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课时7.3定义、命题、定理（学案）
1.让学生理解定义的概念，能够识别不同数学概念的定义，明确定义是对一个概念本质特征的描述。
2.了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，会判断命题的真假。像“相等的角是对顶角“这个命题，学生要能判断出它是假命题，并能给出反例。
3.理解定理的含义，知道定理是经过证明为真的命题。例如，三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”，明白它是经过严格证明得到的结论，并目可以作为后续证明其他命题的依据。
学习重点：深入理解定义、命题、定理的概念。熟练区分命题的题设和结论。
学习难点：命题概念的理解，尤其是对一些复杂语句是否为命题的判断。
像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句，叫做命题。被判断为正确（或真）的命题叫做真命题，被判断为错误（或假）的命题叫做假命题；
请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等；
（2）绝对值相等的两个数相等；
（3）两个钝角的和一定大于．
【详解】（1）解：条件：两个角是直角；结论：这两个角相等；
直角为，故原命题是真命题；
（2）解：条件：两个数绝对值相等；结论：这两个数相等；
绝对值相等的两个数，还可以互为相反数，不一定相等，故原命题是假命题；
（3）解：条件：两个角是钝角；结论：这两个角的和一定大于；
钝角大于，故两个钝角的和一定大于，故原命题是真命题．
前面，我们学习一些新的数学对象的时候，对它们进行了清晰、明确的描述，根据以往学习的知识填空；
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作 数轴 ；
（2）使得方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作 方程的解 ；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的 角平分线；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作 点到直线的距离 ；
探究一：你能参照复习引入在列举几个吗
例如：（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为正方形；
（2）经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做垂直平分线；
这样的描述称为数学对象上的定义 ；一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够准确的帮助我们准确的理解它，并作出准确的判断。
探究二：判断下面陈述句是否正确；
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等； （√）
（2）对顶角相等; （√）
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行； （√）
（4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （√）
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； （×）
像这样可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述句，叫做命题。被判断为正确（或真）的命题叫做真命题，被判断为错误（或假）的命题叫做假命题；
探讨交流：你还能列举出哪些假命题？哪些真命题？同学之间讨论一下
例1 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（3）两个锐角的和是钝角．
【详解】（1）解：该命题为假命题，反例：两条直线不平行时，被第三条直线所截，同位角不相等；
（2）解：该命题为真命题；
（3）解：该命题为假命题，反例：当，时，，不是钝角．
探究三：观察下面的命题，它们分别是由哪些部分组成，谈论一下
（1）如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等；
（2）如果两个角是邻补角，那么它们互补；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（4）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等.
数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论。
探讨交流：跟同学讨论一下，上述的命题的题设是什么？结论是什么？
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题就是正确的；
如果题设成立，但是结论不一定成立，这么的命题就是错误的。
例2 判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）延长到点；
（3）同角的补角相等；
（4）平方后等于的数是．
【详解】（1）解：同位角相等，两直线平行是真命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果两直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两直线平行；
（2）延长到点不是命题；
（3）同角的补角相等是真命题；写成“如果…那么…”的形式为∶如果两个角都是同一个角的补角，那么这两个角相等；
（4）∵，，
∴平方后等于的数是是假命题，写成“如果…那么…”的形式为：如果一个数的平方等于，那么这个数为．
探究四：判断下面命题的正确性是否是经过推理证实的
（1）两点确定一条直线；
（2）过直线外的一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（3）对顶角相等；
（4）内错角相等，两直线平行.
它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理，定理也可以作为继续推理的依据。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明。
例3 如图所示，已知直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c
∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（垂直的定义）
∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∴∠2=90°（等式的基本性质）
∴a⊥c（垂直的定义）
1．下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：钝角大于，是命题；
两点之间，线段最短，是命题；
希望明天下雨，不是命题；
作，不是命题；
同旁内角不互补，两直线不平行，是命题；
综上可知：是命题
2．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【详解】解：对于命题“若 则 ”，能说明它属于假命题的反例是： ，，，但 ．
3．将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
【答案】如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形
【详解】解：由题意，逆命题为：如果一个三角形的两边上的中线相等，那么这个三角形是等腰三角形．
4．如图，有三个论断：
① ；
② ；
③．
(1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
(2)选择（）中的一个真命题加以证明．
【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题；
选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题；
选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题；
（2）证明：选择①②为题设，③为结论，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
