检测3直线和圆的方程基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
10．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．3
11．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（ ）
A．AB的距离为
B．直线BC的一般式方程为
C．以BC为直径的圆方程为
D．外接圆的方程为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ．
14．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，直线：.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
16. (15分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
(3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程．
17. (15分) （24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为，
(1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程.
18. (17分) （24-25高二上·江西·阶段练习）已知点，，.
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)已知圆过点，求圆的方程.
19. (17分) （24-25高二上·四川成都·期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
(1)当点的横坐标为2时，求切线的方程；
(2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.检测3直线和圆的方程基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·辽宁·期末）已知直线的倾斜角为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·福建福州·期中）直线，，经过与的交点，且与垂直的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·湖北·阶段练习）动直线被定圆C截得的弦长等于，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·四川成都·期末）已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为1，则的取值范围为（ ）
A． B． C．或 D．或
6．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知直线，设甲：；乙：，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，边长为的等边，动点在以为直径的半圆上.若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·广东·模拟预测）已知圆与圆交于、两点，则（为圆的圆心）面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列说法一定正确的是（ ）
A．过点的直线方程为
B．直线的倾斜角为
C．若，，则直线不经过第三象限
D．过、两点的直线方程为
10．（23-24高二上·重庆开州·阶段练习）已知点，，直线上存在点P满足，则直线可能为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．3
11．（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知三点下列结论正确的是（ ）
A．AB的距离为
B．直线BC的一般式方程为
C．以BC为直径的圆方程为
D．外接圆的方程为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在直线上，若的最小值为4，则 ．
14．（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，直线：.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值.
16. (15分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程．
(2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
(3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程．
17. (15分) （24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线和的交点为，
(1)求过点且在两坐标轴截距互为相反数的直线的一般式方程；
(2)求过点且垂直于直线的直线的一般式方程.
18. (17分) （24-25高二上·江西·阶段练习）已知点，，.
(1)求线段的垂直平分线的方程；
(2)已知圆过点，求圆的方程.
19. (17分) （24-25高二上·四川成都·期末）已知圆是直线上的一动点，过点作圆的切线，切点分别为.
(1)当点的横坐标为2时，求切线的方程；
(2)当点在直线上运动时，求四边形面积的最小值.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B A B D C CD CD
题号 11
答案 BCD
1．C
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系，已知可求出直线斜率取值范围，再根据直线的方程求出的取值范围.
【详解】因为，所以，
即直线的斜率.
又由直线方程可得，所以，
解得，
即实数的取值范围是.
故选：C.
2．B
【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率，
所以直线方程为，即，故ACD错误.
故选：B.
3．B
【分析】联立方程组求得交点坐标，由垂直求出直线斜率，然后写出直线方程.
【详解】联立方程组解得，即交点为，
，∴，∴，即.
故选：B
4．B
【分析】首先求出直线恒过点，依题意可得圆C的圆心为，半径，即可求出圆的方程.
【详解】动直线，即，
令，解得，
所以动直线恒过点，
又动直线被定圆C截得的弦长等于，
所以圆C的圆心为，半径，
所以圆C的方程为.
故选：B
5．A
【分析】求得圆心到直线的距离，根据题意可得，求解即可.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
由圆上至少有3个点到直线的距离为1，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】利用两条直线平行的条件得到得到或再判断即可得到结果
【详解】由直线，，当两条直线平行时，解得或，
当时，，
当时，
所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
7．D
【分析】建立平面直角坐标系，可得半圆弧的方程为：，设，根据向量的坐标运算法则算出关于的式子，利用三角换元与正弦函数的性质求解即可．
【详解】由题意可以所在直线为x轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：
结合已知得，，，
半圆弧的方程为：，
设，则，，，
由得：，
解得：，
所以，
因为在上，所以，
又，
则可设，，，
将，代入整理得：
，
由得，
所以，，
故的取值范围是.
故选：D.
8．C
【分析】求出两圆的半径，从而可得，因为为锐角，所以要使的面积最大，只要取得最大值即可，此时，解出的面积，即可得解.
【详解】由题意得：，所以圆心，半径，
由两圆相交于、两点可知：，
所以的面积，
因为是半径为的圆，所以，
当时，，
又，
此时由，解得，，故可以取最大值，
所以当时，最大，且是锐角，
根据函数的单调性可知：当时，最大，
在中由余弦定理可得：，
所以，所以，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用三角形的面积公式表示面积之后，关键点在于利用圆的几何性质寻找的最大值，从而确定面积的的最大值.
