高考数学热点专题——应用题-2025届高考二轮复习讲义（含答案）

高三数学热点专题—应用题
1、如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km， AD为4 km.，地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分。现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计).设点P到边AD的距离为t(单位:km)，△BEF的面积为S(单位: ).
（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域;
（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 并说明理由.
【设计意图】三次函数模型，用导数求最值
【解答过程】 (1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，
则点坐标为．
设边缘线所在抛物线的方程为， 把代入，得，解得，
所以抛物线的方程为．因为， 所以过的切线方程为．
令，得；令，得，所以，
所以，定义域为．
(2)， 由，得，
所以在上是增函数，在上是减函数，所以在上有最大值．
又因为，所以不存在点，使隔离出的△面积超过3．
2.如图，某市政府门前有一块不规则的地皮OABC，其中OA、OC、AB均为直线段，且OA⊥OC，曲线BC是顶点为C、对称轴为CO的抛物线的一部分.经测量得知：OA=OC=6百米，点B到OA和OC 的距离均为2百米.为了响应城市绿化的号召，市政府规划欲在该地皮上截下一块矩形地皮OMPN来种植树木，其余部分种植草坪，并且要求该矩形OMPN的两边OM、ON分别落在线段OA和OC上，其中顶点P在直线段AB和抛物线段BC上运动.设点P到OC的距离为x百米，记树木种植区域（即矩形OMPN区域）的面积为S（单位：平方百米）.
⑴试求S关于x的函数解析式S=f(x)；
⑵试确定点P的位置，使得树木种植区域的面积S最大，并求出S的最大值.
【设计意图】分段函数模型，一段是二次函数，一段是三次函数。
本题考查分段函数、函数和导数的应用、直线和抛物线方程的应用，考查数形结合思想，考查数学建模能力和运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力.其解决的关键是先通过审题，弄清题意，提取题干中的有用信息，进而将实际问题转化为数学问题，先合理建系，求出直线段AB和抛物线段BC的方程，进而建立面积S关于x的函数关系式，再利用函数和导数知识求解最值.
【解答过程】
⑴以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（6,0），B（2,2），C（0,6），于是线段AB的方程为（2≤x≤6）. 设曲线BC所在抛物线的方程为 (a<0)，
由题可知B（2,2）和C（0,6）在此抛物线上，所以b=6，4a+b=2，解得a=-1，b=6，
故抛物线段BC的方程为（0≤x≤2）.
当点P在抛物线段BC上时，P(x,-x2+6)，x∈(0,2]，矩形OMPN的面积S=f(x)=x(-x2+6)=-x3+6x，x∈(0,2]；
当点P在线段AB上时，则P(x,)，x∈(2,6)，矩形OMPN的面积S=f(x)= x()=.
综上可得：
⑵①当x∈(0,2]时，S=f(x)=，，令，解得.
当时，，f(x)单调递增；当时，，f(x)单调递减.
所以，当x=时，S= f(x)取得最大值为f()=平方百米.
②当x∈(2,6)时，S=f(x) =，
所以当时，S= f(x)取得最大值为f(3)=平方百米.
又，所以当点P的坐标为（,4）时，S取得最大值为平方百米.
3、 如图是一个储油灌，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面半径．
（1）若圆柱的底面直径和高都是6米，求此储油灌的容积和表面积；
（2）若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油灌的成本最低（即表面积最小）？
（球的表面积公式是，球的体积公式是，是球的半径）
【设计意图】分式函数模型，用导数求最值
【解答过程】设圆柱的底面半径为，高为，
（1），，
所以容积（米3），
，，，
所以表面积（米2）；
（2）由，得，
所以，
，令，则时，
当时，递减；当时，递增；
所以时，有最小值，此时．
即圆柱的高与底半径相等时，制造这种储油灌的成本最低．
【评讲建议】
4、某风景区拟沿着河边选择一点B，设计两条游览路线到达景区入口点A。路线1：从点A到点B架一条直线型空中缆车，每百米造价80万元，每年可带来收益200万元；路线2：从点A到点B造一条“L”型观光道路，即从点A步行到河边点O，后沿河边步行至点B，AO=20百米，AO与BO垂直，已知道路及两旁设施每百米造价10万元，道路两边的店面，每年每百米可得租金5万元。试确定点B的位置，使得经过10年，由这两条游览线路带来的总利润最大。
【设计意图】三角函数模型，用导数求最值。
本题解决的关键是如何引入合适的变量，在长度与角度之间灵活选择其一，
构造函数关系解决问题。
应用题一直是高考中的“可怕题”，是学生心中的“痛”。近年来，江苏高考应用题趋于中档题，只要认真审题，仔细计算，都是能得高分的。应用题多数是结合解析几何、导数、三角函数、不等式等知识解决问题，所以设计本题的意图主要考查学生灵活引入自变量，构造三角函数来解决问题。
【解答过程】设，则，设总利润为y万元，
则=
，令，则，当时，，当时，
所以，时，总利润最大，此时百米
答：百米时，经过10年，由这两条游览线路带来的总利润最大
【讲评建议】学生的做法不乏是两种，一种是设长度为自变量，得到一个含根式的函数关系；另一种则是设角度，得到一个三角函数。引导学生比较两种不同的做法，分析两种做法的利弊，进而选择更有利于计算的三角函数来研究。
5. 图1是某建筑工地的某塔吊图片（塔吊是建筑工地上最常用的一种起重设备，又名“塔式起重机”），为了了解塔吊“上部”的一些结构情况，学校数学兴趣小组将塔吊“上部”的结构进行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中A、D、E、B四点共线，通过测量得知起重臂BD 30米，平衡臂AD 8米，CA、CB均为拉杆. 由于起重臂达到了一定长度，在BD上需要加拉杆CE，且BE : ED 2 : 3. 记∠CAD ，∠CED .
