2023-2024学年陕西省榆林市府谷中学高二（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2023-2024学年陕西省榆林市府谷中学高二（上）期末数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等差数列中，已知，，则( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，满足，则实数的值是( )
A. B. C. D.
3.直线平分圆：，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：经过点，点到抛物线的焦点的距离为，则抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，是的中点，则直线与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.函数导函数的图象如图所示，则的图象最有可能的是( )
A. B.
C. D.
8.双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 点关于直线的对称点为
C. 过，两点的直线方程为
D. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
10.已知圆：与圆：，下列说法正确的是( )
A. 与的公切线恰有条 B. 与相交弦的方程为
C. 与相交弦的弦长为 D. 若，分别是圆，上的动点，则
11.设等差数列的前项和为，，公差为，，，则( )
A. B. 当时，取得最大值
C. D. 使得成立的最大自然数是
12.如图，棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，为线段上的动点，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 为中点时，直线与所成角最小
D. 点到直线距离的最小值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知，，其中，，若，则的值为______．
14.函数的导函数 ．
15.图甲是第七届国际数学教育大会简称的会徽图案，会徽的主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图乙中的直角三角形继续做下去，记的长度构成数列，则此数列的通项公式_____．
16.曲线过原点的切线方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知是等差数列的前项和，且，．
求数列的通项公式；
令，求数列的前项和．
18.本小题分
已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线：上．
求圆心为的圆的一般方程；
已知，为圆上的点，求的最大值和最小值．
19.本小题分
如图，已知正方体，点为棱的中点．
证明：平面．
求异面直线与所成角的正弦值．
20.本小题分
已知函数．
求的图象在处的切线方程；
求的极值．
21.本小题分
已知直线与抛物线：交于，两点．
若直线过抛物线的焦点，线段中点的纵坐标为，求的长；
若直线经过点，求的值．
22.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，点在上，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
过点的动直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值．
参考答案
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16.和
17.解：设等差数列的公差为，
由，得，解得，
所以；
由可知，
所以．
18.解：，，
，
弦的垂直平分线的斜率为，
又弦的中点坐标为，
弦的垂直平分线的方程为，即，
与直线：联立，解得：，，
圆心坐标为，
圆的半径，
则圆的方程为；
由知圆的方程为，
，在圆外，
的最大值为，最小值为．
19.解：证明：连接，交于点，连接，
因为是正方形，
所以为的中点，
又为棱的中点，
所以，
平面，平面，
所以平面．
由可得，
所以为异面直线与所成角，
设正方体的边长为，
则，
，
在中，可得，
即异面直线与所成角的正弦值为．
20.解：的定义域为．
所以，．
所以的图象在处的切线方程为．
由，得．
由，得，
当时，，当时，，
所以，
所以的极大值为，无极小值．
21.解：设，，线段中点设为，
抛物线的焦点为，
根据抛物线的定义得；
直线斜率必存在，设为，
与抛物线联立得：，
由韦达定理得，
所以．
22.解：由题意可设椭圆的标准方程为，
离心率为，即，则．
的周长为，则，
，即．
于是，解得，则，．
椭圆的标准方程是．
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得．
则，．
点，关于轴对称，则设点，
，，三点共线，则，即，
即，即，
得
．
点为定点，．
．
令，则，
当且仅当时取等号，的面积的最大值为．
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