9．CD
【分析】取倾斜角为直角的直线可判断A选项；取，可判断B选项；化直线方程为斜截式，数形结合可判断C选项；利用两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A选项，过点且斜率不存在的直线的方程为，A错；
对于B选项，若，则直线的倾斜角不是，B错；
对于C选项，因为，，则直线的方程可化为，
故直线的斜率为，该直线在轴上的截距为，
作出直线的图象如下图所示：
由图可知，当，时，直线不经过第三象限，C对；
对于D选项，当过点、的直线的斜率存在且不为零时，
则该直线的两点式方程为，可化为，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
当直线与轴垂直时，直线的方程为，满足，
综上所述，过、两点的直线方程为，D对.
故选：CD.
10．CD
【分析】变形后求出直线过定点，且斜率为，结合，故只需与线段有交点，结合，，求出，得到，得到答案.
【详解】变形为，
故直线过定点，且斜率为，
又，
要想直线上存在点P满足，
即与线段有交点，
因为，，
故，解得，
故CD满足要求，AB错误.
故选：CD
11．BCD
【分析】根据两点间的距离坐标公式以及直线方程、圆的标准方程、待定系数法求解圆的一般方程即可得出结论.
【详解】由题意知,AB的距离为，故A错误;
直线BC的方程为,即，故B正确；
以BC为直径的圆，圆心为，半径为,
所以圆的方程为,
即,故C正确;
设外接圆的方程为，
代入三点坐标得，
,解得
,
所以外接圆的方程为,故D正确.
故选：BCD.
12．/
【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.
【详解】因为，所以，即，
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．
故答案为：．
13．或9
【分析】根据的几何意义，结合点线距离公式求参数即可.
【详解】因为点在直线上，
那么的最小值是定点到直线的距离的平方，
所以，解得或9．
故答案为：或9
14．
【分析】根据圆的方程有圆心并求得，应用点斜式写出切线方程.
【详解】由圆，则圆心为，故，则点P处的切线斜率为，
所以圆在点P处的切线方程为，可得.
故答案为：
15．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
（2）因为，所以
解得或.
16．(1)
(2)或
(3)，或
【分析】（1）首先根据题意得到直线的斜率为，再利用点斜式求出直线方程即可.
（2）首先求出线段AB垂直平分线的方程为，设出，根据得到或，再求直线方程即可.
（3）分类讨论直线过原点和不过原点两种情况求解即可.
【详解】（1）因为，所以直线的斜率为，
则直线：，即.
（2）的中点坐标为，因为，
因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为，
且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为，
即，所以点在直线上，
设点，由可得：，
解得或，所以点坐标为或，
当坐标为时，，直线：，即.
当坐标为时，，直线：，
即.
（3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为，
因为过，得到，解得，所求直线方程为，即．
②当直线不过原点时，设其方程，
又经过点，有，解得，则方程为，即．
故所求直线的方程为，或．
17．(1)或
(2)
【分析】（1）求出点坐标，得出斜率，即可求出直线的一般式方程；
（2）求出直线的斜率，结合过点，即可求出直线的一般式方程.
【详解】（1）由题意，
直线和的交点为，
∴，解得：，
∴,
在直线中，直线过点且两坐标轴截距互为相反数，
∴当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，即.
当直线过原点时直线斜率为，直线的方程为：，
∴直线的方程为：或.
（2）由题意及（1）得，，
在直线中，直线过点且垂直于直线（即），
∴直线斜率为，
∴直线的方程为：，
即.
18．(1)
(2)
【分析】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段AC的垂直平分线的斜率，即可写出方程；
（2）仿照（1），求出线段的垂直平分线的方程，再将两线段的中垂线方程联立，依次求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则，
直线的斜率为：,故线段AC的垂直平分线的斜率为，
故其直线方程为：，即；
（2）仿照（1），同理可求得线段的垂直平分线的方程为,即，
由解得：，
即圆心为，圆的半径为：,
故圆的方程为：.
19．(1)或
(2)
【分析】（1）由圆的方程可求得圆心与半径，利用点在直线上求得点的坐标，分过点的切线斜率是否存在两种情况讨论可求得切线方程；
（2）由题意可得，又，故求得的最小值即可.
【详解】（1）由圆，可得圆心，半径，
点在直线上，且点的横坐标为点的坐标为，
①当切线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意，；
②当切线的斜率存在时，设斜率为，此时切线方程为，
即：，设圆心到切线的距离为，根据题意可得：，
，
此时，切线方程为，
化简，得，
切线方程为或；
（2）为公共边，，
，
又当最小时，最小，
由题意可知，当时，最小，
此时，，
，
四边形面积的最小值为.
