检测9综合检测基础
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设，两直线与垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·重庆·期末）若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左 右焦点，且.若的面积为18，则（ ）
A．2 B． C． D．3
8．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知数列满足,则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在一个等边三角形中，连接各边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ）
A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上
C．过原点 D．半径为
11．（2024-2025江西高二上学期12月联考数学试卷）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 .
13．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 .
14．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·天津·阶段练习）在公差不为零的等差数列中，，且为和的等比中项，求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和．
16. (15分) （24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
17. (15分) （24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△的面积．
18. (17分) （2024-2025浙江高二上学期12月阶段性联考数学试题）如图，三角形和菱形所在平面垂直，且，．线段的中点为．
(1)当时，证明：直线平面；
(2)当时，求平面和平面夹角的正弦值．
19. (17分) （24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A C C C C BC AC
题号 11
答案 BC
1．D
【分析】通过观察前几项的规律即可求解.
【详解】由，，，，
可得的一个通项公式为．
故选：D．
2．A
【分析】依题意可得，再代入，利用基本不等式计算可得.
【详解】因为直线与垂直，
所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故选：A
3．B
【分析】根据空间基底、空间向量共面等知识确定正确答案.
【详解】对于A，根据题意，故A错误.
对于B，设，则不存在，故B正确.
对于C，，故C错误；
对于D，由，
则，所以，
所以，故D错误；
故选：B.
4．A
【分析】由已知可得，由椭圆的定义可得，利用两点间的距离公式可求得，可求得椭圆的离心率.
【详解】由题意，设，，，
则，，
，
则，则，
所以椭圆的离心率为.
故选：A.
5．C
【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.
【详解】由直线，则该直线的斜率，
由题意可得，解得.
故选：C.
6．C
【分析】根据向量共面设出对应向量关系式，解方程组可求出结果.
【详解】因为共面，所以设，所以，解得，
故选：C.
7．C
【分析】利用勾股定理与双曲线的定义可求出，结合三角形的面积公式可求出的值.
【详解】由得，
由勾股定理得，
由双曲线的定义得，
，
所以，
则的面积为，
，解得.
故选：C.
【点睛】本题考查焦点三角形面积的计算，涉及双曲线的定义和勾股定理的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．C
【分析】通过已知条件构造数列，得到数列数列为等差数列，求出数列通项公式，进而求出数列的通项公式即可求解.
【详解】因为，，则有，
故数列是以1为首项，公差的等差数列，故，
所以，则.
故选：C.
9．BC
【分析】根据题设条件可得两个数列的递推关系可得，结合等比数列的通项公式和前项求和公式计算即可求解.
【详解】由题设每次操作，前一个图形中的每一个黑色三角形均可以得到下一个图形中的3个小黑色三角形，
故，而，
故为等比数列，故；
所以
故选：BC.
10．AC
【分析】将圆的方程化为标准方程，求出其圆心与半径，逐项判断即可.
【详解】若方程表示的圆，则其标准方程为，
所以，，可得，圆心为，半径为，
对于A选项，圆心在直线上，A对；
对于B选项，因为，所以，圆心不可能在轴上，B错；
对于C选项，因为，则该圆过原点，C对；
对于D选项，该圆的半径为，D错.
故选：AC.
11．BC
【分析】由题意可知为线段的中点，由抛物线的定义且可求得，即可判断C；在中求出即可判断D；求出，可得线的斜率，从而得出直线的方程，即可判断A；取线段中点，过作轴于，可求得，即可判断B．
【详解】抛物线的焦点，准线，，
如图，因为，所以为线段的中点，，
过作准线的垂线，垂足为，与轴交于，则，
由抛物线的定义可知，，得，故C正确；
在中，有，得，故D错误；
，则直线的斜率为，
所以直线的方程为，即或，故A错误；
取线段中点，过作轴于，
则，
所以，即线段中点到轴的距离等于，
则以线段为直径的圆与轴相切，故B正确．
故选：BC．
12．
【分析】将两个圆的方程作差可得公共弦所在的直线，再求出到公共弦所在的直线的距离，再由可得答案.
【详解】将两个圆的方程作差得：，
即公共弦所在的直线为，
又知，则到直线的距离为：
，所以公共弦长为.
故答案为：.
13．9
【分析】求出向量的坐标，再利用平面法向量的意义，结合数量积的坐标表示求出.