选择①③为题设，②为结论，
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，∴；
选择②③为题设，①为结论
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵，∴．
5．完成下面的推理说明：
已知：如图，，分别平分和．
求证：．
证明：∵分别平分和（已知），
∴______，______（____________）．
∵（____________），
∴（______________________）．
∴____________（____________），
∴∠____________（等式的基本性质），
∴（______________________）；
【详解】解：（1）∵、分别平分和(已知)，
∴(角平分线的定义)，
∵(已知)，
∴(两直线平行，内错角相等)，
∴(等量代换)，
∴(等式的性质)，
∴(内错角相等，两直线平行)．
故答案为：；；角平分线的定义；已知；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；
6．已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
(1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线，直线截，于点M，N．
求证 ．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
∵ （平角的定义），
∴ （ ）．
【答案】(1)该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补
(2)；两直线平行，同位角相等；；；等量代换
【详解】（1）该命题的题设是“两直线平行”，结论是“同旁内角互补”，
改成“如果……那么……”的形式是：如果两直线平行，那么同旁内角互补；
（2）如图，已知直线，直线截，于点M，N．
求证．
证明：∵（已知），
∴（两直线平行，同位角相等）．
∵（平角的定义），
∴（等量代换）．
故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；等量代换．中小学教育资源及组卷应用平台
课时7.3定义、命题、定理（学案）
1.让学生理解定义的概念，能够识别不同数学概念的定义，明确定义是对一个概念本质特征的描述。
2.了解命题的概念，能区分命题的题设和结论，会判断命题的真假。像“相等的角是对顶角“这个命题，学生要能判断出它是假命题，并能给出反例。
3.理解定理的含义，知道定理是经过证明为真的命题。例如，三角形内角和定理“三角形的内角和等于180°”，明白它是经过严格证明得到的结论，并目可以作为后续证明其他命题的依据。
学习重点：深入理解定义、命题、定理的概念。熟练区分命题的题设和结论。
学习难点：命题概念的理解，尤其是对一些复杂语句是否为命题的判断。
像这样可以判断为 或 的 ，叫做命题。被判断为正确（或真）的命题叫做 ，被判断为错误（或假）的命题叫做 ；
请指出下列命题的条件和结论，并判断它们的真假．
（1）如果两个角是直角，那么这两个角相等；
（2）绝对值相等的两个数相等；
（3）两个钝角的和一定大于．
前面，我们学习一些新的数学对象的时候，对它们进行了清晰、明确的描述，根据以往学习的知识填空；
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作 ；
（2）使得方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作 ；
（3）从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的 ；
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作 ；
探究一：你能参照复习引入在列举几个吗
例如：（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形称为 ；
（2）经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做 ；
这样的描述称为数学对象上的 ；一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够准确的帮助我们准确的理解它，并作出准确的判断。
探究二：判断下面陈述句是否正确；
（1）等式两边加同一个数，结果仍相等； （ ）
（2）对顶角相等; （ ）
（3）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行； （ ）
（4）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； （ ）
（5）如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除； （ ）
像这样可以判断为 或 的 ，叫做命题。被判断为正确（或真）的命题叫做 ，被判断为错误（或假）的命题叫做 ；
探讨交流：你还能列举出哪些假命题？哪些真命题？同学之间讨论一下
例1 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例．
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）有两边相等的三角形是等腰三角形；
（3）两个锐角的和是钝角．
探究三：观察下面的命题，它们分别是由哪些部分组成，谈论一下
（1）如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等；
（2）如果两个角是邻补角，那么它们互补；
（3）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；
（4）如果两个角是相等的角的补角，那么这两个角相等.
数学中的命题常可以写成“ ”的形式，这时“如果”后接的部分是 ，“那么”后接的部分是 。
探讨交流：跟同学讨论一下，上述的命题的题设是什么？结论是什么？
如果题设成立， ，这样的命题就是正确的；
如果题设成立， ，这么的命题就是错误的。
例2 判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果…那么…”的形式，并判断其是真命题还是假命题．
（1）同位角相等，两直线平行；
（2）延长到点；
（3）同角的补角相等；
（4）平方后等于的数是．
探究四：判断下面命题的正确性是否是经过推理证实的
（1）两点确定一条直线；
（2）过直线外的一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（3）对顶角相等；
（4）内错角相等，两直线平行.
它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作 ，定理也可以作为继续推理的依据。
在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做 。
例3 如图所示，已知直线a⊥b，b∥c，求证a⊥c
∵a⊥b（已知）
∴∠1=90°（ ）
∵b∥c（已知）
∴∠1=∠2（ ）
∴∠2=90°（ ）
∴a⊥c（ ）
1．下列语句：钝角大于；两点之间，线段最短；希望明天下雨；作；同旁内角不互补，两直线不平行．其中是命题的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．将命题“等腰三角形中两腰上的中线相等”的逆命题改写成“如果…，那么…”的形式 ．
4．如图，有三个论断：
① ；
② ；
③．
(1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题；
(2)选择（）中的一个真命题加以证明．
5．完成下面的推理说明：
已知：如图，，分别平分和．
求证：．
证明：∵分别平分和（已知），
∴______，______（____________）．
∵（____________），
∴（______________________）．
∴____________（____________），
∴∠____________（等式的基本性质），
∴（______________________）；
6．已知命题“两直线平行，同旁内角互补”．
(1)写出该命题的题设和结论，并将其改写成“如果……那么……”的形式；
(2)嘉淇想证明该命题，下面是她的解题过程，请将其补全，并在括号内填上推理的根据．
如图，已知直线，直线截，于点M，N．
求证 ．
证明：∵（已知），
∴（ ）．
∵ （平角的定义），
∴ （ ）．
