高考数学热点专题——导数-2025届二轮复习讲义（含答案）

高三数学热点专题—导数题
1、已知函数 (为实常数)．
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围；
（3）是否存在正实数，使得在区间上的最大值为3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
设计意图：考查函数的单调性及分类讨论的思想方法；
要点解析：突出分类讨论的方法，重视函数图象的应用；
评讲建议：评讲第（2）问的关键在于抓住分界点及利用图像研究单调性；
解答过程：（1）偶函数
（2）
综上：
（3）当时，
依题意： 或
2、已知为自然对数的底数，为实数且为常数。
（1）如果关于的方程有两个不等的实数根，求的取值范围；
（2）如果对于任意，都有，求的取值范围；
（3）是否存在实数，使函数在上为减函数，若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由。
【选题意图】函数是高中数学的主线，其包涵的范围非常广泛。本题共三小题分别从函数与方程、恒成立及函数的单调性进行命题。
【要点解析】
（1）方程有两个不同的实数根，即：有两个不同的实数根，令，等价于方程有两个不同的正实数根,然后利用二次函数图像或者根与系数关系进行解答。
（2）令,等价于即对进行研究。也可以对进行讨论转化为，然后求出 的范围。
（3）（法一）利用定义，作差比较。
，
因为，，，所以，恒成立，
因为，
（法二）利用导数，
（法三）利用复合函数的单调性
【讲评建议】
学生对函数的学习比较全面，基础比较扎实。教师在讲评试卷过程中要注意发挥学生的主体性。每一题学生都有一定的思路，并且会有许多意想不到的好方法。所以尽量做到一题多解，一题多思，从而做到一题多获。
【解答过程】
（1）方程有两个不同的实数根，即：有两个不同的实数根，
令，等价于方程有两个不同的正实数根,记为，
所以，得；；. 所以.
（2）令,等价于即
当，，不合题意
当，，不合题意
当，，所以，，即
综上所述：
（3）依题意在恒正或恒负，由于是单调递增函数，故应有在恒成立，
即，，所以。
另一方面：，
要使函数在上单调递减，恒成立，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
由于是单调递增函数，所以
综上可得，存在实数，使函数在上为减函数。
3.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【设计意图】
（Ⅰ）考查用导数研究单调性，考查二次问题，考查分类讨论的数学思想方法 难度：中下
（Ⅱ）考查用导数研究恒成立，可以将恒成立问题转化为最值问题来处理 难度：中
【解答过程】
（Ⅰ）函数的定义域为，.
令，则或，
当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；
当时，的变化情况如下表：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
当时，的变化情况如下表：
所以的单调递减区间是，单调递增区间是.
综上得：
当时， 的单调递增区间是，没有单调递减区间；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是；
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时，，符合题意.
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以恒成立等价于，即，即，所以.
当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以恒成立等价于，即，即，所以.
综上得，实数的取值范围是. ……………16分
【讲评建议】
（Ⅰ）要点拨如何确定讨论的分界点
（Ⅱ）要点拨恒成立问题的几种常见方法，本题不好分离参数处理
4.已知函数.
（1）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围；
（2）若对恒成立，求实数的取值范围.
【设计意图】
（Ⅰ）考查用导数研究方程根 难度：中下
（Ⅱ）考查用导数研究不等式恒成立，要借助“虚零点” 难度：中上
【解答过程】（1）方程，即.
令，则.
令，则（舍），. 当x∈[1， 3]时，随x变化情况如表:
x 1 3
＋ 0 －
极大值
∴当x∈[1，3]时，. ∴m的取值范围是.
（2）据题意得对恒成立.
令，则.
令，则当x＞0时，， ∴函数在上递增.
∵，
∴存在唯一的零点c∈（0，1），且当x∈（0，c）时，；当时，.
∴当x∈（0，c）时，；当时，.
∴在（0，c）上递减，在上递增，从而.
由得，即，两边取对数得，∴.
∴，即所求实数a的取值范围是.
5.已知函数，，为的导函数.
（1）求的零点；
（2）若，，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若（），使得，求证：
【设计意图】回避了2017年已经考过的3次函数问题，综合了指数函数与三角函数
（1）考查零点的概念 难度：容易题
（2）考查含有量词的不等式问题 难度：中上
（3）考查用导数研究不等式，需要构建函数处理 难度：难题
【解答过程】
（1），所以，
令，则，因为，所以，所以的零点为.
