检测4直线和圆的方程能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024-2025河南高二上学期12月阶段性联合考试数学试题）已知直线与直线平行，则（ ）
A．4 B． C．或5 D．
2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（ ）是“”的充要条件.
A． B．
C．或 D．以上均不对
3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）两条平行线：与：间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．3
7．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．直线倾斜角的取值范围是
B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（ ）．
A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平
B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位
C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本
D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．直线过定点 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为 ．
13．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ．
14．（24-25高二上·四川南充·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、.
(1)求直线、、的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围.
16. (15分) （24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，．
(1)求点C的坐标；
(2)求的面积；
(3)求斜边上的中线所在直线的方程．
17. (15分) （23-24高一下·江苏·期末）已知圆上一点
(1)求圆在点处的切线方程；
(2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程.
18. (17分) （24-25高二上·湖北·阶段练习）已知顶点、、.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
19. (17分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．检测4直线和圆的方程能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024-2025河南高二上学期12月阶段性联合考试数学试题）已知直线与直线平行，则（ ）
A．4 B． C．或5 D．
2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（ ）是“”的充要条件.
A． B．
C．或 D．以上均不对
3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）两条平行线：与：间的距离为（ ）
A． B． C． D．1
4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，且动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．外离 D．内切
6．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知为直线上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．3
7．（24-25高二上·四川眉山·期中）已知直线在轴上的截距是轴上截距的倍，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·江苏·阶段练习）若既是的中点，又是直线与直线的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（ ）
A．直线倾斜角的取值范围是
B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或
10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（ ）．
A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平
B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位
C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本
D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变
11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（ ）
A．直线过定点 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最大值为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，，，直线上存在点满足，则的取值范围为 ．
13．（24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知的顶点，高所在直线方程为，角的平分线所在直线方程为．求：点的坐标 ；边所在直线方程 ．
14．（24-25高二上·四川南充·期中）已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、.
(1)求直线、、的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围.
16. (15分) （24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，．
(1)求点C的坐标；
(2)求的面积；
(3)求斜边上的中线所在直线的方程．
17. (15分) （23-24高一下·江苏·期末）已知圆上一点
(1)求圆在点处的切线方程；
(2)过点作直线交圆于另一点，点满足，求直线的方程.
18. (17分) （24-25高二上·湖北·阶段练习）已知顶点、、.
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的2倍，求直线的方程.
19. (17分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
(1)求圆的方程；
(2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A C C D C A ACD ABD
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】利用两直线平行的条件，列式求出值.
【详解】由直线与直线平行，得，
所以.
故选：D
2．C
【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】因为直线，
当时，，解得或，
当时，，此时，
又时，，此时，
所以“或 ”是“”的充要条件，
故选：C.
3．A
【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解.
【详解】由于两直线平行，故，解得，
故：，
两直线距离为.
故选：A.
4．C
【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.
【详解】由于点在圆的外部，故
，解得，
故选：C
5．C
【分析】首先根据已知条件得到的轨迹表示圆心为，半径为的圆，再根据两圆的位置关系求解即可.
【详解】，得，
则，整理得，
表示圆心为，半径为的圆，
圆的圆心为，半径，
两圆的圆心距为，满足，
所以两个圆外离.
故选：C.
6．D
【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可.
【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和，
即．
设关于直线对称的点为，
则，解得，即，
则，当三点共线时，取到最小值，
且最小值为．
故选：D.
7．C
【分析】依题意可得，分和两种情况讨论即可，求出直线在两坐标轴上的截距，结合题意可得出关于实数的等式，解之即可.
【详解】依题意可得，
当时，直线为，此时横纵截距都等于，满足题意；
当时，将直线的方程化为截距式方程可得，
直线在轴上的截距为，在轴上截距，
则，得或（舍去）.
综上所述，的值为或．
故选：C.
8．A
【分析】首先根据条件求，再根据两点确定一条直线，求直线方程，根据垂直关系，即可求中垂线方程.
【详解】由条件可知，，，
且，两式相加得，
即，得，
点是直线和的交点，所以，
所以点满足直线，即直线方程为，
，与直线垂直的直线方程的斜率为，
所以中垂线方程为，整理为.
故选：A
9．ACD
【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解.
【详解】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确；
对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误；
对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确；
对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确；
故选：ACD.
10．ABD
【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价，纵截距表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出)，分析图形即可得出结论.
