高考数学热点专题——数列-2025届高考二轮复习讲义（含答案）

高三数学热点专题—数列
1、 已知数列为等差数列，且前n项和为，
（1）求数列的通项公式
（2）数列的前项和为，满足，证明数列为等比数列
（3）在（2）的条件下，记中是否存在不同的三项按一定顺序恰好成等差数列？若存在，求出所有这样的三项，不存在，说明理由
【选题意图】
1、考查等差数列的基本量运算或巧用性质解题
2、和与项的关系，及证明等差等比的严密过程
【讲评建议】
第（3）可以让学生讨论整数有解的方法和单调递减数列的变化，猜想自己结论
【解答过程】
(1)
(2),两式相减得 时，，得
为等比数列
（3） 为递减数列
假设存在三项按一定顺序成等差数列，则
即（*）
当时，，
即，则，此时无解
当时，（*）为 ，得
则（*）为，即，得
所以存在成等差数列
2、 设数列{an}的前n项和为，且满足：．
（1）若，求a1的值；
（2）若成等差数列，求数列{an}的通项公式．
【选题意图】
本题考查等差数列的概念，考查给定和求通项的方法.
【讲评建议】
考查学生运算求解，探究分析，推理论证的能力．方程组的思想是解题的核心。
【解答过程】
解：（1）因为，所以，
即，解得或．
（2）设等差数列的公差为d．
因为，
所以， ①
， ②
． ③
②①，得，即， ④
③②，得，即， ⑤
⑤④，得，即．
若，则，与矛盾，故．
代入④得，于是．
因为，所以，
所以，
即，整理得，
于是．
因为，所以，即．
因为，所以．所以数列{an}是首项为，公差为的等差数列．
因此，．
3、 已知数列满足a1=x,a2=3x,Sn是数列的前n项，Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*).
(1)若数列为等差数列，满足,数列满足cn=t2bn+2-tbn+1-bn（t是整数），若数列、前n项和分别为Bn与Cn，，当Cn若对任意m,n∈N*恒成立,求实数x的取值范围.
【选题意图】
考查等差、等比数列及用函数的方法研究数列；
【要点解析】
等差、等比数列及数列的单调性及周期性；
【讲评建议】
突出数列是特殊的函数，重视由特殊到一般的方法；
【解答过程】
解:(1)因为Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),
所以S3+S2+S1=14,
即a3+2a2+3a1=14.
又a1=x,a2=3x,
所以a3=14-9x.
又因为数列{an}成等差数列,
所以2a2=a1+a3,即6x=x+(14-9x),解得x=1.
所以an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).
因为an=2n-1(n∈N*),
所以bn==22n-1>0,其前n项和Bn>0,
又因为cn=t2bn+2-tbn+1-bn=(16t2-4t-1)bn,
所以其前n项和Cn=(16t2-4t-1)Bn,
所以Cn-Bn=2(8t2-2t-1)Bn.
当-(2)由Sn+1+Sn+Sn-1=3n2+2(n≥2,n∈N*),知Sn+2+Sn+1+Sn=3(n+1)2+2(n∈N*),
两式作差,得an+2+an+1+an=6n+3(n≥2,n∈N*),
所以an+3+an+2+an+1=6(n+1)+3(n∈N*),作差得an+3-an=6(n≥2,n∈N*).
所以,当n=1时,an=a1=x;
当n=3k-1时,an=a3k-1=a2+(k-1)×6=3x+6k-6=2n+3x-4;
当n=3k时,an=a3k=a3+(k-1)×6=14-9x+6k-6=2n-9x+8;
当n=3k+1时,an=a3k+1=a4+(k-1)×6=1+6x+6k-6=2n+6x-7;
依题意可知，对任意n∈N*,an故，解得
综上，x的范围是（）
4、 已知正数数列的前项和为，且，数列满足：，，
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，，求满足的所有的值；
（3）设数列 满足，记数列的前项和为，问是否存在正整数m，k，使成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由.
【设计意图】
本题考查等差数列、等比数列的通项公式、考查错位相减法求和、列项法求和、考查数列的单调性和最值、考查不定方程整数解等．
【解题思路】
（1）因为 ①， 所以 ②，
②-①得：，即
∵是正数数列∴∴是等差数列，其中公差为1，
令，得 ∴
由，得，
∴数列是等比数列，其中首项，公比， ∴.
注：也可以累乘处理
（2）①， ②
∴②-①得：
∴
又∴ ，于是.
下面证明: 当时，，可以研究数列的单调性，
事实上, 当时，所以
又所以当时，故满足的所有k的值为2,3,4.
（3），所以裂项求和可得，
假设存在正整数m，k，使，则
或或
或 或.
