差为4
10.已知 > 0， > 0，则下列结论正确的是( )
A. 若 + = ， + 4 的最小值为9
B. 若 + = 1，2 + 2 +1的最小值为4
1 2 2
C. 若 + = ， 2 + 2的最小值为 3
2 2√ 3
D. 若 + = 1， 2 + 2 的最大值为 + 1 + + 3
2 3 , < 0
11.已知函数 ( ) = { ，以下结论正确的是( )
( 3), ≥ 0
A. ( )在区间[4,6]上先增后减
B. ( 2) + (2020) = 4
C. 若方程 ( ) = 0在( ∞, 6)上有6个不等实根 ( = 1,2,3,4,5,6)，则∑
6
=1 = 6
1
D. 若方程 ( ) = + 1恰有3个实根，则 ∈ ( 1, ) ∪ {1}
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( )是定义在 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = + 2 1，当 ≥ 0时， ( ) =______．
+ 1, ≤ 0 1
13.设函数 ( ) = { ，则满足 ( ) + ( ) > 1的 的取值范围是 ． 2 , > 0 2
14.已知函数 ( ) = 2 + + ( , ∈ )，记集合 = { | ( ) ≤ 0}， = { | ( ( ) + 2) ≤ 0}，若 = ≠
，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知幂函数 ( ) = (3 2 2 ) 2在(0, +∞)上单调递增， ( ) = 3 + ．
(1)求实数 的值；
(2)当 ∈ [1,4]时，记 ( )， ( )的值域分别为集合 ， ，设命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若命题 是命
题 的必要不充分条件，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
已知函数 = 2 ( + 1) + 1， ∈ ．
2 +10
(1)若 = 2，当 > 1时，求 = 的最小值；
1
(2)求关于 的不等式 2 ( + 1) + 1 > 0( > 0)的解集；
(3)当 < 0时，已知 = { | 2 ≤ ≤ 1}， = { | + > 0}，若 ，求 的取值范围．
17.(本小题15分)

已知函数 ( ) = + + 2 + 1( ∈ )．

1
(1)若存在 ∈ [ 1,2]，使不等式 (2 ) < 2 + + 2 + 7成立，求实数 的取值范围； 2
(2)设 > 0，正实数 ， 满足( + )( + 1) 5 = 0，且 + 的取值范围为 .若函数 ( ) = ( ) 2 1
在 ∈ 上的最大值不大于最小值的两倍，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
设函数 ( )满足：①对任意实数 ， 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )；②对任意 ∈ ，都有 (1 +
) = (1 )恒成立；③ ( )不恒为0，且当0 < < 1时， ( ) < 1．
(1)求 (0)， (1)的值；
(2)判断函数 ( )的奇偶性，并给出你的证明．
(3)定义“若存在非零常数 ，使得对函数 ( )定义域中的任意一个 ，均有 ( + ) = ( )，则称 ( )为以
1 2 3 2025
为周期的周期函数”.试证明：函数 ( )为周期函数，并求出 ( ) + ( ) + ( )+. . . + ( )的值．
3 3 3 3
19.(本小题17分)

已知函数 ( ) = + 1， ( ) = 2 + ( + 1)．
+1
(1)当 = 0， = 1时，解关于 的不等式 ( ) ≥ ( )；
(2)当 = 0时，对任意 ∈ [1, +∞)，关于 的不等式 ( ) ≤ ( )恒成立，求实数 的取值范围；
(3)当 < 0， < 0时，若点 1( 1, 1)， 2( 2, 2)均为函数 = ( )与函数 = ( )图象的公共点，且 1 ≠ 2，
2(1 2 )
求证： 2 < 1 + 2 < ． 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 + 2 + 1
1
13.【答案】( , +∞)
4
14.【答案】[ 4,0]
1
15.【答案】解：(1) ∵ ( ) = (3 2 2 ) 2为幂函数，则3 2 2 = 1，
1
解得 = 1或 = ，
3
又∵幂函数在(0, +∞)上单调递增，
1
∴ > 0，得 = 1．
2
1
(2)由第一问得 ( ) = 2，在[1,4]上递增，
所以 ( )的值域为[1,2]，即集合 = { |1 ≤ ≤ 2}，
而 ( ) = 3 + 在[1,4]上递减，所以 ( )的值域为[ 81, 3]，即 = { | 81 ≤ ≤ 3}，
由命题 是命题 的必要不充分条件可得 ，
3 ≥ 2
所以{ ，解得5 ≤ ≤ 82，
81 ≤ 1
即 的取值范围为[5,82]．
16.【答案】解：(1)当 = 2时，
2
2 +10 2 2 5 +11 2( 1) ( 1)+8 8 8
= = = 2( 1) + 1 ≥ 2√ 2( 1) 1 = 7，
1 1 1 1 1
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8
当且仅当2( 1) = ，即 = 3时取等号，
1
2 +11
即 = 的最小值为7；
1
(2) = 2 ( + 1) + 1 = ( 1)( 1)，
1 1
当 > 1，即0 < < 1时，解原不等式得 > 或 < 1，

