检测8数列能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
3．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列中，，.则（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列满足等于的个位数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
8．（2024高三·全国·专题练习）数列（ ）
A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·河南·阶段练习）下列数列中，为递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．是等差数列
C． D．
11．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 .
13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则 .
14．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式.
16. (15分) （2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
17. (15分) （22-23高三上·山东青岛·开学考试）记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高二上·河北保定·阶段练习）记等差数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)若数列满足，且，求的通项公式．
19. (17分) （22-23高二上·天津和平·期末）若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D C B A AD BD
题号 11
答案 AD
1．C
【分析】由已知得，进而确定数列的通项公式，即可求.
【详解】由，知：且()，
而，，
∴是首项、公比都为3的等比数列，即，
故选：C
2．B
【分析】由等差数列的性质求解即可.
【详解】因为是等差数列，所以也成等差数列，
则，
所以．
故选：B.
3．A
【分析】先根据题意，列出数列的递推关系，用累加法求出数列的通项公式，再用裂项相消法求出数列的前项和，即可求出数列的前20项和.
【详解】由题意及图得，，
，当时，，
，
以上各式累加得：，
又，所以，
经检验符合上式，
所以，
所以，
设数列的前项和为，
则，
所以，
故选：A.
4．C
【分析】由累乘法可求得，代入求值即可.
【详解】，即，
所以，,
显然满足上式，所以，
则.
故选：C.
5．D
【分析】根据递推关系可求数列的前项，找到数列的性质后可求.
【详解】因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
因为，故；因为，故；
故前10项为：，
故数列从第3项开始项的大小周期性出现，且周期为6，
故，
故选：D.
6．C
【分析】令，可推出数列为等比数列，由，根据等比数列前项和公式，即可得到答案.
【详解】令，则由，得，即，
所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，所以，
所以
，解得.
故选：C
7．B
【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质得到，从而得到，即可得解.
【详解】因为为等差数列，
所以，
，
所以，
所以，所以，
所以.
故选：B
8．A
【分析】结合指数函数及反比例函数单调性和值域即可判断．
【详解】，
根据指数函数及反比例函数的单调性可知，
在时为减数列且为负，在时也为减数列且为正，
故数列最小项为第10项，最大项为第11项．∴A正确.
故选：A.
9．AD
【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A.，所以，
所以为递增数列，故A正确；
对于B，，所以为递减数列，故B错误；
对于C，因为，则，，所以不单调，故C错误；
对于D，，所以，所以为递增数列，故D正确.
故选：AD.
10．BD
【分析】通过观察数列各项可得选项A错误；根据数列通项公式计算，结果为关于的一次函数形式可得选项B正确；利用，代入数据可得选项C错误；利用分组求和可得选项D正确.
【详解】A.根据数列各项可得，选项A错误.
B. ∵，
∴是以为首项，为公差的等差数列，选项B正确.
C. ，选项C错误.
D.
，选项D正确.
故选：BD.
11．AD
【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解.
【详解】
，即，
又，
是首项为1，公比为的等比数列，
，故A正确；
又当时，
当时，不符合上式，
，故BC错误；
当时，，故D正确.
故选：AD.
12．
【分析】由与的关系，可得，再累加法求解即可．
【详解】当时，由得，
即，
因为，所以，
所以， ，
则，
又满足上式，故，
故答案为：．
13．
【分析】根据已知条件，通过等比数列的前项和公式求出公比，进而求出，的值就是公比.
【详解】当时，.
当时，对于等比数列（因为）.
当时，.
已知，将，，的值代入可得：
.
因为（等比数列首项不为），等式两边同时除以得.
展开式子得，即，解得或.
因为等比数列公比，所以. 所以.
故答案为：.
14．
【分析】根据给定条件，利用与的关系求出通项公式.
【详解】数列中，，
当时，，
两式相减得，解得，而，即满足上式，
所以的通项公式为.
故答案为：
15．(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由题设递推式写出，；
（2）根据递推式变形得，结合等差数列的定义即可证结论；
（3）由（2）写出的通项公式，即可得通项公式.
【详解】（1）解：由题设，，.
（2）证明：因为，
所以，即，
所以数列是首项，公差的等差数列.
（3）由（2）得：，
所以.
16．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设条件化简，结合等比数列的定义即可证明；
（2）由（1）求得数列的通项公式，再求即得；
（3）将（2）中得到的的通项代入求得，化简后利用数列的单调性即可得证.
【详解】（1）由得，
则，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得,
解得：.
（3）
令，，
因为在上单调递增，则
所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且，
故得.
17．(1)
(2),．
【分析】（1）由，得，结合，可以求出的通项公式，再根据，计算数列的通项公式即可；
（2）结合（1）知，，通过，得到，将分正偶数和正奇数两种情况分析讨论即可．
【详解】（1）由，得，
因，故，
于是，
，
所以，
当时，，
因，
故，，
所以，；
（2），
所以，
所以，
由，可得，
由于，若为偶数时，则，
由于单调递减，故，（当时取等号），
所以，
若为奇数时，则，
因为单调递增，，（当时取等号），
所以，
所以．
故的取值范围为,．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设等差数列的公差为d，将条件转化为的方程，解方程求，结合求和公式求，再根据等差数列定义证明结论；
（2）由（1）利用累加法求的通项公式.
【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d，
又，，
解得，，
所以，，
所以．
因为，
所以，
所以数列是等差数列．
（2），又，
所以，又
当时，，
则
．
又也满足上式，所以的通项公式为．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）由条件根据关系可得，证明数列是等比数列，由此可求，由条件求数列的公差，再求数列的通项公式；
（2）利用错位相减法求数列的前项和.
【详解】（1）因为①，
所以②，，
①②得，又
所以，故数列是以为公比，首项为的等比数列，
，
，
等差数列的公差为.
（2）由（1）可得，
，
两式相减得，检测8数列能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（22-23高二上·天津·期末）已知数列中，（且，则数列通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·重庆·期末）已知是等差数列，且，则的值是（ ）
A．24 B．27 C．30 D．33
3．（23-24高二上·山东济宁·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法 商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·天津·阶段练习）在数列中，，.则（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知数列满足等于的个位数，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2024高三·全国·专题练习）数列中，，.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（24-25高三上·河北保定·期末）已知正项等差数列满足，则（ ）
A．2 B．1012 C．2024 D．4048
8．（2024高三·全国·专题练习）数列（ ）
A．既有最大项，又有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．既无最大项，又无最小项
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·河南·阶段练习）下列数列中，为递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知数列，记的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A． B．是等差数列
C． D．
11．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（ ）
A． B．为等比数列
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·河南·期中）记数列的前项和为，已知且，则 .
13．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则 .
14．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）已知数列满足，则的通项公式为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知数列满足，且.
(1)求，；
(2)证明：数列是等差数列；
(3)求数列的通项公式.
16. (15分) （2025·宁夏内蒙古·模拟预测）已知数列中，
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，证明:．
17. (15分) （22-23高三上·山东青岛·开学考试）记关于的不等式（）的整数解的个数为，数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式：
(2)设，若对任意的，都有成立，试求实数的取值范围．
18. (17分) （24-25高二上·河北保定·阶段练习）记等差数列的前n项和为，，．
(1)证明：数列是等差数列．
(2)若数列满足，且，求的通项公式．
19. (17分) （22-23高二上·天津和平·期末）若数列的前项和为，且，等差数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
