检测1空间向量与立体几何基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·山东·阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则z等于（ ）
A． B．9 C． D．5
8．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，则在上的投影向量为
B．若空间向量满足，则与夹角为锐角
C．若对空间中任意一点，有，则四点共面
D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
11．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量共面
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 .
13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面；
16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．
(1)求证：：
(2)求证：面；
17. (15分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18. (17分) （24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .
(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成夹角的正弦值.
19. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A A B D D B C ACD ACD
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据图形应用空间向量的加减法及数乘运算即可求解.
【详解】依题意，.
故选：D.
2．A
【分析】根据空间向量的线性运算来求得正确答案.
【详解】连接，，
则
.
故选：A
3．A
【分析】利用投影向量定义并根据向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】易知向量在向量上的投影向量为.
故选：A
4．B
【分析】根据点法式方程的定义即可求解.
【详解】根据题意可得，
化简得，
故选：B
5．D
【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，
，
.
，.
，
异面直线与所成角的余弦值.
故选：D.
6．D
【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值．
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，.
设平面的法向量为，
则，即
令，可得.
设，则.
因为直线与平面没有公共点，所以平面，则，
所以，即.
当时，取得最小值，最小值为
故选：D
7．B
【分析】根据共面列方程，根据空间向量坐标的线性运算求解出的值.
【详解】向量，，，
由于共面，所以存在，使得，
即，
所以，解得：，所以.
故选：B.
8．C
【分析】解法一：作辅助线构造三角形，根据余弦定理以及勾股定理可求得结果；解法二：根据向量的线性运算以及数量积的运算可求得结果.
【详解】解法一：作于点C，且，连接，，
，
；
解法二：由，，
得，，．
因为，
所以，
则，
解得，．
故选：C.
9．ACD
【分析】对于A，根据投影向量的定义列式运算得解；对于B，当，同向共线时也成立可判断；对于C，由空间向量共面的推论判断；对于D，由可判断.
【详解】对于A，在上的投影向量为，故A正确；
对于B，当，同向共线时也成立，但与夹角不为锐角，故B错误；
对于C，在中，故四点共面，故C正确；
对于D，由，即，故，故D正确.
故选：ACD.
10．ACD
【分析】由正方体中平面平面可得到平面的距离为定值即可判断A；由点运动到点时不垂直于可判断B；建系，设动点到直线的距离为，求出关于的表达式，可得的最小值即可判断C；利用到平面的距离确定平面内的位置，可得点的轨迹圆弧的半径可判断D．
【详解】对于选项A，易知在正方体中，平面平面，故动点在运动的过程中，到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积是定值，故A正确；
对于选项B，当运动到点时，易知不垂直于，所以不垂直于平面，故B错误；
对于选项C，以点为坐标原点建立如图1所示的空间直角坐标系，设，设（题眼），，，，，，则，故，设动点到直线的距离为，过作平面，过作于，连接，则，则（关键：主元法求最值），当，时，取最小值，且最小值为2，则动点到直线的距离最小值为，故C正确；
对于选项D，设到平面的距离为，由等体积法得，则，解得．如图2，取的中点，连接，作平面，垂足为，易知点在的延长线上．由选项C，可设平面内点，，又，，则解得所以，取的中点，连接，，延长，，交于点，作于点，作交于点，如图2，则，即，则，又，即，则，则，即，则，所以（提示：利用等比例确定平面内的位置）．由已知，点的轨迹为以为圆心的圆弧，不妨设该圆弧的半径为，则，则，则以为圆心的圆弧所对圆心角，故轨迹长为，故D正确．
故选：ACD．
11．BD
【分析】利用空间向量夹角公式计算判断A；利用向量垂直的充要条件计算判断B；利用投影向量计算公式判断C；利用共面向量基本定理判断D.
【详解】对于A，，则，
而，因此，A错误；
对于B，，则，，B正确；
对于C，向量在向量上的投影向量为：，C错误；
对于D，由向量，得，向量与向量共面，D正确.
故选：BD
12．5
【分析】利用向量共面的性质求解即可.
【详解】由题可知，，
故答案为：5
13．
【分析】利用空间向量数量积的坐标表示，结合投影向量公式进行求解即可.
【详解】由题意得，,
∴向量在向量上的投影向量为
．
故答案为：.
14．
【分析】应用向量法求线面角的大小即可.
【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量，
令直线OP与平面OMQ所成角为，
则，所以.
