上海市第六十中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市第六十中学 2023-2024 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 > > > 0，以下不等关系不一定成立的是( )
A. 3 > 3 B. + > +

C. lg( ) < lg( ) D. >

2.在用二分法求函数 = 3 3 2 10零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为(1.625,1.7)，则下
一步应当确定零点位于区间( )
A. (1.625,1.6625) B. (1.6625,1.7) C. (1.625,1.675) D. (1.625,1.65)
3.函数 = 2 + 与 = ( ≠ 0, | | ≠ | |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
| |

A. B. C. D.
二、填空题：本题共 10 小题，共 35 分。

4.设集合 = { ||2 1| < 3}，全集 = ，则 = ．
0
(2 +1)
5.函数 = 的定义域为 ．
√ 6 2
6.函数 = log3(√ 2 3 1)的零点为 ．
7.若 满足 < 0， > 0，则 为第 象限角．
1
8.若一半径为2的扇形的弧长是其半径的 ，则该扇形的面积为 ．
3
9.“| | + |2 1| = |3 1|”是“ ≤ 0”的 条件．
10.记函数 = 3 8 1所过定点为 ，若 位于幂函数 ( )的图像上，则 ( 27) = ．
11.已知log23 = ，用 表示log68 =______．
8 2 6 +4
12.记 = log 20.7(1 16 )的减区间 ，则 = 在 ∈ 上的值域为 ． 2 1
13.称满足以下条件的函数 ( )为“ 函数”：从定义域 中任取 ，总存在唯一的 0 ∈ 满足 ( ) + ( 0) =
2 ( ∈ ).根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 ．
①若 ( )， ∈ 为 0函数，则 ∈ ， ∈ ；
1 4
② = 是 函数；
2 3 2
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2 2+2 +1
③ = 是
2
函数；
④ = | 1| | + 5| + 1是 1函数；
3
⑤若 = + ， ∈ ( ∞, ) ∪ ( ,+∞)为
0
函数，则 ≥ √ 3．
三、解答题：本题共 5 小题，共 53 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
已知集合 = { |(2 )( + 4) > 0}， = { | 2 + 1 < }，若 ∪ = ．
(1)求 的取值范围；
(2)当 为可能取得的最大整数时，解关于 的方程：2 2 5 +1 = 12．
15.(本小题10分)
1
(1)设 ≠ + ( ∈ )，直接用任意角的三角比定义证明： tan2 = 1．
2 cos2( + )

(2)给出两个公式：① = ；②cos( ) = ．
cos 2
1
请仅以上述两个公式为已知条件证明：tan( ) = ．
2 tan
16.(本小题10分)
疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为400万元，每生产 万箱( >
1
0, ∈ )，需另投入成本 ( )万元.当产量不足60万箱时， ( ) = 2 +50 ；当产量不小于60万箱时， ( ) =
2
600
101 + 18600.若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．

(1)求口罩销售利润 (万元)关于产量 (万箱)的函数关系式；
(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？
17.(本小题12分)
4
研究函数 = 2 的性质，作出大致函数图像，并对函数的基本性质(奇偶性、单调性、最值)进行证明． +1
18.(本小题13分)
1
已知 ( ) = 2( + ), ∈ ．
(1)当 = 1时，解不等式 ( ) > 1；
(2)若关于 的方程 ( ) + 22 = 0的解集中恰好有一个元素，求实数 的值；
1 3
(3)若对任意 ∈ [ , ]，函数 ( )在区间[ , + 1]上总有意义，且最大值与最小值的差不小于2，求 的取值范
2 2
围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】( ∞, 1] ∪ [2,+∞)
1 1
5.【答案】( 3, ) ∪ ( , 2)
2 2
6.【答案】 1或4
7.【答案】三
2
8.【答案】
3
9.【答案】必要不充分
10.【答案】 3
3
11.【答案】
1+
12.【答案】[ 4,1 2√ 6]
13.【答案】②⑤
14.【答案】解：(1) = { |(2 )( + 4) > 0} = ( 4,2)，
当 ≤ 1时， = ，满足题意；
当 > 1时， = { | 2 + 1 < } = ( √ 1,√ 1)，由 ∪ = 得{
√ 1 ≤ 2 ，解得1 < ≤ 5，
√ 1 ≥ 4
故 的取值范围为( ∞, 5]；
(2)由(1)知 = 5，故方程2 2 5 +1 = 12转化为2(5 )2 5 × 5 12 = 0，
解得5
3
= 4或5 = (舍)，故 = log54. 2
15.【答案】证明：(1)将 角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与 轴的正半轴重合，
设 角终边一点 (非原点)，坐标为 ( , )，
则 = | | = √ 2 + 2，