（2）由题意得，，使得成立，
即的最大值小于或等于的最大值
因为，所以，因为，所以
所以在上单调递减，所以的最大值为
因为，，令，则
极大值
所以的最大值为
所以，，即
（3）因为，，
极大值
，，
所以不妨设，且，则
令（）
则，所以在上单调递减
所以，所以即，
因为，所以，又因为，所以
又，，在单调递减
所以，所以
6、已知函数，
（1）若，求函数的最大值；
（2）若函数在处取得极大值，求实数的取值范围
（3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围
【设计意图】
（1）考查用导数研究最值 难度：容易题
（2）考查用导数研究极值，考查分类讨论的数学思想 难度：中档题
（3）考查用导数研究零点，需要找点 难度：难题
【解答过程】（1）当时，，所以
所以在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为
（2），令，则或，
当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，不符合；
当时，函数单调减，所以不符合；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在处取得极大值，符合；
当时，符合；
当时，在上单调递增，在上单调递减，所以函数在处取得极大值，符合；
综上得：或
（3）当时， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以仅有1个零点，不符合；
当时，函数单调减，所以至多有1个零点，不符合；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
又，易证明，所以，
又，所以仅有1个零点，不符合；
当时，仅有1个零点，不符合；
当时，在上单调递增，在上单调递减，则函数有2个零点的必要条件为，即，所以，下面验证充分性。
当时，
取，则，又，所以在上有一个零点，
取，则，又，所以在上有一个零点，
所以函数有两个零点.
综上得：
7． 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个零点，
①求实数的取值范围；
②证明：.
【设计意图】
（1）考查用导数研究单调性，考查分类讨论的数学思想 难度：容易题
（2）考查用导数研究零点，需要找点 难度：中上
（3）考查用导数研究不等式，需要构建函数处理 难度：中上
【解答过程】（1）
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，则，
所以在上单调递减；在上单调递增.
综上得：
当时，在上单调递减，无单调递增区间；
当时，在单调递减，在上单调递增.
（2）当时，在上单调递减，不可能有两个零点；
当时，在单调递减，在上单调递增.所以
所以函数有两个零点的必要条件为，即，所以，下面验证充分性。
此时，，所以在上有唯一零点，
下面考虑在的情况，此时
为此我们先证:当>时,>,设,则,再设 ∴
当>1时,>-2>0,在上是单调增函数
故当>2时,>>0
从而在上是单调增函数,进而当>时,>>0
即当>时,>,
此时，，所以在上有唯一零点，
所以
②函数有两个零点分别为，不妨设，则，
所以两式相减得，
要证，只需证，只需证，只需证
只需证，只需证，令，即证
设，则，即函数在单调递减，
则即得
【讲评建议】
1、“”是“函数有两个零点”的必要不充分条件，
所以得到后要考虑充分性，要找点，找点对学生而言有一定难度。
2、证时先转化为，然后点拨如何构建函数，注意到齐次，就不难想到通过比值换元，令，下面转化为对数平均不等式，背景是极值点偏移问题
8.已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数在内的单调性；
（3）若存在正数，对于任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围.
【设计意图】
（Ⅰ）考查用导数研究单调性，考查分类讨论的数学思想 难度：中
（Ⅱ）考查用导数研究不等式恒成立，考查分段函数，要用到虚零点 难度：难
【解答过程】（1）
（2），，
当时，因为，所以，这时在内单调递增.
当时，令得；令得.
此时在内单调递减，在内单调递增.
综上得：
当时，在内单调递增，
当时，在内单调递减，在内单调递增.
（3）
①当时，因为在内单调递增，且，所以对于任意的，.这时可化为，即.设，则，
令，得，因为，所以在单调递减.又因为，所以当时，，不符合题意.
②当时，因为在内单调递减，且，所以存在，使得对于任意的都有.这时可化为，即.
设，则.
（i）若，则在上恒成立，这时在内单调递减，
又因为，所以对于任意的都有，不符合题意.
（ii）若，令，得，这时在内单调递增，又因为，
所以对于任意的，都有，
此时取，对于任意的，不等式恒成立.
综上，的取值范围为.
【讲评建议】
1、点拨如何去掉中的绝对值？
2、点拨注意借助
备用
8.已知函数，.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线的斜率；
（Ⅱ）判断方程在区间内的根的个数，说明理由；
（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围.
【设计意图】
（Ⅰ）考查导数的几何意义 难度：易
（Ⅱ）考查用导数研究单调性，考查零点存在性定理 难度：中下
（Ⅲ）考查用导数研究极值，考查等价转化的数学思想 难度：中上
【解答过程】
（Ⅰ），. …………3分
（Ⅱ）设，.
当时，，则函数为减函数.又因为，,
所以有且只有一个，使成立.
所以函数在区间内有且只有一个零点.即方程在区间内有且只有一个实数根.
（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，
由于，即在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号.
因为当时，为减函数，所以在上，，即成立，函数为增函数；
在上， ，即成立，函数为减函数,
则函数在处取得极大值.
当时，虽然函数在区间内有且只有一个零点，但在 两侧同号，不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.由于，显然.
若函数在区间内有且只有一个零点，且在两侧异号，
则只需满足：即解得. ……………16分
【讲评建议】
（Ⅰ）点拨仅有单调性不够，还需要用零点存在性处理
（Ⅱ）点拨：在内有且只有一个极值点等价于什么？