检测6圆锥曲线的方程能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线，焦点到顶点的距离为，则该拋物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·四川·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024-2025广东高三上学期12月联考数学试卷）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．（0，1）
7．（2024高三·全国·专题练习）过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图、是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率，是椭圆C的两个焦点．为椭圆C上的动点．则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的标准方程可以为 B．若，则
C．存在四个点，使得 D．的最小值为
10．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点在动点的轨迹上
B．周长的最小值为
C．当最小时，点的横坐标为4
D．面积的最大值为
11．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．直线与直线之间的距离是
D．方程表示双曲线，则的取值范围是或
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
13．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
16. (15分) （24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程.
17. (15分) （24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值.
18. (17分) （24-25高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P．
(1)若直线的斜率为1，求直线的方程．
(2)求点P的轨迹方程．
(3)求四边形面积的取值范围．
19. (17分) （24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2．
(1)求的方程；
(2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率．检测6圆锥曲线的方程能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·山东济宁·阶段练习）已知抛物线，焦点到顶点的距离为，则该拋物线的准线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知分别为双曲线的左 右焦点，为上的一点，且，则的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·四川·期末）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆C：的面积为，焦距为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024-2025广东高三上学期12月联考数学试卷）抛物线的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）关于 的方程 ，给出以下说法错误的为（ ）
A．方程可以表示双曲线 B．方程可以表示椭圆
C．方程可以表示圆 D．当方程表示双曲线时， 焦距为定值
6．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，若为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．（0，1）
7．（2024高三·全国·专题练习）过抛物线的顶点O作两条互相垂直的弦OA，OB，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图、是椭圆与双曲线的公共焦点，分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）伟大的古希腊哲学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍．这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率，是椭圆C的两个焦点．为椭圆C上的动点．则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的标准方程可以为 B．若，则
C．存在四个点，使得 D．的最小值为
10．（2024高三·全国·专题练习）已知点，，抛物线的焦点为是上的动点，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点在动点的轨迹上
B．周长的最小值为
C．当最小时，点的横坐标为4
D．面积的最大值为
11．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）以下四个命题为真命题的是（ ）
A．过点且在轴上的截距是在轴上截距的4倍的直线的方程为
B．直线的倾斜角的范围是
C．直线与直线之间的距离是
D．方程表示双曲线，则的取值范围是或
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
13．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
14．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，点，为双曲线上的两点，为坐标原点，且四边形为菱形，则双曲线的离心率为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·全国·课后作业）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，点，点.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求的最大值．
16. (15分) （24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点，，动点使直线，的斜率之积为，其轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)已知点，点在曲线上，直线与轴交于点，满足，求直线的方程.
17. (15分) （24-25高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，抛物线：的焦点与重合，若点为椭圆和抛物线在第一象限的一个公共点，且的面积为，其中为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的上顶点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点、，求证：直线DE过定点，并求出定点坐标；
(3)在（2）的条件下，求的最大值.
18. (17分) （24-25高二上·湖南长沙·期中）椭圆的左、右焦点分别为，过作直线交E于两点．过作垂直于直线的直线交E于两点．直线与相交于点P．
(1)若直线的斜率为1，求直线的方程．
(2)求点P的轨迹方程．
(3)求四边形面积的取值范围．
19. (17分) （24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2．
(1)求的方程；
(2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C B C D C D ACD BCD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据的几何意义即可求解.
【详解】因为抛物线焦点到顶点的距离为，所以，解得，
所以拋物线的准线方程为，即拋物线的准线方程为.
故选：D
2．C
【分析】根据已知条件结合勾股定理和双曲线定义求解出的值，由此可知渐近线方程.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以渐近线方程为，
故选：C.
3．C
【分析】由题意列出关于的方程组，求得，再计算离心率．
【详解】，，
依题意，解得，，
则.
故选：C.
4．B
【分析】先化为标准方程，再求准线方程.
【详解】解：抛物线的标准方程为，
所以抛物线的准线方程为．
故选：B
5．C
【分析】根据的值，结合圆与圆锥曲线的方程特征即可判断各选项.
【详解】对于A，若方程表示双曲线，则，即，所以方程可以表示双曲线，故A正确；
对于B，若方程表示椭圆，则，即，所以方程可以表示椭圆，故B正确；
对于C，若方程表示圆，则，方程无解，所以方程不可以表示圆，故C错误；
对于D，由A可知当方程表示双曲线时，，所以焦距为，故D正确.
故选：C.
6．D
【分析】根据对称可得，．设点．由两点间的距离公式转化求解的表达式，然后根据椭圆范围求解取值范围．
【详解】如图所示，点在轴右边，
因为为的垂直平分线，所以，．
由中位线定理可得．
设点．由两点间的距离公式，
得
，
同理可得，
所以，故，
因为，，所以，故，
所以．
因为，所以，故的取值范围为．
故选：D．
7．C
【分析】令的斜率为且，则的斜率为，联立抛物线求坐标，进而得中点坐标，根据中点横纵坐标关系确定轨迹方程.
【详解】令的斜率为且，则的斜率为，
联立，可得，则，同理，
所以，又，
易知其横纵坐标关系有，即为M的轨迹方程.
故选：C
8．D
【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理，求出双曲线方程中的，即可求出离心率．
【详解】解：，设双曲线的方程为．
，，
，．
在中，，
，
即，
，．
故选：D．
9．ACD
【分析】根据离心率以及面积即可求解，进而可判断A,根据余弦定理，结合椭圆定义，即可由面积公式求解B，根据余弦定理求解最大的角，即可判断C,根据基本不等式即可求解D.
