上海市曹杨二中2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

上海市曹杨二中 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 = | |的最小正周期是( )

A. B. C. 2 D. 4
2

2.空间中，已知两条直线 ， ，其方向向量分别为 , ，则“ , = ”是“ 与 所成角为 ”的( )
4 4
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件
3.在空间，已知直线 及不在 上两个不重合的点 、 ，过直线 做平面 ，使得点 、 到平面 的距离相等，
则这样的平面 的个数不可能是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 无数个
4.已知正三棱锥 的所有顶点均在球 的球面上， = 3，侧棱 = 2√ 3，点 在线段 上，且 =
2 .过点 作球 的截面，则所得截面面积的取值范围是( )
5 9 11
A. [2 , 4 ] B. [ , 4 ] C. [ , 4 ] D. [ , 4 ]
4 4 4
二、填空题：本题共 11 小题，共 50 分。
2+
5.已知 为虚数单位，计算： = ______．
1 2

6.在△ 中，若 = 2， = ，且△ 的面积为4√ 3，则 = ______．
3
7.已知正三棱柱的底面边长为2，高为√ 3，则其体积为______．
8.已知 ∈ ，空间向量 = (3,1,1)， = (0,2, ).若 ⊥ ，则 = ______．
9.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 7 = 2，则 13 = ______．
10.如图，正方体 1 1 1 1的所有棱中，其所在的直线与直线 1成异面直线
的共有______条．
11.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为 ．
1 1
12.已知 ∈ ， 、 、 三点不共线， 为平面 外任意一点.若 = + + ，且 、 、 、
4 6
四点共面，则 = ______．
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13.如图，在透明塑料制成的长方体 1 1 1 1容器内灌进一些水(未满
)，将容器底面一边 固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有
下列四种说法：
①水的部分始终呈棱柱状；
②棱 1 1始终与水面 平行；
③水面四边形 的面积不改变；
④当 ∈ 1，且 ∈ 1时， + 是定值．
其中所有正确的命题的序号是______. (请在横线上写出所有正确答案的序号，错选不得分)
14.如图，△ 是边长为2√ 2的等边三角形，△ 为直角三角形， 为直角顶
点，∠ = 60°，连接 .当二面角 从0°变化到90°的过程中，线段
在平面 上的投影扫过的平面区域的面积为______．
15.小玲在一个棱长为8 的密封正方体盒子中，放入一个半径为1 的小球.无论她怎么摇动盒子，小球在
盒子中不能达到的空间体积为______ 3. (结果中保留 )
三、解答题：本题共 5 小题，共 78 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题14分)

已知 为虚数单位.设 ∈ [0, ]，复数 0 = (3 ) + ( + ) ． 2
(1)若 0的实部与虚部相等，求 的大小；

(2)已知 ， ∈ ， = ，若 0是方程
2 + + = 0的一个虚根，求 与 的值．
2
17.(本小题14分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = = 1 = 2，∠ = 90°， ， 分别为 1、 的中点.建立
适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：
(1)求证： 1 ⊥ ；
(2)求点 1到平面 的距离．
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18.(本小题14分)
如图所示的几何体，是将体积为12 、底面半径为2的圆柱沿着过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面
向右水平平移后形成的， 、 为底面直径， 、 为圆柱的母线， 1、 2、 2′分别为 、 、 的
中点， 为弧 的中点， 为弧 的中点．
(1)求这个几何体的表面积；
(2)求异面直线 与 2′所成角的余弦值．
19.(本小题18分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， ⊥ ， // ， = 1， = 2， = = √ 2.点
是棱 上的动点．
(1)求证： //平面 ；
(2)试确定点 的位置，使得截面 把该四棱锥分成的两个几何体 与 的体积比为2：1；