(1) 若CD⊥AB，现要求 ≥ 2，问CD的长至多为多少米？
(2) 若CD不垂直于AB，现测得 30°， 15°，求CD的长.（选用下列参考数据进行计算：cos15°≈，sin15°≈，，结果保留根号的形式）
图1 图2
【设计意图】20132017年应用题解答题考查内容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
题18 正棱柱、正棱台的概念，正弦定理和余弦定理 题17 函数的实际应用，利用导数求函数的最值，棱锥和棱柱的体积 题17 函数的实际应用，利用导数求函数的最值 题18 直线的方程，直线交点坐标，两点间的距离，点到直线的距离，解三角形，数学建模 题18 解三角形的实际应用
本题主要考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用. 这是本人为本校高一年级期中考试原创的一道应用题，得分率不高，有较好的区分度，现拿出来与大家交流.
【要点解析】第(1)问中将转化为三角函数的不等关系，因为有垂直关系，且要求的长，经过思考，正切函数应该是首选；第(2)问中在多个三角形中，先后两次使用正、余弦定理即可顺利解决.
【讲评建议】解决应用题的首要环节是将实际问题转化为数学问题，然后解决数学问题，最终来解决实际问题. 在评讲中，第(1)问要引导学生对各种三角函数进行比较，在比较中感受为什么选择正切函数进行转化；第(2)问要引导学生强化审题，应该抓住题目中的关键字、词、句，弄清楚题中的已知事项，将题中的条件、一些量之间的关系标注在图形中，了解题中叙述的是什么事情，要求的结果是什么，要“谋定思路而后动”.
【解答过程】(1) 记. 根据已知得，，，
，，所以， ……4分
解得. 因此，的长至多为6米. ……7分
(2) 在△ACE中，由已知，，AE 26，
由正弦定理得，所以. ……10分
在△CED中，由余弦定理得，
即
，
解得. 所以，CD的长约为米. ……15分
思路二：在△ACE中，由已知，，AE 26，
由正弦定理得，所以.……10分
在△CAD中，由余弦定理得，
即
，
解得. 所以，CD的长约为米. ……15分
6、在某城市街道上一侧路边边缘某处安装路灯，路宽为米，灯杆长4米，且与灯柱成角，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩轴线与灯的边缘光线(如图，)都成角，当灯罩轴线与灯杆垂直时，灯罩轴线正好通过的中点.
（1）求灯柱的高为多少米;
（2）设，且，求灯所照射路面宽度的最小值.
【设计意图】三角函数模型，化归为后用有界性求最值
2017年高考应用题加大数学建模能力的培养，而数学建模能力一直是学生的软肋，鉴于此，命制一道需要建立数学模型的综合应用题.本题融合立体几何、解析几何及三角函数的综合题，目的为了培养学生建立数学模型的能力.
要点解析：第（1）问利用算两次思想建立方程，从而求出.第（2）问建立合适的平面直角坐标系，求出两条直线的方程，根据方程求出两点的坐标，从而建立目标函数.
讲评建议：在讲解（2）的过程中与学生探讨还有没有除了解析法以外的解法，加强建模意识，培养学生建立数学模型的综合解决问题能力.
【解答过程】（1）连接， 设，则，
在直角中， ，在直角中， ，
则有，解得 ，在直角中， .
