检测7数列基础卷
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(24-25高二上·河南·期中)已知数列的通项公式为,且和是中的两项,则( )
A. B. C. D.
2.(22-23高二下·河南南阳·阶段练习)已知数列的项满足,而,则( )
A. B. C. D.
3.(24-25高二上·天津北辰·阶段练习)已知数列的前n项和,则等于( )
A.12 B.15 C.18 D.21
4.(24-25高二上·广西南宁·期中)在等差数列中,若,则的值为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
5.(24-25高二上·天津武清·阶段练习)已知数列为等比数列,其中 为方程 的两根,则( )
A. B. C. D.
6.(24-25高二上·河北衡水·期末)已知等差数列的前项之和为,,则公差为( )
A. B. C. D.
7.(2025高三·全国·专题练习)已知数列的前项和为,且满足,,则( )
A.351 B.331 C. D.
8.(2022·重庆·三模)已知数列的前n项和为,,则( )
A. B.0 C. D.
二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(24-25高三上·江苏无锡·阶段练习)已知数列的前项和为,,,则( )
A. B. C. D.
10.(24-25高三上·黑龙江鸡西·期中)已知为等差数列,,记分别为数列的前项和( )
A.是等差数列
B.
C.
D.若是单调递增数列,则最小值为
11.(23-24高一下·安徽·阶段练习)在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,,则下列说法正确的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上)
12.(2024·上海静安·一模)设是等差数列,,则该数列的前8项的和的值为 .
13.(23-24高二上·天津·期末)若数列的首项,且满足,则数列的通项公式为 .
14.(24-25高三上·辽宁大连·阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,则 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (13分) (24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习)已知数列的前项和为
(1)当取最小值时,求的值;
(2)求出的通项公式.
16. (15分) (22-23高二下·吉林长春·期中)已知等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
17. (15分) (24-25高二上·全国·课后作业)已知数列,,证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式.
18. (17分) (24-25高二上·河南·阶段练习)已知是数列的前项和,若是等差数列,.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
19. (17分) (2024高三·全国·专题练习)设数列满足.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式.检测7数列基础卷
一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(24-25高二上·河南·期中)已知数列的通项公式为,且和是中的两项,则( )
A. B. C. D.
2.(22-23高二下·河南南阳·阶段练习)已知数列的项满足,而,则( )
A. B. C. D.
3.(24-25高二上·天津北辰·阶段练习)已知数列的前n项和,则等于( )
A.12 B.15 C.18 D.21
4.(24-25高二上·广西南宁·期中)在等差数列中,若,则的值为( )
A.10 B.20 C.30 D.40
5.(24-25高二上·天津武清·阶段练习)已知数列为等比数列,其中 为方程 的两根,则( )
A. B. C. D.
6.(24-25高二上·河北衡水·期末)已知等差数列的前项之和为,,则公差为( )
A. B. C. D.
7.(2025高三·全国·专题练习)已知数列的前项和为,且满足,,则( )
A.351 B.331 C. D.
8.(2022·重庆·三模)已知数列的前n项和为,,则( )
A. B.0 C. D.
二、多选题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(24-25高三上·江苏无锡·阶段练习)已知数列的前项和为,,,则( )
A. B. C. D.
10.(24-25高三上·黑龙江鸡西·期中)已知为等差数列,,记分别为数列的前项和( )
A.是等差数列
B.
C.
D.若是单调递增数列,则最小值为
11.(23-24高一下·安徽·阶段练习)在公比为整数的等比数列中,是数列的前项和,若,,则下列说法正确的是( )
A. B.数列是等比数列
C. D.数列是公差为2的等差数列
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分,把答案填在题中的横线上)
12.(2024·上海静安·一模)设是等差数列,,则该数列的前8项的和的值为 .
13.(23-24高二上·天津·期末)若数列的首项,且满足,则数列的通项公式为 .
14.(24-25高三上·辽宁大连·阶段练习)已知数列的前项和为,且满足,则 .
四、解答题(本大题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15. (13分) (24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习)已知数列的前项和为
(1)当取最小值时,求的值;
(2)求出的通项公式.
16. (15分) (22-23高二下·吉林长春·期中)已知等差数列中,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
17. (15分) (24-25高二上·全国·课后作业)已知数列,,证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式.
18. (17分) (24-25高二上·河南·阶段练习)已知是数列的前项和,若是等差数列,.
(1)求;
(2)求数列的通项公式.
19. (17分) (2024高三·全国·专题练习)设数列满足.
(1)证明:数列为等比数列;
(2)求数列的通项公式.
参考答案:
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A D B A C C AC ABC
题号 11
答案 ABC
1.B
【分析】根据数列的通项公式,可得到两个方程,解方程可得解.
【详解】设,(,,为正整数),
则,,
即有,
可得,解得,
可得.