(3)记二面角 的大小为 ，二面角 的大小为 .试确定点 的位置，使得 + = ．
2
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20.(本小题18分)
设 ∈ 且 ≥ 3，数列{ }的各项均为整数，其前 项和为 .定义：若{ }满足前 项依次成公差为1的等差
数列，从第 1项起往后依次成公比为2的等比数列，则称{ }为“ 关联数列”；
(1)若{ }为“3关联数列”，求 1；
(2)若{ }为“6关联数列”，证明：对任意正整数 ，都有 ≥ 6 6；
(3)设 、 为正整数且 < .若{ }为“ 关联数列”，且 1 = 10，是否存在 、 ，使得 = ？若存
在，求出所有满足条件的 、 ；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】8
7.【答案】3
8.【答案】 2
9.【答案】26
10.【答案】6
11.【答案】60°
1
12.【答案】
12
13.【答案】①②④
√ 3
14.【答案】
2
58
15.【答案】80
3
16.【答案】解：(1)由 0 = (3 ) + ( + ) 的实部与虚部相等，
得3 = + ，即 = ，

∵ ∈ [0, ]，∴ = 1，
2

∴ = ；
4

(2) ∵ = ，∴ 0 = (3 ) + ( + ) = 3 + ， 2
代入方程 2 + + = 0，
可得：(3 + )2 + (3 + ) + = 0，即3 + + 8 + (6 + ) = 0，
3 + + 8 = 0 = 6
则{ ，解得{ ．
6 + = 0 = 10
17.【答案】(1)证明：在直三棱柱 1 1 1中，已知∠ = 90°，
则 1 ⊥ ， 1 ⊥ ， ⊥ ，
以 为坐标原点，分别以 、 、 1所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
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则 (2,0,0)， (0,0,0)， (0,2,0)， 1(0,0,2)，
∴ 1 = (2,0, 2)， = (0,2,0)，
则 1 = 2 × 0 + 0 × 2 2 × 0 = 0，得 1 ⊥ ，即 1 ⊥ ；
(2)解：由(1)可得 (0,2,1)， (1,1,0)， 1(2,0,2)，
∴ = (1,1,0)， = (0,2,1)， 1 = (2,0,2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + = 0
由{ ，取 = 1，可得 = 1， = 2，则 = (1, 1,2)，
= + = 0
| | 6
∴点 1到平面 的距离 =
1 = = √ 6．
| | √ 6
18.【答案】解：(1)设圆柱的高为 ，又圆柱的底面半径 = 2，
则有12 = 4 ，解之得 = 3，
将圆柱按题中方法切开，再平移后接成封闭体后，
该几何体的表面积比原来的圆柱表面积多了两个轴截面矩形的面积，
因此它的表面积为 表 = 圆柱表 + 2 = 2 2 × 3 + 2 × 2
2 + 2 × 4 × 3 = 20 + 24；
(2)连接 ，在面 内，过点 作 ⊥ ，
以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，
建立空间直角坐标系如图，
则 (0,4,0)， ( 2, 2,0)， (2,2,0)， 2′(0,2,3)，
则 = ( 2, 6,0), 2′ = ( 2,0,3)，
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设异面直线 与 2′所成角为 ，
4 √ 130
则 = |cos , 2′ | = = ． √ 4+9 √ 4+36 65
19.【答案】解：(1)证明：因为 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 = 1， = √ 2，所以 = √ 2 2 = 1，
又 ⊥ ， // ， = 2， = √ 2，
所以 = 2 √ (√ 2)2 12 = 1，
1 3
所以 = × (1 + 2) × 1 = ， 2 2
1 3 1
所以 = × × 1 = ， 3 2 2
1
连接 ，所以 △ = × 1 × 2 = 1， 2
又使得截面 把该四棱锥分成的两个几何体 与 的体积比为2：1，
1 1
所以 = 3 =
，
6
设三棱锥 的高为 ，
1 1 1
则 = △ = × 1 × = ， 3 3 6
1 1
解得 = ，所以 到平面 的距离为 ，
2 2
又点 是棱 上的动点，所以 为棱 的中点，
即当 为棱 的中点时截面 把该四棱锥分成的两个几何体 与 的体积比为2：1；
(3)如图建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)， (1,1,0)， (0,2,0)， (0,0,1)，
则 = (1,1, 1)， = (0,2, 1)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则{ ⊥
= + = 0，则{ ，
⊥ = 2 = 0
取 = (1,1,2)，
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又平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
显然二面角 为锐二面角，
| | 2 √ 6
所以 = = = ，
| | | | √ 6 3
设 = (0 < < 1)，则 = + = (0,0,1) + (0,2, 1) = (0,2 , 1 )，
又 = (1,1,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 2 + (1 ) = 0
则{ ⊥ ，则{ ，
⊥ = + = 0
2
取 = (1, 1, )，
1
又二面角 为锐二面角，
2
| |
所以 = =
1
| | | | ，
√ 2 2 2+( )
1