（注：方法较多，酌情给分）
（2）以为坐标原点， ，分别为轴，建立直角坐标系，则
，又
①若，，得
②若，则直线的方程为，则；
直线的方程为，则；
所以 ==
又，所以当且仅当时，取最小值；
综合①②知，当时，取最小值。
类似题：
如图，互相垂直的两条公路交于O点，路边有一块空地OAB，OA=10m,OB=m,现要在挖一个湖（E、F在AB上，且不与A、B重合）使，其余部分绿化.
当E在距离A点4米处，求E,F两点距离。
试确定E的位置，使绿化面积最大。
【设计意图】三角函数模型，化归为后用有界性求最值。
让学生能够合理设变量，强化正余弦定理，同时也要让学生知道图形问题还有解析法，并让学生讨论或回忆曾经什么样的题目可以用解析法
要点解析：三角求最值的几个途径
【解答过程】(1)由题得，中，
由余弦定理得
,中，
(2)设FOE面积为，中，，则
中，，则
即时，最小则绿化面积最大
答：当时，三角形BEF面积最小，绿化面积最大。
【评讲建议】可以尝试从长度，角度或解析法这三方面解题，让学生比较哪个方法更好
7、为了丰富市民生活，该市政府在某山区投资开发了一旅游景点.如图所示，在该旅游区的某一景点内有两座小山，其中一座山（山高为OB=110米）的山顶B处建有一座高为40米（即BC=40米）的吉祥塔.经过水平地面上的一点A，沿另一座山的山坡铺设了一条直线段形旅游观光游览道路，若该观光道路所在的直线与水平底面所成的角为，且.若小明在观光游览道路上的某点P处观看吉祥塔，视角为∠BPC.已知OA=100米，设点P到水平地面的距离为x（0⑴令=tan∠BPC，求关于x的函数解析式；
⑵当x为何值时，小明观看吉祥塔的效果最好（即视角∠BPC最大）？
【设计意图】本题考查函数、两角和的正切公式、不等式在解决实际问题中的应用，考查数学建模能力，考查运用数学知识解决实际问题的能力.突破的关键：⑴构造合适的直角三角形，利用两角差的正切公式求出tan∠BPC的表达式；⑵适当换元，利用基本不等式求最值.利用基本不等式求函数的最值时，要紧抓其成立的条件，即“一正二定三相等”，避免出错.
【解答过程】
⑴过点P分别作PQ⊥OA、PR⊥OB，垂足分别为Q、R，如下图所示：
则PQ=x米，由可知AQ=2x米，所以PR=100+2x米，BR=110－x米，CR=150－x米，
所以，，(3分)
所以tan∠BPC=，
所以(0⑵欲使小明观看吉祥塔的效果最好（即视角∠BPC最大），即使tan∠BPC最大，即使最大.令，则，所以，(10分)
要使达到最大，只须达到最小即可.当由基本不等式可得：
，(12分)，当且仅当且即时上式取等号，
故当时，最大，即当小明距水平地面30米高时，观看吉祥塔的效果最好. (14分)
8、某人在一个塔上向空中扔回旋镖（身高忽略不计），假设回旋镖在一个平面内运动，回旋镖飞行轨迹如图所示：
回旋镖向斜上方在二次函数的部分曲线BC上运动，且曲线的最高点B到地面的最大距离为米.回旋镖飞行至B点后开始回旋，改变了运动轨迹，在以点为圆心的圆上运动至地面上点，点在点的竖直下方，假设点到地面的距离为米（），且塔高.
（1）如果塔高米，回旋镖落地处与塔之间的距离米，求曲线BC的方程；
（2）如果要求回旋镖飞行的最大水平距离不超过米，求的取值范围；
（3）若，求回旋镖落地处与塔之间的距离的最大值.
（参考公式：若，则）
【设计意图】回避了函数导数的压轴题中常见的3次函数和指对数函数问题，
应用题通过一个实际生活中的案例构造数学模型来解决问题，本题中涉及到
圆与抛物线，通过方程与函数结合圆的几何性质建立数学模型，利用基本不
等式和函数思想求范围与最值。本题是回旋镖投掷失败的案例，还可以变形
为投掷成功回到投掷人的手里，这样会再多出一条曲线，对学生的能力要求更高。
【解答过程】
（1）因为，解得. 此时圆，令，得，
所以，将点代入中，解得.
（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，
则由题意知对恒成立，
所以恒成立，而当，即时，取最小值10，故，解得.
（3）当时，，又圆的方程为，令，得，
所以，从而，
又因为，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
从而当 时，取最大值为25.
答：当米时，的最大值为25米.