【详解】由题意，直线的斜率的实际意义表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价；
直线的纵截距的实际意义表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出.
A项，当时，，
所以图（1）中点B表示当乘客量为时，
既不亏损也不盈利，收支持平，故A说法正确；
B项，当时，，
所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故B说法正确；
对于C，根据题意和图（2）知，当乘客量为时，纵坐标不变，
即支出成本不变，故C项说法错误；
D项，根据题意和图（3）知，两直线平行说明此建议保持票价不变，
乘客人数为0时的收支差额变大，即支出成本变小，
即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以D项说法正确.
故选：ABD.
11．ABD
【分析】根据条件得到，即可得到直线过定点，即可判断选项A的正误；再利用，可得到点的轨迹是以为直径的圆，结合图形及圆的性质，即可判断出选项B、C和D的正误.
【详解】因为是的等差中项，得到，直线，
即，
由，得到，所以直线过定点，所以选项A正确，
又因为，又，
所以点的轨迹是以为直径，即以点为圆心，5为半径的圆，
方程为，
对于选项B，如图，当时，即与重合，此时最大，最大值为，所以选项B正确，
又易知，，，得到，
所以选项C错误，选项D正确，
故选：ABD.
12．
【分析】设点，结合，可得，即直线与圆有公共点，根据圆心与直线的距离可得解.
【详解】设，则，
整理化简得，
若直线上存在点满足，
即直线与圆有公共点，
易知圆的圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离，
解得，
故答案为：．
13． ； .
【分析】先求出直线的斜率，从而求出直线的方程，由此能求出点坐标；由，，根据夹角公式求出，由此能求出直线的方程．
【详解】∵的顶点，高所在直线方程为，
角的平分线所在直线方程为，
∴直线的斜率，
∴直线的方程为：，即，
联立，得，
∴B点坐标为；
∵，，角的平分线所在直线方程为，
∴，
∴，解得或（舍），
∴直线的方程为：，即．
故答案为：；.
14．
【分析】设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，再转化为圆的标准方程即可，由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程．
【详解】设圆的方程为，
已知圆的圆心在直线上，且圆过点、，
则，解得，
即圆的方程为，
所以，圆的标准方程为．
圆C的圆心，半径，
设圆的圆心坐标为，因为圆与圆关于直线对称，
则有，解得，即．
所以，圆的标准方程为．
15．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角；
（2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围.
【详解】（1）由斜率公式，得，，，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，
所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图，当直线绕点由逆时针转到时，
直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到，
所以的取值范围为，
即直线的倾斜角的取值范围为.
16．(1)
(2)10
(3)．
【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值；
（2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可；
（3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程．
【详解】（1）设．因为，所以，
显然，则．
因为，，
所以，解得，则．
（2），，
的面积为．
（3）记AC的中点为E，则．
直线BE的斜率为，
直线BE的方程为，即，
所以斜边上的中线所在直线的方程为．
17．(1)
(2)或
【分析】（1）先依题求得圆的方程，再求直线的斜率，即得切线斜率，由点斜式方程即得切线方程；
（2）设直线的点斜式方程，代入圆的方程，由韦达定理求出点A的坐标，计算弦长和点到直线的距离，由三角形面积公式列方程，解之即得直线的方程.
【详解】（1）由题意，点在圆上，可得，
因直线的斜率为，则圆在点处的切线斜率为，
故切线方程为，即；
（2）如图， 由（1）知圆，又点，，
当直线的斜率不存在时，直线，易知此时，，
点到的距离为3，则，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
代入中，整理得：，
设，由韦达定理，，即，
代入，可得，即，
于是，
则得，
点到直线的距离为：，
则，解得或，
故直线的方程为或.
18．(1)
(2)或
【分析】（1）根据，，即可得的中点及斜率，进而根据点斜式可得其垂直平分线方程；
（2）当直线过坐标原点时可直接求得直线方程；当直线不过坐标原点时，可根据直线的截距时进行求解.
【详解】（1）由、.可知中点为，且，
设边的垂直平分线的斜率为，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，其直线斜率，此时直线方程为，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，
综上所述，直线的方程为或.
19．(1)
(2)
【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.
（2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则．
因为，所以，
所以直线的方程为．
由，得，
所以圆心，
半径，
所以圆的方程为．
（2）设点．
因为点的坐标为，所以即
又点在圆上运动，所以，
即线段的中点的轨迹方程为．
