检测5圆锥曲线的方程基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·期末）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．18 D．28
8．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ）
A．的离心率为 B．
C．的值可以为3 D．若的面积为，则
10．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（ ）
A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距
C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率
11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 .
13．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，若，则 .
14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程.
16. (15分) （24-25高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值.
17. (15分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.
18. (17分) （2024-2025浙江高二上学期12月阶段性联考数学试题）已知椭圆经过点，点是椭圆上的动点，左右焦点分别是与，过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为16．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上有且只有3个点到直线的距离为1，求.
19. (17分) （24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点是抛物线上不同的三点.
（i）若直线过点，且交准线于点，求的值；
（ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C D A B B C AD BC
题号 11
答案 ABD
1．B
【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解.
【详解】设点，根据中点的坐标公式可得，
代入椭圆方程得，其中.
故选：B
2．D
【分析】运用双曲线标准方程的形式，得到不等式，得到的取值范围.
【详解】对于方程表示双曲线，则，
解得 或.
故选：D.
3．C
【分析】根据抛物线的方程求准线方程即可.
【详解】将抛物线方程转化为，则抛物线的准线方程为.
故选：C.
4．D
【分析】设椭圆与轴正半轴的交点为，椭圆上存在点，使得，则需，再结合椭圆的性质，即可求解.
【详解】设椭圆的上顶点为，连接、，如图所示：
则，，
椭圆上存在点，使得，则需，
则，显然，所以，
所以，所以，又，
所以，即椭圆离心率的取值范围为.
故选：D.
5．A
【分析】根据题意，利用余弦定理可得，从而得解.
【详解】根据题意，，由，
则，．
由余弦定理可得，
，
所以，
所以．
故选：A
【点睛】
6．B
【分析】由抛物线定义及可得，进而将点代入抛物线方程即可求得，进而求解C的方程.
【详解】由抛物线的定义，可知，又，，
则，即，
由点在C上，得，结合，解得.
所以C的方程为.
故选：B.
7．B
【分析】根据已知求出的值，根据对称性可得，当为短轴顶点，即可得到面积的最大值.
【详解】
由已知可得，，，所以，
根据椭圆的对称性可得，点关于原点对称，设，.
且，
当最大时，面积最大，则此时为短轴顶点，.
故选：B.
8．C
【分析】由，可得，解得，代入抛物线方程可得，解得，可得直线的方程与抛物线方程联立可得，利用的面积和的面积之比即可得出.
【详解】如图所示，，
，，解得，
代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，解得，
直线的方程为：，化为，
联立，化为，解得，
的面积和的面积之比.
故选：C.
9．AD
【分析】A项，根据方程求出即可得出离心率；B项，作出图象，利用几何知识即可得出结论；C项，利用几何知识即可知道的取值范围，进而得出结论；D项，求出点的位置，分别得出，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，，
A项，离心率，故A正确；
B项，如图所示，
由对称性知，，
，故B错误；
C项，由几何知识得，
,即，
因为，故C错误；
D项，设，
∴，
当的面积为时，，
由几何知识得，，解得：
当，即时，此时，，
∴，
∴，
当，即时，同理可得，，
故D正确；
故选：AD.
10．BC
【分析】利用双曲的性质，结合条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，
双曲线的实轴在轴上，所以选项A错误，
对于选项B，因为双曲线和的焦距均为，所以选项B正确，
对于选项C，双曲线的渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为，所以选项C正确，
对于选项D，双曲线的离心率为，
双曲线的离心率为，
因为，所以，故选项D错误，
故选：BC.
11．ABD
【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确.
【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4，
所以，，故A正确.
对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以，
当直线的斜率存在时，设，
得：，所以.
故B正确.
对选项C，，故C错误.
对选项D，如图所示：
过分别向准线作垂线，垂足为，
因为，
所以，
即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确.
故选：ABD
12．
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【详解】依题意，，
则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，
由，得，
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：
13．9
【分析】由题设结合双曲线定义和焦半径的几何性质即可求解.
【详解】因为双曲线，所以，故，
所以，又，
所以P在双曲线左支上，.
故答案为：9.
14．
【分析】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，由抛物线的定义可得，分析可知，当且仅当、、三点共线时，取最小值，即可得解.
【详解】过点作抛物线的准线的垂线段，垂足点为，如下图所示：
易知，抛物线的焦点为，准线为，
由抛物线的定义可得，所以，，
当且仅当、、三点共线时，即当时，取最小值，且最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】(1)由条件可得，再根据, 求出，可得答案；
(2)联立直线与椭圆方程可得，，，可得AB弦长，求出原点到直线的距离，代入面积公式即可求解.