1 1
当 < 1，即 > 1时，解原不等式得 < 或 > 1，

1
当 = 1，即 = 1时，解原不等式得 ≠ 1．

1
综上，当 > 1时，原不等式解集为{ | < 或 > 1}；

1
当0 < < 1时，原不等式解集为{ | > 或 < 1}；

当 = 1时，原不等式解集为{ | ≠ 1}；
(3)不等式 + > 0可化为 2 ( + 1) + 1 + > 0，
因为 ，
所以不等式 2 ( + 1) + 1 + > 0在 2 ≤ ≤ 1时恒成立，
4 + 2( + 1) + 1 + > 0
结合二次函数图象知，{ + ( + 1) + 1 + > 0 ，
< 0
7 + 3 > 0
即{3 + 2 > 0，
< 0
3
解得 < < 0，
7
3
故 的取值范围是{ | < < 0}．
7
1 1 1
17.【答案】解：(1) ∵ (2 ) < 2 +
2
+ 2 + 7，∴ 2 +
2
< 2 + + 6， 2
1
令2 = ，当 ∈ [ 1,2]，则 ∈ [ , 4]，
2
1
即存在 ∈ [ , 4]使 < 2 2 + 6 + 1成立，只需 < ( 2 2 + 6 + 1) ， 2
3 11
∵ 2 2 + 6 + 1 = 2( )2 + ，
2 2
当 = 4时， 2 2 + 6 + 1 = 2 × 42 + 6 × 4 + 1 = 7，
∴ 2 2
11 11
+ 6 + 1 ∈ [ 7, ]，∴ < ，
2 2
11
即实数 的取值范围是( ∞, ).
2
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(2) ∵ ( + )( + 1) = 5 ，
2
5 5( + )
∴ + = 1 ≤ 2，
1+ 4+( + )

则1 ≤ + ≤ 4，
1
当且仅当 = = 时， + = 1；
2
当且仅当 = = 2， + = 4，
∴ = [1,4]，

∵ > 0，∴ ( ) = + 在(0, √ )上单调递减，在[√ , +∞)上单调递增，

∴ ( ) ≤ 2 ( ) ，
①当√ ≤ 1，即0 < ≤ 1时， ( )在[1,4]上单调递增，
8
∴ (4) ≤ 2 (1)即4 + ≤ 2( + 1)得 ≥ ，
4 7
∴ ∈ ，
②当√ ≥ 4，即 ≥ 16时，在[1,4]上单调递减，

∴ (1) ≤ 2 (4)即( + 1) ≤ 2(4 + )得 ≤ 14，
4
∴ ∈ ，
③当1 < < 16时， ( ) = (√ ) = 2√ ， ( ) = { (1), (4)}，
由 (1) ≥ (4) ≥ 4．
(ⅰ)当1 < ≤ 4时， ( ) = (4)，