【知识拓展】处理不定方程整数解的常用方法有：部分分式、因式分解、奇偶分析.本题就是用因式分解来处理.
5、 已知数列各项均为正数，，且对恒成立，记数列 的前项和为.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）若存在正实数，使得数列为等比数列，求数列的通项公式．
【选题意图】
本题考查等比数列的概念，等比数列的通项公式与求和公式；
考查分析探究及逻辑推理的能力.
【解答过程】
（1）证明：由，可知，所以，
当时，，
即数列是以3为首项，为公比的等比数列．
（2）法一, 由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时，
故当时，．
．
又因为为等比数列，故有,对恒成立，
所以和对恒成立
即
对恒成立,
解得，， 此时也成立.所以，， 即得到．
法二,由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时，
要使得为等比数列必有为等比数列,即有成立①
故当时，．
要使得为等比数列必有为等比数列,即有成立②
联立①②得以下同解法一
法三,由（1），同理可知，数列是以为首项，为公比的等比数列．
故当时，
故当时，．
．
要使得为等比数列必有和
解得,通过验证时, 为等比数列. 以下同解法一
6、 已知数列的前项和为，且
求的值，并证明为等比数列
设
求的最大项
是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由。
【选题意图】
以最值与不定方程的形式考察数列方面的知识
【要点分析】
本题的知识点：数列通项与前项和的关系，等比数列与等差数列的定义。考察学生解决数列综合题的能力。
【讲评建议】
数列通项与前项和的关系的分类讨论思想，不定方程的求解策略。
【解答过程】
解：（1）由得
当
又
所以是首项为1公比为2的等比数列
由（1）知，所以
所以的最大项为
成等差数列，则
整数，所以
上式成立，则为奇数,所以为偶数，
所以为偶数
猜想，下证明
构造函数
则
当
而
所以
所以
所以
即猜想成立
所以
所以仅有一解
7、 已知数列满足关系：
（1）若是首相为1，公差为的等差数列. 求证：是等差数列.
（2）求所有的正整数，使得下述命题成立：
设是等差数列，若为有理数，则中至少有一个为有理数。
【选题意图】
本题考查等差数列的基本性质，考查分析探究及逻辑推理的能力.
【讲评建议】
考查学生运算求解，探究分析，推理论证的能力．讲评时应注意复习数列与数论交汇问题的常用处理方法。
【解答过程】
解答过程：
证明：（1）
由（1）-（2）相减，得
（2）
设数列的公差为d，则
若为有理数，为有理数，则为有理数。
当
综上，
8、已知数列，其前项和为. 若数列对任意两个不相等的正整数，都有，且，.
(1) 求的值；
(2) 求证：数列是等差数列；
(3) 在数列中是否存在某两项同时满足以下两个条件：①它们是方程的两根；②以它们为直角三角形两直角边长时，斜边长也是数列中的项？如果存在，求出这两项；如果不存在，请说明理由．
【设计意图】
20132017年数列解答题考查内容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
题19 等差数列的定义与通项公式，数列的新定义问题 题20 数列的新定义问题，等比数列的通项公式、求和 题20 等差数列、等比数列的综合应用 题20 数列的新定义问题，构造法 题19 等差数列、等比数列的综合运用
本题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.
【要点解析】
第(1)问、第(2)问研究的思路都是赋值. 第(1)问赋的是确定的值，通过思考不难发现即可；第(2)问中，目标是证明等差数列，首先考虑到用等，将其转化为关于等的递推关系式，当经过尝试发现等在分母，使得式子的结构变得非常复杂，难以处理！那能否通过两次赋值使得一样，而且中的是容易处理的. 这样就确定了解题的方向. 这一问的另一个难点在于如何由想到“拆分”成，其实是目标推动了我们的思考！我们想证明等差数列，一种方法是定义法，另一种方法是等差中项法. 运用等差中项法，即证明①，②，①、②中含有的是，而中没有，为此我们考虑将①、②中的消去，再将其与对比，这样是否就为我们的“拆分”确立了方向？第(3)问是整数解问题.
【讲评建议】在评讲中，我们应多引导学生如何去想？对于第(3)问，也可以将分离，即得，注意、均为整数，则应该是8的约数.
【解答过程】
(1) 在中，令，得，
即，所以，又，，所以. ………..2分
(2) 在中，取，得，①
同理得，②
由①②知，，即，……………..6分
即.
由(1)知，，所以，即，
所以，数列是等差数列. …………………………………………………..10分
(3) 由(1)、(2)可知，则为正整数，且要满足条件①，则为完全平方数，
设，则整理为，
即 ……………..14分
解方程组得或
故两项为5，12或6，8，均满足条件②. …………………………………………..16分