检测10综合检测能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·天津河北·期中）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等比数列中，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·天津·期中）一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为“最美的数列”.教科书阅读与思考有介绍，同学们可以探究其中的奥秘.斐波那契数列满足：.若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．.
B．.
C．.
D．
10．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．圆关于直线对称
C．若直线被圆截得的弦长为，则
D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11．（2024高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为
①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
13．（24-25高二上·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 .
14．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列是等比数列，是常数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16. (15分) （24-25高二上·四川成都·期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
17. (15分) （24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.
18. (17分) （24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19. (17分) （24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程.
(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B C C A C B ABD BCD
题号 11
答案 CD
1．D
【分析】利用空间向量的线性运算法则计算可得结果.
【详解】易知
故选：D
2．B
【分析】先由直线平行的充要条件求出满足题设的a值，再由古典概型计算所求概率即可得解.
【详解】若直线与直线平行，
则，
取，则取出的有序数对共有个，
其中满足的有序数对有，，，共4个，
所以所求概率为.
故选：B.
3．B
【分析】根据椭圆的定义与方程，即可求解.
【详解】由题意可知，，，即，，，
所以椭圆的标准方程为 或 .
故选：B
4．C
【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解.
【详解】等比数列中，，则，
故.
故选：C.
5．C
【分析】根据题意，延长，，至点，，，使得，，，得到，结合空间向量的共面定理，得到，，，四点共面，把到平面的距离转化为点到平面的距离的一半，结合正四棱锥的性质，即可求解.
【详解】如图所示，
延长，，至点，，，使得，，，
所以，
又由，所以，，，四点共面，
所以的最小值，即为点到平面的距离，
因为点是的中点，则点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
又因为，所以三棱锥为正三棱锥，
取等边的中心为，连接，，可得平面，
所以即为点到平面的距离，
在等边，因为，可得，
在直角中，可得，
即点到平面的距离为，
所以的最小值为.
故选：C
6．A
【分析】设出动点坐标并根据中点坐标公式代入可得轨迹方程.
【详解】设动点坐标为，中点坐标为；
易知满足，
可得，因此，
代入可得.
故选：A
7．C
【分析】利用三角形面积公式、完全平方公式、关系式及双曲线定义即可求解.
【详解】因为，所以，
即，
由双曲线定义可得，
所以，即，
又，所以，
所以，解得.
故选：.
8．B
【分析】由时得，根据得数列是首项为1，公差为2的等差数列，表示出，得到，令，利用可得最小值.
【详解】∵，∴当时，，
整理得，即，
∵的各项均为正数，∴，
由得，
∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，
∴，，
∴.
令，则，
当时，，当时，，
∴．
故选：B．
9．ABD
【分析】根据数列的递推关系和几何图形的特点即可求解.
【详解】由题意知：前项所占格子组成长为，宽为的矩形，
则其面积为，故A正确；
，以上各式相加得，
，
化简得，即，故B正确；
，故C错误；
易知，
，故D正确.
故选：ABD.
10．BCD
【分析】根据圆的方程可判断A，由圆心在直线上可判断B，根据弦长及圆心距判断C，利用切线的性质求切线长判断D.
【详解】圆可化为，所以，解得，故A错误；
因为圆C的圆心为在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；
因为圆心到直线的距离为，又弦长为，
所以，可得圆C的半径为1，即，得，故C正确；
当时，圆C的半径为，，所以切线长为，故D正确.
故选：BCD
11．CD
【分析】求抛物线的焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义将问题转化为求与点到直线的距离和的范围，再结合平面几何方法求结论.
【详解】抛物线的焦点，准线．
如图，过点作于，过点作于，连接，
由抛物线的定义知，所以，
当且仅当点在上时，等号成立，
又，所以的最小值为，
故选：CD．
12．②③
【分析】应用空间向量研究4个命题，对于①，可研究与平面的法向量是否垂直即可；对于②，研究函数的最值即可；对于③，可研究函数的最值即可；对于④，可求解与平面的法向量垂直条件即可.
【详解】如图，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
则，，，，，，
，，，
设点，因为，
所以，即，
解之可得，所以.
当时，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，
所以.
因为，
所以，所以与平面不平行.故①错误；
因为，
所以
，
所以当时，取得最小值，且最小值为.故②正确；
因为
，
所以当时，取得最小值，且最小值为.故③正确；
当平面时，点平面，
因为，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，，所以.
因为，
点平面，所以，所以.故④错误.
