2024-2025学年云南省文山州高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年云南省文山州高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
4.在空间直角坐标系中，已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.若双曲线的实轴长为，焦距为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知在上满足，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知长方体的体积为，且，则长方体外接球表面积的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知点，点满足，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有名，参加太极拳社团的同学有名，则( )
A. 这五个社团的总人数为
B. 脱口秀社团的人数占五个社团总人数的
C. 这五个社团总人数占该校学生人数的
D. 从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为
10.已知圆：，：，则下列说法正确的是( )
A. 当时，圆与圆有条公切线
B. 当时，是圆与圆的一条公切线
C. 当时，圆与圆相离
D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
11.已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，点为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有条
B. 以为直径的圆与相切
C. 设，则
D. 若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.已知平面过点，，三点，直线与平面垂直则直线的一个方向向量的坐标可以是______．
13.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ______．
14.年月，欧内斯特卢瑟福在哲学杂志上发表论文在这箭论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔工反弹如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为______；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在锐角中，，，分别是角，，所对的边，已知．
求的值；
若，求的面积．
16.本小题分
已知点是圆：与轴的公共点，点是圆上到轴距离最大的点．
求直线的方程；
求经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程．
17.本小题分
已知函数．
当时，求在上的最值；
设函数，若存在最小值，求实数的值．
18.本小题分
如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点．
求证：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，其中一个焦点的坐标为．
求的方程；
过左焦点的直线交于，两点，点在上．
若的重心为坐标原点，求直线的方程；
若的重心在轴上，求的横坐标的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：由及倍角公式，
可得，
又，所以，
故，
又，则，
则有，
由锐角可知，故，
因此，
整理可得，
所以；
由中，
利用正弦定理可得，
因为，所以，
则．
16.解：在圆：中令，解得，
可知圆与轴切于点，
结合轴，，点在轴上方，可知，
所以直线的方程为，化简得．
由知，，
所以线段的中点为，且直线的斜率，
可得线段的中垂线方程为，即，
由，解得，所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的标准方程为．

17.解：已知函数，
当时，，
设，则，开口向上，对称轴，
所以函数在上单调递减，上单调递增，
所以，，
所以在上的最小值为，最大值为．
，
设，当且仅当，即时取得等号，
所以，，，对称轴．
当，即时，在上单调递减，上单调递增，
所以时，，解得或舍去，
当，即时，，在上单调递增，
则当时，，解得，不满足题意；
综上，实数的值为．
18.解：证明：因为底面，，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
可得，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，则，
令，可得，，
即，
因为，可得，
且平面，
所以平面
设平面的一个法向量为，
则，则，
解得，令，可得，
即，
所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为；
易知，
平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为．
19.解：由题可得，解得：，
所以的方程为：；
因为左焦点为，直线的斜率不为零，
设直线的方程为，，，，
联立，消去得：，
所以，，
因为的重心为原点，所以，
所以，
则，
又在椭圆上，
则，
化简得：，
解得：，所以直线的方程是；
如图，设，
由可知，，
代入，可得，
即，
所以，
即，且，
解得：．
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