2024-2025学年江西省景德镇一中高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省景德镇一中高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合满足，且，则满足条件的集合有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知函数的定义域为，则“为增函数”是“的最小值为，最大值为”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.不等式的解集为，则实数的取值范围是( )
A. 或 B.
C. D.
4.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数为数学家高斯创造的取整函数表示不超过的最大整数，如，，已知函数，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若对于，，使得成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.对实数和，定义运算“”：，设函数，若函数的图象与轴恰有个公共点，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. 若，则
B. 若的定义域为，则的定义域为
C. 函数是定义在上的单调递增奇函数
D. 记为实数，的最小值，为实数，的最大值，函数，，，，则的最大值与的最小值的差为
10.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 若，的最小值为
B. 若，的最小值为
C. 若，的最小值为
D. 若，的最大值为
11.已知函数，以下结论正确的是( )
A. 在区间上先增后减
B.
C. 若方程在上有个不等实根，则
D. 若方程恰有个实根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的奇函数，且当时，，当时，______．
13.设函数，则满足的的取值范围是 ．
14.已知函数，记集合，，若，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知幂函数在上单调递增，．
求实数的值；
当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数，．
若，当时，求的最小值；
求关于的不等式的解集；
当时，已知，，若，求的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
设，正实数，满足，且的取值范围为若函数在上的最大值不大于最小值的两倍，求实数的取值范围．
18.本小题分
设函数满足：对任意实数，都有；对任意，都有恒成立；不恒为，且当时，．
求，的值；
判断函数的奇偶性，并给出你的证明．
定义“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”试证明：函数为周期函数，并求出的值．
19.本小题分
已知函数，．
当，时，解关于的不等式；
当时，对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；
当，时，若点，均为函数与函数图象的公共点，且，求证：．
参考答案
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15.解：为幂函数，则，
解得或，
又幂函数在上单调递增，
，得．
由第一问得，在上递增，
所以的值域为，即集合，
而在上递减，所以的值域为，即，
由命题是命题的必要不充分条件可得，
所以，解得，
即的取值范围为．
16.解：当时，
，
当且仅当，即时取等号，
即的最小值为；
，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得或，
当，即时，解原不等式得．
综上，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
不等式可化为，
因为，
所以不等式在时恒成立，
结合二次函数图象知，，
即，
解得，
故的取值范围是．
17.解：，，
令，当，则，
即存在使成立，只需，
，
当时，，
，，
即实数的取值范围是
，
，
则，
当且仅当时，；
当且仅当，，
，
，在上单调递减，在上单调递增，
，
当，即时，在上单调递增，
即得，
，
当，即时，在上单调递减，
即得，
，
当时，，，
由．
(ⅰ)当时，，
则，
得，
(ⅱ)当时，，
则，
得．
综上实数的取值范围是
18.解：由于不恒为，故存在，使，
令，，则，所以，
令，，由，由，
令，得，所以得到，
令，，
因为当时，，所以，
所以，故；
为偶函数，证明如下：
对任意实数，都有，
令，，得，
所以，即为偶函数；
由，得，
又为偶函数，则，即是以为周期的周期函数；
因为，
令，得，即，
再令，得，即．
而，解得，，
由得，，
所以，
又由于是以为周期的周期函数，
所以
19.解：当，时，即解不等式，
可得，
当时，成立，
当时，得，即解，
解得；
当且时，得，解得，
综上所述，不等式的解集为；
当时，可得，，
对任意，关于的不等式恒成立，
即在上恒成立，
即在上恒成立，
即当时，的最大值为，所以，
所以实数的取值范围；
证明：由，可得，
可得，
因为点，均为函数与函数图象的公共点，
可得，
，两式相减得
，
因为，所以，
可得，
令，则，
整理得，解得，
所以．
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