2023-2024学年上海六十中高一（上）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年上海六十中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共3小题，每小题4分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，以下不等关系不一定成立的是( )
A. B.
C. D.
2.在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间( )
A. B. C. D.
3.函数与在同一直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，共35分。
4.设集合，全集，则 ．
5.函数的定义域为 ．
6.函数的零点为 ．
7.若满足，，则为第 象限角．
8.若一半径为的扇形的弧长是其半径的，则该扇形的面积为 ．
9.“”是“”的 条件．
10.记函数所过定点为，若位于幂函数的图像上，则 ．
11.已知，用表示______．
12.记的减区间，则在上的值域为 ．
13.称满足以下条件的函数为“函数”：从定义域中任取，总存在唯一的满足根据该定义，以下命题中所有真命题的序号为 ．
若，为函数，则，；
是函数；
是函数；
是函数；
若，为函数，则．
三、解答题：本题共5小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知集合，，若．
求的取值范围；
当为可能取得的最大整数时，解关于的方程：．
15.本小题分
设，直接用任意角的三角比定义证明：．
给出两个公式：；．
请仅以上述两个公式为已知条件证明：．
16.本小题分
疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．
求口罩销售利润万元关于产量万箱的函数关系式；
当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大？
17.本小题分
研究函数的性质，作出大致函数图像，并对函数的基本性质奇偶性、单调性、最值进行证明．
18.本小题分
已知．
当时，解不等式；
若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值；
若对任意，函数在区间上总有意义，且最大值与最小值的差不小于，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.三
8.
9.必要不充分
10.
11.
12.
13.
14.解：，
当时，，满足题意；
当时，，由得，解得，
故的取值范围为；
由知，故方程转化为，
解得或舍，故
15.证明：将角的顶点置于平面直角坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，
设角终边一点非原点，坐标为，
则 ，
，，
；
由于，将换成后，就有，
即．
16.解：根据题意可知
；
由可知：当时，；
当时，根据对勾函数的性质易知单调递减，
，
又，
当产量为万箱时，该口罩生产厂在生产中所获利润最大．
17.解：函数的定义域为，
因为，即为奇函数；
当时，根据对勾函数单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，
故在上单调递增，在上单调递减且，
当时，函数取得最大值；
当时，根据奇函数的对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，，
当时，函数取得最小值，
因为且函数在处连续，故其大致图象如图所示．
18.解：当时，，
所以，解得，
所以不等式的解集为；
由，得，
即，
所以，
当时，则，解得，经过验证此时满足题意；
当时，若，则，此时解得经过验证满足题意；
若时，方程有两不等实根，设为，，显然，，
由，得，
因为，所以，
即，，
所以，都满足，所以此时不满足题意．
综上可得或；
因为对任意，函数在区间上总有意义，所以对恒成立，
因为在上为减函数，
故只需对任意恒成立，
所以只要，
故，解得，
对任意，函数在区间上单调递减，
所以函数在区间上最大值为，最小值为，
所以，
所以，
即对任意恒成立，
令，
当时，对任意不恒成立；
当时，在上单调递增，
所以时，取得最大值，且最大值为，
所以当时不满足；
当时，对任意恒成立，有以下三种情况：
，解得，结合，得；
，由，得，而，故此情况无解；
，解得，此时无解．
所以实数的取值范围是
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