【详解】由点，得，
由是平面的一个法向量，且点，得，
因此，所以.
故答案为：9
14．
【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案.
【详解】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由等比数列性质得，然后结合，求得数列的首项、公差，从而求出通项公式；
（2）利用等差数列前n项和公式直接求解即可．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由为和的等比中项，则，
又，
则，解得，或(舍去)，
所以.
（2）根据等差数列前n项和公式得.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由面面垂直证平面，利用线面垂直的性质易得；
（2）依题建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得；
（3）利用（2）中建系，分别求出两个半平面的法向量，再根据空间向量夹角公式计算即得.
【详解】（1）因平面平面，平面平面,
由底面是正方形，可知,且平面,则平面，
又平面，故；
（2）
如图，分别取的中点为，连接.
因，则,
因平面平面，平面平面,
且平面，则平面，
又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则，
于是，,
设平面的法向量为，
则，故可取；
因,设直线与平面所成角为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（3）由（2）建系，则,
设平面的法向量为，
则，故可取，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据焦半径公式结合的横坐标可求解出的值，由此可求抛物线的方程；
（2）先求解出，再计算出到的距离，结合三角形面积公式可求结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以抛物线的方程为.
（2）因为，代入抛物线方程可得，且，所以，
又因为，所以，所以，
联立可得，所以，
所以，
又因为，所以到直线的距离为，
所以.
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证得，其次用面面垂直的性质定理证得，最后用线面垂直的判定定理证得平面.
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，先根据条件确定点的坐标，再利用空间向量求二面角的三角函数值.
【详解】（1）如图：
当时，又，所以
故为等腰直角三角形，
取中点，连.
因为四边形为菱形，，
所以
所以
因为平面平面，且交线为,
所以平面，又平面，所以
又,平面，所以平面.
（2）如图建系
因为平面平面，可设
所以，可取，
所以
又平面的法向量，设平面的法向量
则
所以，化简得，令，所以
故
记平面和平面夹角为，
所以
所以．
19．(1)
(2)证明见解析，．
【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程；
（2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标．
【详解】（1）右顶点是，离心率为，
所以，，
，则，
椭圆的标准方程为．
（2）直线方程与椭圆方程联立，
得，
设，，
，，
，
，，
即，
，则，
即，
整理得，
或，
均满足
直线或，
直线过定点或（与题意矛盾，舍去）
综上知直线过定点．检测9综合检测基础
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·甘肃金昌·阶段练习）若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）设，两直线与垂直，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·河北邢台·期末）已知椭圆的两个焦点为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一下·重庆·期末）若直线：的倾斜角为，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知三个向量共面，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知是双曲线上的点，是其左 右焦点，且.若的面积为18，则（ ）
A．2 B． C． D．3
8．（24-25高二上·广东·阶段练习）已知数列满足,则（ ）
A．2024 B．2025 C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）在一个等边三角形中，连接各边的中点，得到四个小三角形，然后去掉中间的那个小三角形，这样就剩下三个小的三角形，对剩下的小三角形不断重复上述步骤，得到如图所示的一系列三角形图案，我们称这一系列三角形图案是谢尔宾斯基三角形．记经过次操作后，剩余三角形的个数为，数列的前项和为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）关于方程表示的圆，下列叙述中正确的是（ ）
A．圆心在直线上 B．其圆心在轴上
C．过原点 D．半径为
11．（2024-2025江西高二上学期12月联考数学试卷）已知抛物线的焦点为，为轴上一点，且，线段与抛物线相交于点，，则下列结论正确的有（ ）
A．直线的方程为 B．以线段为直径的圆与轴相切
C． D．
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高三上·天津南开·期末）圆与圆的公共弦长为 .
13．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知是平面的一个法向量，点都在平面内，则 .
14．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高二上·天津·阶段练习）在公差不为零的等差数列中，，且为和的等比中项，求：
(1)数列的通项公式；
(2)数列的前项和．
16. (15分) （24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面的夹角的余弦值.
17. (15分) （24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，延长交抛物线于点．抛物线的准线与轴的交点为，．
(1)求抛物线的方程；
(2)求△的面积．
18. (17分) （2024-2025浙江高二上学期12月阶段性联考数学试题）如图，三角形和菱形所在平面垂直，且，．线段的中点为．
(1)当时，证明：直线平面；
(2)当时，求平面和平面夹角的正弦值．
19. (17分) （24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