则4 + ≤ 4√ 8 4√ 3 ≤ √ ≤ 8 + 4√ 3，
4
得112 64√ 3 ≤ ≤ 4，
(ⅱ)当4 < < 16时，∴ ( ) = (1)，
则1 + ≤ 4√ 2 √ 3 ≤ √ ≤ 2 + √ 3，
得4 < ≤ 7 + 4√ 3．
综上实数 的取值范围是[112 64√ 3, 7 + 4√ 3].
18.【答案】解：(1)由于 ( )不恒为0，故存在 0，使 ( 0) ≠ 0，
令 = 0， = 0，则 ( 0) + ( 0) = 2 ( 0) (0)，所以 (0) = 1，
令 = 1， = 1，由 (2) + (0) = 2 2(1)，由 (1 + ) = (1 )，
令 = 1，得 (2) = (0) = 1，所以得到 2(1) = 1，
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1 1 1
令 = = ， (1) + (0) = 2 ( ) ( ) < 2，
2 2 2
1
因为当0 < < 1时， ( ) < 1，所以 ( ) < 1，
2
所以 (1) < 1，故 (1) = 1；
(2) ( )为偶函数，证明如下：
对任意实数 ， 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，
令 = 0， = ，得 ( ) + ( ) = 2 (0) ( ) = 2 ( )，
所以 ( ) = ( )，即 ( )为偶函数；
(3)由 (1 + ) = (1 )，得 ( ) = (2 + )，
又 ( )为偶函数，则 ( ) = ( ) (2 + )，即 ( )是以2为周期的周期函数；
因为 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，
1 2 1 2 1
令 = = ，得 ( ) + (0) = 2 2( )，即 ( ) + 1 = 2 2( )，
3 3 3 3 3
2 1 1 2 1 1 2 1
再令 = , = ，得 (1) + ( ) = 2 ( ) ( )，即 1 + ( ) = 2 ( ) ( )．
3 3 3 3 3 3 3 3
2 1 1 2 1
而 ( ) < 1，解得 ( ) = ， ( ) = ，
3 3 2 3 2
1 5 2 4
由 (1 + ) = (1 )得 ( ) = ( )， ( ) = ( )，
3 3 3 3
1 2 3 4 5 6
所以 ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 0，
3 3 3 3 3 3
又由于 ( )是以2为周期的周期函数，
1 2 3 2025 1 2 3
所以 ( ) + ( ) + ( )+. . . + + ( ) = 337 × 0 + ( ) + ( ) + ( ) = 1..
3 3 3 3 3 3 3
1
19.【答案】解：(1)当 = 0， = 1时，即解不等式 + 1 ≥ 2，
+1
(1 2)
可得 ≥ 0，
+1
当 = 0时，0 ≥ 0成立，
1 2
当 > 0时，得 ≥ 0，即解1 2 ≥ 0，
+1
1+√ 5
解得0 < ≤ ；
2
1 2 1 √ 5
当 < 0且 ≠ 1时，得 ≤ 0，解得 ≤ < 1，
+1 2
1+√ 5 1 √ 5
综上所述，不等式的解集为[0, ] ∪ [ , 1)；
2 2
(2)当 = 0时，可得 ( ) = 1， ( ) = 2 + ( + 1)，
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对任意 ∈ [1, +∞)，关于 的不等式 ( ) ≤ ( )恒成立，
即 2 + ( + 1) ≥ 1在 ∈ [1, +∞)上恒成立，
1 2
即 ≥ = 1 在 ∈ [1, +∞)上恒成立，
+1
即当 ∈ [1, +∞)时，1 的最大值为0，所以 ≥ 0，
所以实数 的取值范围[0, +∞)；

(3)证明：由 ( ) = ( )，可得 + 1 = 2 + ( + 1)，
+1
可得 3 + ( + 1) 2 + (2 1) + 1 = 0( ≠ 1)，
因为点 1( 1, 1)， 2( 2, 2)均为函数 = ( )与函数 = ( )图象的公共点，
可得 31 + ( + 1)
2
1 + (2 1) 1 + 1 = 0，
32 + ( + 1)
2
2 + (2 1) 2 + 1 = 0，两式相减得
3 32 1 + ( + 1)(
2 22 1 ) + (2 1)( 2 1) = 0，
因为 1 ≠ 2，所以
2 2
2 + 2 1 + 1 + ( + 1)( 2 + 1) + 2 1 = 0，
2
( + )
可得( 2 2 12 + 1) + ( + 1)( 2 + 1) + 2 1 = 2 1 < ， 4
2
令 = 2 + 1，则
2 + ( + 1) + 2 1 < ，
4
3 2 2(1 2 )
整理得 + ( + 1) + 2 1 < 0，解得 2 < < ，
4 3
2(1 2 )
所以 2 < 2 + 1 < ． 3
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