【详解】（1）椭圆上顶点的坐标为，左右顶点的坐标分别为，，
所以，即.则，又，，
；
（2）设，，
由得：，
，，，
，
又原点到直线的距离，，
即，解得，满足，，
故椭圆的方程为.
16．(1).
(2).
【分析】根据焦距可得的值，再由已知条件将点代入曲线可列出关于的方程，最后联立关系求解即可得到双曲线的方程；
设出直线的方程，与双曲线的方程联立，利用韦达定理及中点坐标公式即可求解.
【详解】（1）由题意得，即，所以，
因为双曲线经过点，所以代入可得，
解得，，
所以的方程为.
（2）设直线的方程为，，，的中点为.
联立，消去整理得：，
所以，，
则，，所以.
因为在直线上，所以，又，所以.
【点睛】本题考查双曲线的方程、直线与双曲线的位置关系，考查运算求解能力、推理论证能力，属于中档题.
17．(1)
(2)-4
【分析】(1)根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程；
(2)设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示计算得解.
【详解】（1）由点到点的距离比点到直线的距离小，
得点到点的距离等于点到直线的距离，
因此点的轨迹是以点为焦点、直线为准线的抛物线，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设其方程为，，，
由消去得，恒成立，，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由椭圆定义可得，再将点的坐标代入计算，即可得到，从而得到结果；
（2）根据题意，由两平行直线的距离公式可得或，然后联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆相交，相切列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
由椭圆的定义可得的周长为，即，
再将点代入椭圆可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可得，到直线的距离为1的点的轨迹是与平行的两条直线，
可设为，则其与直线的距离为，
即，化简可得或，
又因为，所以椭圆与相交且与相切，
联立方程，消去可得，
由椭圆与相交可得，
解得，所以，
由椭圆与相切，
可得，解得，
且，即，所以.
19．(1)；
(2)（i）0；（ii）.
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义结合最小值求出.
（2）（i）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量坐标运算计算即得；（ii）设直线：，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合斜率坐标公式列式可得，再借助判别式求出范围.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线为：，
设点，动点到其准线的距离为，
由拋物线定义得，，则，当且仅当时取等号，
依题意，，所以抛物线的方程为.
（2）（i）显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为：，
设，又，
由消去得，，
，
由，得，整理得，同理得，
所以.
（ii）设直线的方程为：，而，
由消去得，则，
又，由，得，
即，则，解得，
由，得，解得或，则
所以直线的斜率的取值范围是.检测5圆锥曲线的方程基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知方程表示双曲线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河北保定·期末）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）椭圆的左，右焦点分别为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·天津南开·期末）已知双曲线的离心率为为的两个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为为坐标原点，则（ ）
A． B．2 C． D．
6．（24-25高三上·广东汕头·期末）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．20 B．24 C．18 D．28
8．（24-25高二上·湖南常德·阶段练习）已知抛物线的方程为，过其焦点的直线与抛物线交于、两点，且，为坐标原点，则的面积和的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知点，是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，，分别是的左、右焦点，为原点，则（ ）
A．的离心率为 B．
C．的值可以为3 D．若的面积为，则
10．（2024·重庆·模拟预测）已知双曲线 和 ，其中，且，则（ ）
A．与有相同的实轴 B．与有相同的焦距
C．与有相同的渐近线 D．与有相同的离心率
11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的焦点坐标是
B．
C．若，则
D．若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 .
13．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，若，则 .
14．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上的一动点，点，则的最小值为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·天津静海·阶段练习）已知椭圆：的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于，两点，若的面积为(为坐标原点)，求椭圆的标准方程.
16. (15分) （24-25高二上·河南·阶段练习）已知双曲线的焦距为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知斜率为且不经过坐标原点的直线与交于两点，若的中点在直线上，求的值.
17. (15分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到点的距离比点到直线的距离小，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知直线过点且与曲线交于两点，求的值.
18. (17分) （2024-2025浙江高二上学期12月阶段性联考数学试题）已知椭圆经过点，点是椭圆上的动点，左右焦点分别是与，过的直线交椭圆于A，B两点，的周长为16．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上有且只有3个点到直线的距离为1，求.
19. (17分) （24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为上的动点到点的距离与到其准线的距离之和的最小值为2.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点是抛物线上不同的三点.
（i）若直线过点，且交准线于点，求的值；
（ii）若直线的斜率分别为，且，求直线的斜率的取值范围.
