云南省蒙自市蒙自第一中学2015-2016学年高二下学期开学考试数学（理）试题

蒙自一中2015--2016学年下学期入学考试卷
高二数学试卷
本试卷分第I卷和第II卷两部分．考试时间：120分钟 满分：150分21世纪教育网
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)
1、已知集合A=，B=则AB=（ ）
A B C D
2、设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3、已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B． p∧ q
C． p∧q D．p∧ q
4、.若某几何体的三视图如下图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A． B．
C． D．
5、执行如右图所示的的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
A．6 B．5 C．4 D．3
6、若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.
A．1 B．2 C． D．3
7、若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
A． B． C． D．
8、已知等差数列{an}的前n项和为S，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)
A. B. C. D.
9、若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为　　　　（　　）
A、 B、 C、 D、
10、已知,满足约束条件 ( http: / / www.21cnjy.com ),若的最小值为,则（ ）
A． B． C． D．
11、已知、取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3 5.6 7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其图象上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．（2，） D．[2，）
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13、如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分别以O,B
为圆心,半径为画圆弧,点P在两圆之外的概率为　　　　　.
14、过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为
15、设函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(　　)
16、已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
三、解答题：(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.（本小题满分10分）
已知P＝{x|a－418.(本小题满分12分）
在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，，
(1)求等差数列{an}的通项公式an和等比数列{bn}的通项公式bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.
19. (本小题满分12分）
某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（Ⅰ）求频率分布图中的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
20. (本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱
ABC A1B1C1的高．
21. （本小题满分12分）
的内角所对的边分别为，向量与平行.(I)求；
(II)若求的面积.
22.（本小题满分12分）
设F1、F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0(1)求|AB|.
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
高二下学期入学数学试题答案
1、已知集合A=，B=则AB=（ ）
A B C D
答案 A
2、设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件.
3、已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，
则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B． p∧ q
C． p∧q D．p∧ q
[答案]　D
[解析]　命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．
4、.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：由三视图可知，原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的，
如图，故选。
5、执行如图所示的的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
11．3　[解析] x＝1满足不等式，执行 ( http: / / www.21cnjy.com )循环后x＝2，n＝1；x＝2满足不等式，执行循环后得x＝3，n＝2；x＝3满足不等式，执行循环后得x＝4，n＝3.x＝4不满足不等式，结束循环，输出n＝3.
A．6 B．5 C．4 D．3
答案D
6、若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.
A．1 B．2 C． D．3
【解析】如图直线与圆 交于A、B两点，O为坐标原点，且，则圆心（0，0）到直线的距离为 ， .故答案为B
7、若函数有两个零点，则实数的取值范围是_____.
A． B． C． D．
【解析】由函数有两个零点，可得有两个不等的根，从而可得函数函数的图象有两个交点，结合函数的图象可得，，故答案为：D.
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【考点定位】函数零点
【名师点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
8、已知等差数列{an}的前n项和为S，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
9、若非零向量a，b满足|a|=|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为　　　　（　　）
A、 B、 C、 D、
【答案】A
( http: / / www.21cnjy.com )
10、已知,满足约束条件 ( http: / / www.21cnjy.com ),若的最小值为,则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：依题意可以画出不等式表示的图形，当过点时取最小值，即2-2=1，=。
11、已知、取值如下表：
0 1 4 5 6
1.3 5.6 7.4
画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为，则的值（精确到0.1）为（ ）
A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8
答案：C　
解析：将代入回归方程为可得，则，解得，即精确到0.1后的值为. 故选C。
12．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点为F1，F2，若P为其图象上一点，且|PF1|=3|PF2|，则该双曲线离心率的取值范围为（　　）
A．（1，2] B．（1，2） C．（2，+∞） D．[2，+∞）
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】先根据双曲线定义可知|PF1|﹣| ( http: / / www.21cnjy.com )PF2|=2a，进而根据|PF1|=3|PF2|，求得a=|PF2|，同时利用三角形中两边之和大于第三边的性质，推断出，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，进而求得a和c的不等式关系，分析当p为双曲线顶点时，e=2且双曲线离心率大于1，最后综合答案可得．
【解答】解：根据双曲线定义可知|PF1|﹣|PF2|=2a，
即3|PF2|﹣|PF2|=2a，
∴a=|PF2|，|PF1|=3a，
在△PF1F2中，|F1F2|＜|PF1|+|PF2|，
2c＜4|PF2|，c＜2|PF2|=2a，
∴＜2，
当P为双曲线顶点时， =2，
又∵双曲线e＞1，
∴1＜e≤2
故选：A．
二、填空题
13、如图,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,分别以O,B为圆心,半径为画圆弧,点P在两圆之外的概率为　　　　　.