∵ ≠ + ，∴ ≠ 0，
2
1 1 2 2 22 2
cos2
tan = tan = = = 1；
( + ) cos2 2 2 2
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(2)由于cos( ) = ，将 换成 后，就有cos[ ( )] = sin( ) = ，
2 2 2 2 2

sin ( ) 1
即tan( ) = 2 = = ．
2 cos( ) sin tan
2
16.【答案】解：(1)根据题意可知 = 100 ( ) 400
1
100 ( 2 +50 ) 400,0 < < 60
= { 2
600
100 (101 + 18600) 400, ≥ 60

1
( 50)2 + 850,0 < < 60
= { 2 ；
600
18200 ( + ), ≥ 60

(2)由(1)可知：当0 < < 60时， ≤ | =50 = 850；
600
当 ≥ 60时，根据对勾函数的性质易知 = 18200 ( + )单调递减，

∴ ≤ | =60 = 18200 (60+ 10) = 18130，
又18130 > 850，
∴当产量为60万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．
17.【答案】解：函数的定义域为 ，
4 4
因为 ( ) = 2 = 2 = ( ) ( )1+ ，即 为奇函数； ( ) +1
1
当 > 0时，根据对勾函数单调性可知，函数 = + 在(0,1)

上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且 ( ) > 0，
4
故 ( ) = 1在(0,1) + 上单调递增，在(1,+∞)上单调递减且

( ) > 0，
当 = 1时，函数取得最大值2；
当 < 0时，根据奇函数的对称性可知， ( )在( 1,0)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减， ( ) < 0，
当 = 1时，函数取得最小值 2，
因为 (0) = 0且函数在 = 0处连续，故其大致图象如图所示．
1
18.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = log2( + 1)，
1
1 + 1 > 0 1
所以 ( ) > 1 log ( + 1) > log 2 { 2 2 + 1 > 2，解得0 < < 1， 1+ 1 > 2

所以不等式 ( ) > 1的解集为(0,1)；
1
(2)由 ( ) + 2
2 = 0，得log2( + ) + log
2
2 = 0，
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1
即( + ) 2 = 1，

所以 2 + 1 = 0，
当 = 0时，则 1 = 0，解得 = 1，经过验证此时满足题意；
1
当 ≠ 0时，①若 = 1 +4 = 0，则 = ，此时解得 = 2.经过验证满足题意；
4
②若 = 1 +4 > 0时，方程 2 + 1 = 0有两不等实根，设为 1， 2，显然 1 ≠ 0， 2 ≠ 0，
由 2
1
+ 1 = 0，得( + ) 2 = 1，

1
因为 2 > 0，所以 + > 0，

1 1
即 + > 0， + > 0，
1 2
1
所以 1， 2都满足log
2
2( + ) + log2 = 0，所以此时不满足题意．
1
综上可得 = 0或 = ；
4
1 3 1
(3)因为对任意 ∈ [ , ]，函数 ( )在区间[ , + 1]上总有意义，所以 + > 0对 ∈ [ , + 1]恒成立，
2 2
1
因为 = + 在 ∈ [ , + 1]上为减函数，

1 1 3
故只需 + > 0对任意 ∈ [ , ]恒成立，
+1 2 2
1
所以只要( + )
+1
> 0，
1 2
故3 + > 0，解得 > ，
+1 5
2
1 3
对任意 ∈ [ , ]，函数 ( )在区间[ , + 1]上单调递减，
2 2
1 1
所以函数 ( )在区间[ , + 1]上最大值为log2( + )，最小值为log 2( + )， +1
1 1
所以log2( + ) log2( + ) ≥ 2， +1
1 1
所以log2( + ) ≥ log2( + ) + 2， +1
1 1 3
即 2 + ( + 1) ≤ 0对任意 ∈ [ , ]恒成立，
3 2 2
1
令 ( ) = 2+ ( + 1) ，
3
1 1 3
当 = 0时， ( ) = 对任意 ∈ [ , ]不恒成立；
3 2 2
1 1 3
当 > 0时， ( ) = 2 + ( + 1) 在 ∈ [ , ]上单调递增，
3 2 2
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3 2 1 3 3 1 15 7所以 = 时， ( ) = + ( + 1) 取得最大值，且最大值为 × ( )2 + ( + 1) = + > 0，
2 3 2 2 3 4 6
所以当 > 0时不满足；
2 1 1 3
当 ∈ ( , 0)时， ( ) = 2 + ( +1) 对任意 ∈ [ , ]恒成立，有以下三种情况：
5 3 2 2
1 2 2 1
① ≤ 0，解得 3 ≤ ≤ ，结合 ∈ ( , 0)，得 ∈ ( , ]；
3 5 5 3
> 0
+1 1
②{ <
+1 1 1 2
2 2，由 < ，得 < ，而 ∈ ( , 0)，故此情况无解；
2 2 2 5
1
( ) ≤ 0
2
1
> 0 < 3 或 >
+1 3 3
③{ >
1
2 2，解得 > ，此时无解．
3 4
( ) ≤ 0 14
2 { ≤ 45
2 1
所以实数 的取值范围是( , ].
5 3
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