故答案为：②③
13． 48
【分析】根据题意，直线在两坐标轴的截距均不为0，所以假设直线的截距式方程，代入点，再利用基本不等式即可得到，由此可知的面积，并求出此时的直线方程.
【详解】设，，其中，，则直线的方程为.
在直线上，.
又，即，.
所以，
当且仅当时取等号，再结合解得，，，
所以面积的最小值为48，
此时直线的方程为，
即.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，由此可得，代入求值即可.
【详解】因为，所以，
即，又，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，
所以，所以.
故答案为：.
15．(1)；
(2)
【分析】（1）根据给定条件，设，由等比中项列式求出及等比数列公比即可求出通项.
（2）由（1）的结论，利用分组求和法求解即得.
【详解】（1）由是常数列，设，由数列是等比数列，得，
而，则，解得，
因此，等比数列的公比，，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
16．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解，
（3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解.
【详解】（1）连接，
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
（2）设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
（3）设，
，，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
.
取，
设平面与平面所成的角为，
.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设动圆的半径为，根据题意得到，再根据椭圆的概念即可得到答案.
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为，联立，得，根据题意得到，再利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）设动圆的半径为，由题意
又，故的轨迹为椭圆.
故的轨迹方程为
（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为
联立，得
设，则
由，得，
所以，消去得，
解得，所以直线的方程为.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理来证得平面.
（2）利用等体积法来求得到平面的距离.
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得平面与平面夹角的余弦值.
【详解】（1）取的中点，连接，.
因为是的中点，所以且.
又因为是的中点，直三棱柱中且，
所以且.
所以四边形是平行四边形，则.
因为平面，平面，所以平面.
（2）由已知，可得.
根据勾股定理可得.
，，
.
根据余弦定理可得，
所以，则.
.
设到平面的距离为.
因为，根据三棱锥体积公式（为底面积，为高）可得：
，即，解得.
（3）依题意可知，两两相互垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
则，，，.
，，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，，所以.
设平面的法向量为，则，即，
令，可得，，所以.
设平面与平面夹角为，根据向量夹角公式可得：
.
19．(1)
(2)
【分析】（1）借助为线段中点，利用相关点法求轨迹方程；
（2）设直线：，联立抛物线方程，设，，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标.
【详解】（1）设，，是的中点，
，，又，
代入得．故点的轨迹方程是．
（2）由题意点坐标适合，即点A在C上，
由题意可知BD斜率不会为0，设直线：，
联立，消去并整理得，
需满足，即，
设，，则，，
因为，，
所以，
所以，将，代入得，
即，
所以直线：，即，
所以直线BD经过定点.检测10综合检测能力卷
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（24-25高二上·天津河北·期中）空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，，点N为BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·四川绵阳·期末）集合，集合，从中各任意取一个数相加为，则直线与直线平行的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·天津·阶段练习）已知椭圆的焦距为8，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为10，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． 或
C． D． 或
4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在等比数列中，若，，则（ ）
A．1 B． C． D．
5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）正四面体中，，点满足，则长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·天津·期中）一动点在圆上移动时，它与定点连线的中点轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·河南驻马店·期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A． B．2 C． D．4
8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．4
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）意大利数学家列昂纳多 斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为“最美的数列”.教科书阅读与思考有介绍，同学们可以探究其中的奥秘.斐波那契数列满足：.若将数列的每一项按照如图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在正方形所围成的扇形面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．.
B．.
C．.
D．
10．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围为
B．圆关于直线对称
C．若直线被圆截得的弦长为，则
D．若，过点作圆的一条切线，切点为，则
11．（2024高三·全国·专题练习）已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点，则的值可能是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为边的中点，点为线段上的动点，设，则正确结论的序号为
①当时，平面；②当时，取得最小值，其值为；
③的最小值为；④当平面时，
13．（24-25高二上·安徽·期中）过点引直线，分别交，轴的负半轴于、两点，则面积的最小值是 ，此时直线的方程是 .
14．（24-25高三上·河北·期中）已知数列中，且，则 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （24-25高三上·内蒙古赤峰·期中）已知数列是等比数列，是常数列，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和.
16. (15分) （24-25高二上·四川成都·期末）在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
17. (15分) （24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程.
18. (17分) （24-25高三上·天津南开·期末）如图，在直三棱柱中，，且分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.
19. (17分) （24-25高二上·河南安阳·期中）已知动点在曲线上运动，为坐标原点，为线段中点，记的轨迹为曲线.
(1)求的轨迹方程.
(2)已知及曲线上的两点和，直线和直线的斜率分别为和，且，求证：直线过定点.