【解析】依题设知所求概率
答案:1-
14、过抛物线y2＝4x的 ( http: / / www.21cnjy.com )焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为
[解析]　设抛物线的焦点为F，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12.
15、设函数f(x)＝是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为(　　)
　[解析] 依题意可得解得a≤.
16、已知α，β为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tanα＝________.
解析：∵cos(α＋β)＝sin(α－β)，
∴cosαcosβ－sinαsinβ＝sinαcosβ－cosαsinβ.
∴cosα(sinβ＋cosβ)＝sinα(sinβ＋cosβ)．
∵β为锐角，∴sinβ＋cosβ≠0，∴cosα＝sinα，
∴tanα＝1.
三、解答题
17、已知P＝{x|a－4[解析]　P＝{x|a－4∵x∈P是x∈Q的必要条件
∴x∈Q x∈P，即Q P
∴
∴－1≤a≤5.
18、在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，
(1)求等差数列{an}的通项公式an和等比数列{bn}的通项公式bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Sn.
解：(1)设公差为d(d≠0)，公比为q.由已知得

∴an＝3n－2，bn＝4n－1.
(2)由(1)可知an·bn＝(3n－2)·4n－1，
∴Sn＝1＋4×4＋7×42＋…＋(3n－2)·4n－1，　①
4Sn＝4＋4×42＋7×43＋…＋(3n－2)·4n.　②
由①－②得
－3Sn＝1＋3×4＋3×42＋3×4 ( http: / / www.21cnjy.com )3＋…＋3·4n－1－(3n－2)·4n＝1＋3×－(3n－2)·4n＝1＋4n－4－(3n－2)·4n＝－3－3(n－1)·4n，
∴Sn＝1＋(n－1)·4n(n∈N*)．
19、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
（Ⅰ）求频率分布图中的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率.
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）因为，所以
（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为，
所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为.
（Ⅲ）受访职工评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即为;
受访职工评分在[40,50)的有： 50×0.004×10＝2（人），即为.
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是
又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即，故所求的概率为.
20、如图，三棱柱ABC A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.
(1)证明：B1C⊥AB；
(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC A1B1C1的高．
解：(1)证明：连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．
因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1.
又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，
由于BC1∩AO＝O，故B1C⊥平面ABO.
由于AB 平面ABO，故B1C⊥AB.
(2)作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.
由于BC⊥AO，BC⊥OD，且AO∩OD＝O，
故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.
又OH⊥AD，且AD∩BC＝D，
所以OH⊥平面ABC.
因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又BC＝1，可得OD＝.
因为AC⊥AB1，所以OA＝B1C＝.
由OH·AD＝OD·OA，且AD＝＝，得OH＝.
又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为.故三棱柱ABC A1B1C1的高为.
21、的内角所对的边分别为，向量与平行.
(I)求；
(II)若求的面积.
【答案】(I) ；(II) .
【解析】
试题分析： (I)因为，所以，由正弦定理，得，
又，从而，由于，所以；
(II)解法一：由余弦定理，得，代入数值求得，由面积公式得面积为.解法二：由正弦定理，得，从而，又由知，所以，由，计算得，所以面积为.
试题解析：(I)因为，所以
由正弦定理，得，
又，从而，
由于
所以
(II)解法一：由余弦定理，得
，而，，
得，即
因为，所以，
故面积为.
解法二：由正弦定理，得
从而
又由知，所以
故
，
所以面积为.
22、设F1、F2分别是椭圆E：x ( http: / / www.21cnjy.com )2＋＝1(0(1)求|AB|.
(2)若直线l的斜率为1，求b的值．
[解析]　(1)求椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，
又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.
(2)l的方程式为y＝x＋c，其中c＝，
设A(x1，y1)，B(x1，y1)，则A、B两点坐标满足方程组
消去y化简得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.
则x1＋x2＝，x1x2＝.
因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，
即＝|x2－x1|.
则＝(x1＋x2)2－4x1x2
＝－＝，
解得b＝.
3
2
4
3
4
3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图
3
2
4
3
4
3
2
3
3
正视图
侧视图
俯视图