【详解】设长半轴和短半轴以及半焦距分别为，
由题意可知：，解得，
故椭圆方程为或，故A正确，
根据椭圆定义可知，根据余弦定理可得，故，所以，故B错误，
当位于短轴顶点时，此时，
故为钝角，因此椭圆上存在四个点，使得，即，C正确，
由于，
故，
当且仅当，即等号成立，故D正确，
故选：ACD
10．BCD
【分析】设点，根据得到动点的轨迹为圆.选项A根据点与圆的位置关系即可判断；选项B结合抛物线的定义和三点共线距离和最短可求；选项C根据直线与圆相切得和即可求解；选项D首先将面积最大转化为点到直线距离最远，再求圆上的点到直线的最大距离即可.
【详解】由题可知，设点，则，.
，，化简得，即，
则动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆.
对于A，因为，所以点不在动点的轨迹上，故A错误；
对于B，抛物线的准线方程为，如图，过点作准线的垂线，垂足为，
则，当且仅当三点共线时，取得最小值，即.
又，所以周长的最小值为，故B正确；
对于C，如图，当与圆相切且点在轴上方时，最小.
连接，所以.
，，，
所以点的横坐标为，故C正确；
对于D，因为，为定值，所以若的面积取得最大值，则只需要动点到直线的距离最远即可.
直线，即，所以点到直线的距离为，
所以到直线的最大距离为，
所以面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
11．BD
【分析】对于A，运用截距式和斜截式分情况讨论判断；对于B，由 ，得到倾斜角的范围判断；对于C，运用平行线间的距离公式计算判断；对于D，根据双曲线的方程特点求解即可判断.
【详解】对于A，当直线过原点时，方程为，
当直线不过原点时，设方程为，
则，解得，所以直线方程为，
综上，所求直线方程为或，故A错误；
对于B，直线的斜率，
所以倾斜角的范围是，故B正确；
对于C，直线，即为，
故直线与直线之间的距离为，故C错误；
对于D，由方程表示双曲线，则，
解得或，故D正确.
故选：BD.
12．/
【分析】由题可得，，然后由点差法结合是的重心可得答案.
【详解】点A的横坐标为，点A在椭圆上，∴可知，
由对称性可取，.
直线的倾斜角为，.
设，，BC中点为N，
作差得，
可得，
即，因是的重心，则N，O，A三点共线，
则，，解得．
椭圆的离心率为．
故答案为：
13．
【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案.
【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线，
点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当，即时取等号.则的最大值为.
故答案为：.
14．/
【分析】利用双曲线的对称性，连结，根据图形分析可得是直角三角形，且，在结合双曲线的定义，即可得到双曲线的离心率.
【详解】如图，
设双曲线的左焦点为，连结，
因为四边形是菱形，所以，所以，
并且根据对称性可知是等边三角形，所以，，
所以根据双曲线定义可知，即，
解得，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：一般求双曲线离心率的方法是：
1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；
2.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.
15．(1)
(2)5
【分析】（1）设，根据斜率之积列方程，化简即可得到结果.
（2）确定椭圆的左右焦点，根据椭圆的定义转化即可得到最大值.
【详解】（1）设，则，，
由得，整理得.
故点P的轨迹方程为.
（2）由（1）知点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，
故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为.
∵，∴点Q在椭圆内，
由椭圆的定义得，
当三点共线（在线段上）时取等号，所以的最大值为5.
16．(1)
(2)
【分析】(1)利用直线，斜率的关系即可列出等式，求出动点的轨迹方程；
(2)点为曲线的右焦点，设出直线的方程，求出点的坐标，再利用向量关系即可求解.
【详解】（1）设，则，整理得：.
（2）由题意可知直线斜率存在，设，，
令得，
由，得，，
即，
代入：，得，，，
直线：.
17．(1)；
(2)证明见解析，定点；
(3).
【分析】（1）求出抛物线的焦点，借助三角形面积求出点的坐标，再利用椭圆定义求出即可.
（2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及垂直关系的坐标表示计算推理即得.
（3）由（2）的信息，利用弦长公式求出长及最大值，再借助勾股定理及基本不等式求出最大值.
【详解】（1）设，由，得焦点，则，
由的面积为，得，解得，
而点在抛物线上，则，即，
于是，
所以，，
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）知，椭圆：的上顶点，显然直线的斜率存在，
设直线的方程为，，
由消去整理得，
，由，得，
而，则，
即，整理得，
则，
化简得，而，解得，
所以直线：恒过定点.
（3）由（2）知，，
则
，
令，则，
当且仅当，即时取等号，而，
则，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据两直线垂直的斜率关系，以及过的定点，即可求解直线方程；
（2）根据，转化为坐标运算，即可求点的轨迹方程；
（3）首先分直线的斜率为0或不存在，以及直线的斜率存在且不为0两种情况，利用对角线互斥垂直，利用对角线的长度表示四边形的面积，利用函数关系求取值范围.
【详解】（1）由条件可知，，，则，
所以，,
因为直线的斜率为1，所以直线的斜率为，且直线过点，
所以直线的方程为，即；
（2）设，依题意，，且，
，，
所以，即，
故点的轨迹方程为；
（3）依题意，，
过作平行于的直线交于两点，由对称性可知，，
①当的斜率为0或斜率不存在时，和是或，；
②当的斜率存在且不为0时，设，，，
联立方程，得，
，，，
故，
同理，
故，
令，，则，
其中，故，
综上，
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是将转化为，利用和都过点的特征，且斜率的关系，根据，直接表示.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知：，代入抛物线方程运算求解即可；
（2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理可得，结合面积关系运算求解即可.
【详解】（1）由题意可知，准线的方程为，
由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，，
因为点在上，所以，
整理得，，解得，
故的方程为．
（2）由（1）可知，，则，
由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，，
由，消去x整理得，
则，可得，，
所以，
又因为的面积为3，则，
即，解得，
故直线的斜率为．