故答案为：
15．证明见解析
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；
【详解】在直三棱柱中，平面，且，则
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，
则，
平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
16．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过建系，写出相关点和向量的坐标，利用向量垂直的坐标公式计算即得证；
（2）先求出平面的法向量，由和面即可推得面.
【详解】（1）
如图建立空间直角坐标系，
则
则-
由
可得，得证.
（2）设面的法向量为，因
则，令，可得
因，故得，
又面，所以，面.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件，得到面，利用线面垂直的性质得到，再利用几何关系得到，再由线面垂直的判断定理，即可证明结果；
（2）建立空间直角坐标系，再利用线面角的向量求法，即可求解.
【详解】（1）由题知面，又面，所以，
又，，面，所以面，
又面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，面，所以平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，，
得到，，，
直线与平面所成角为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意建系，写出相关点的坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得；
（2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】（1）
因平面，且,故可以点为坐标原点，
所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系(如图所示).
则.
于是，,
设平面的法向量为，
则，令，可得；
又，显然，，故得平面；
（2）由（1）建系，则，
设平面的法向量为，
则，令，可得.
设平面与平面所成夹角为，
因，
则.
即平面与平面所成夹角的正弦值为
19．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【分析】（1）取为中点，由条件证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再证明结论；
（2）由面面垂直性质定理证明平面，建立空间直角坐标系，求平面与平面的法向量，结合向量夹角公式求结论；
（3）假设存在点满足条件，且，，求平面平面的法向量，结合假设列方程求可得结论.
【详解】（1）取为中点，连接，，又为的中点.
∴，又，
故，
又为等腰直角三角形，，
∴，
又，平面，
则平面，又平面，
∴.
（2）因为平面平面，平面平面，
由（1），又平面，
所以平面，
以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，
，
则， ， ，
若为平面的一个法向量，
则，
令，则，
故为平面的一个法向量，
又为平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为.
（3）假设存在使得平面平面，且，，
由（2）知： ，，
则， ，
若是平面的一个法向量，
则，
，
令， 则，，
所以为平面的一个法向量，，
所以 ，
所以
存在使得平面平面，此时.检测1空间向量与立体几何基础卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·四川·期末）已知四面体如图所示，点E为线段的中点，点F为的重心，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·广东·阶段练习）如图，在四面体中，点，分别是，的中点，点是线段上靠近点的一个三等分点，令，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·天津·期中）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·山东·阶段练习）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高二上·四川成都·期末）如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知向量，，，若，，共面，则z等于（ ）
A． B．9 C． D．5
8．（24-25高二上·山东·阶段练习）如图，二面角的大小为，点A，B分别在半平面，内，于点C，于点D．若，，．则（ ）
A． B．6 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·江西上饶·阶段练习）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）
A．若空间向量，则在上的投影向量为
B．若空间向量满足，则与夹角为锐角
C．若对空间中任意一点，有，则四点共面
D．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
10．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知棱长为2的正方体，动点是内部一点（含边界），则下列选项正确的是（ ）
A．动点在运动的过程中，三棱锥的体积是定值
B．对于任意，平面
C．动点到直线的距离最小值为
D．满足的的轨迹长度为
11．（2024高二·全国·专题练习）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．向量与向量的夹角为
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量与向量共面
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知，且共面，则 .
13．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
14．（24-25高一上·上海嘉定·期中）若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ．
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) 15．（2024高三·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面；
16. (15分) （24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在正方体中，棱长为2，E，F，G分别是的中点．
(1)求证：：
(2)求证：面；
17. (15分) （24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，在直三棱柱中，．
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
18. (17分) （24-25高二上·天津·阶段练习）如图， 在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，E为棱上的点，且 .
(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成夹角的正弦值.
19. (17分) （24-25高二上·广东广州·阶段练习）在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.检测10综合检测能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·天津河北·期中）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等比数列中，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·天津·期中）一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为“最美的数列”.教科书阅读与思考有介绍，同学们可以探究其中的奥秘.斐波那契数列满足：.若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．.
B．.
C．.
D．
10．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．圆关于直线对称
C．若直线被圆截得的弦长为，则
D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11．（2024高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为
①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
13．（24-25高二上·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 .
14．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列是等比数列，是常数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16. (15分) （24-25高二上·四川成都·期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
17. (15分) （24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.
18. (17分) （24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19. (17分) （24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程.
(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.