故选:B.
2.B
【分析】依题意可得,利用累乘法计算可得.
【详解】因为,所以,
则,,,,,,
累乘可得,
所以,又,所以,
经检验时也成立,
所以.
故选:B
3.A
【分析】根据通项与前n项和的关系,分与两种情况求解通项,代入即可求解.
【详解】当时,;当时,,且当时也满足.
故,所以.
故选:A
4.D
【分析】由等差数列下标和的性质求得,进而可得目标式的值.
【详解】由已知,,则,
所以.
故选:D
5.B
【分析】根据韦达定理可得,利用等比数列的中项性质即可求解.
【详解】由题得,根据韦达定理可得,,则,
由等比数列的中项性质可得:.
因为等比数列的偶数项符号相同,都是负数,
所以.
故选:B.
6.A
【分析】根据条件,利用等差数列前项和公式及等差数列的性质,即可求解.
【详解】在等差数列中,,所以,
又,所以公差.
故选:A.
7.C
【分析】利用构造法可求数列的通项,利用并项求和可求.
【详解】由得.
因为,所以,所以是以1为首项,为公比的等比数列,
所以,所以,,
故选:C.
8.C
【分析】根据题意,求得,再结合数列的周期性,即可求得结果.
【详解】当n为奇数时有,函数的周期为,
故有,
故,,,,
则,故有.
故选:C.
9.AC
【分析】根据递推公式列出数列的前几项,即可得到数列是以为周期3的周期数列,根据周期性计算可得.
【详解】由,,可得
,故A正确;B错误;
对于C,由上可知,数列是以3为周期的周期数列,
则,故C正确;
对于D,,故D错误.
故选:AC.
10.ABC
【分析】A选项由等差数列的定义即可做出判断;B选项由数列定义得出等式,由等差中项化简求得;C选项由B选项中的结论结合等差中项和求得,由定义得出代数式,再化简得到结论;D选项列出一个满足条件得数列,得到最小值不是即可否定.
【详解】设数列的公差为.
A选项:由题意可知,当时,,则,则,∴是等差数列,A选正确;
B选项:,即,在等差数列中,∴,∴,B选项正确;
C选项:由B可知当时,,又∵,
∴,∴,C选项正确;
D选项:当时,是单调递增的等差数列,∵,∴最小值为,D选错误.
故选:ABC.
11.ABC
【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式,求出与,逐项判断即可.
【详解】由,又公比为整数.
解得.
对于A,,故A正确,
对于B,.所以,,
所以数列是公比为2的等比数列,故B正确,
对于C,,故C正确,
对于D,,,
所以数列是公差为的等差数列,故D错误.
故选:ABC
12.36
【分析】根据给定条件,求出数列的公差,进而求出其前8项的和.
【详解】在等差数列中,,则公差,
所以.
故答案为:36
13.
【分析】变形得到,故为公比为2的等比数列,从而得到通项公式.
【详解】,
又,故为公比为2的等比数列,
故,所以.
故答案为:
14.
【分析】利用来求得正确答案.
【详解】根据题意,数列满足,
当时,有;
当时,有,不符合,
故
故答案为:
15.(1)或
(2)
【分析】(1)直接对进行配方,由及二次函数性质可求出其最小值,
(2)由,求解的通项公式.
【详解】(1)因为,
所以,又,
所以或时,取最小值时,最小值为;
(2)因为,
所以,当时,,
所以,
当时,,
所以.
16.(1)
(2)
【分析】(1)求出等差数列的公差,利用等差数列的通项公式可求得的通项公式;
(2)求得,利用裂项相消法可求得.
【详解】(1)由题意可知,等差数列的公差为,
所以,.
(2)因为,
因此,.
17.证明见解析,
【分析】根据等比数列的定义证明是等比数列,再结合等比数列的通项公式求数列的通项公式.
【详解】因为
所以.
由,知,
从而.
所以.
所以是以为首项,2为公比的等比数列.
所以,即.
18.(1)
(2)
【分析】(1)根据等差数列的概念,设出公差,利用题目中的等式,求得公差,可得答案;
(2)利用前项和与通项之间的关系,可得答案.
【详解】(1)设,由数列是等差数列,即数列为等差数列,则设公差为,
由,则,
由,即,,即,
则,,
由,可得,解得,
所以等差数列的首项为,公差为,可得,即,.
(2)当时,,符合题意;
当时,,
将代入上式,可得也适合,
所以.
19.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)利用构造法,结合等比数列的定义即可得证;
(2)结合(1)中结论求得,再利用累加法与等差等比数列的求和公式即可得解.
【详解】(1)由,,得,
由,
得,
所以,
故数列是以为首项,3为公比的等比数列.
(2)由(1)得,则,
则;;,
.
由累加法可得,
又,则,同时满足上式,
所以.