又 + = ，所以 √ 6 √ 3
2 = cos( ) = = √ 1 ( )
2 = ，
2 3 3
2
1 √ 3
所以 = ，
√ 2 2
3
2+( )
1
1
解得 = 或 = 1(舍去)，
3
所以当
1
=

，即 为 靠近点 的三等分点时，满足 + = ．
3 2
20.【答案】解：(1)由于{ }为“3关联数列”，
因此前3项依次成公差为1的等差数列，从第2项起往后依次成公比为2的等比数列，
那么 2 = 1 + 1， 3 = 1 + 2，而且 3 = 2 2，所以 1 = 0．
(2)证明：由于{ }为“6关联数列”，
因此前6项依次成公差为1的等差数列，从第5项起往后依次成公比为2的等比数列，
所以 5 = 1 + 4， 6 = 1 + 5，并且 6 = 2 5，所以 1 = 3，
4, ≤ 6
根据等比，等差数列通项公式可得： = { 5 ， 2 , ≥ 7
因此数列{ }前十项列举为： 3， 2， 1，0，1，2，4，8，16，32，…，
所以{ }前十项列举为： 3， 5， 6， 6， 5， 3，1，9，25，57，…，
因此{ }前十项列举为：9，10，6，0， 5， 6，4，72，400，1824，…，
通过上述列举可猜想对任意正整数 ，有 ≥ 6 6，
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再证明当 ≤ 10时，由数列{ }列举可得 ≥ 6 6，
当 ≥ 10时，
1 2 4
数列 = 3 + ( 2) + ( 1) + 0 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + + 2 5 = 6 + = 7 + 2 4 ， 1 2
因此 = 2
5( 7 + 2 4)，
当 ≥ 10时，2 5 ≥ 25 = 32 > 7，因此 5 4 = 2 ( 7 + 2 ) > 0，而 6 6 = 6，
因此仍然满足 ≥ 6 6．
综上可得：对任意正整数 ，都有 ≥ 6 6．
(3)根据{ }为“ 关联数列”，且 1 = 10，
那么有 = 10 + ( 1) × 1 = 11 + ， 1 = 10 + ( 2) × 1 = 12 + ，
11, ≤ 13
且 = 2 1，所以 = 13，因此{ }通项公式为 = { 12 ， 2 , ≥ 14
当 ≥ 14时，
1 2 11
数列 = 10 + ( 9) + ( 8) + + 0 + 1 + 2 + 4 + + 2
12 = 55 + = 56 + 2 1，
1 2
[ 10+( 11)] 2 21
当 ≤ 13时，数列 = 10 + ( 9) + ( 8) + + ( 11) = = ， 2 2 2
2 21
, ≤ 13
因此数列 = { 2 2 ，
2 11 56, ≥ 14
当 ≤ 13时，根据二次函数对称性计算可得： 10 = 11 = 55， 13 = 8 = 52， 9 = 12 = 54，
当 ≥ 14时，数列 = 56 + 2
1是一个递增数列，因此要使得 = ， < ，
2
21
那么有 ≤ 13， ≥ 14，所以满足 = 2 11 56，
2 2
变形得：2 10 = 2 21 + 112，
当 = 16， 2 21 + 112 = 2 10 = 64， ；
当 = 15， 2 21 + 112 = 2 10 = 32， = 5 ∈ ；
当 = 14， 2 21 + 112 = 2 10 = 16， ；
然而当 ≥ 17时，数列 = 2 11 56 ≥ 64 56 = 8 > 0，
( 21)
而当 ≤ 13时，数列 = < 0，因此 ≥ 17，不可能满足 = ， 2
= 5 = 10 = 9 = 8
综上所述，使得 = 的 、 为{ ，{ ，{ ，{ ． = 15 = 11 = 12 = 13
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