高考数学热点专题——圆锥曲线-2025届高考二轮复习讲义（含答案）

高三数学热点专题--圆锥曲线
1.如图，A、B分别为椭圆C：的左顶点和上顶点，F为椭圆C的右焦点，直线AB与椭圆C的右准线l交于点P，直线BF与椭圆C交于另一点Q.
⑴若直线AB的斜率为，且l的方程为，求椭圆C的方程；
⑵记直线OP和AQ的斜率分别为和，若，
求椭圆C的离心率.
解析：⑴因为线AB的斜率为，所以，①
因为l的方程为，所以，②
由①②以及可解得，，所以椭圆C的方程为.
⑵直线AB的方程为，令可得，所以.
直线BF的方程为，即，代入椭圆方程可得，
即，解得，所以.
因为，所以，即，
所以，又，所以，即椭圆C的离心率为.
2.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与直线垂直，垂足为，且点是线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的左，右顶点，是椭圆上位于第一象限的一点，
直线与直线交于点，且,求点的坐标.
【设计意图】
（1）考查用待定系数法求椭圆的方程
（2）考查用解析法研究曲线的性质，主要有两种方法：
1、设； 2、设
【解答过程】（1）
（2）方法1：“点参”
设，则直线的方程为，所以
所以
由在椭圆上得，
所以，解得，所以
方法2：“参”
设直线的方程为，由，整理得
因为，所以，所以
又，所以，
所以，解得，所以
【讲评建议】点拨：若设，则有两个参数，下面如何消参？
若设，此时的二次方程相当于几次方程？（此二次方程有一根已经知道）
3、椭圆：的左右焦点分别为，椭圆过点在上，且椭圆离心率为。
（1）求椭圆方程；
（2）点在椭圆上，点关于直线的对称点也在椭圆上，求直线的方程。
【命题意图】
研究圆锥曲线的问题，本质上是处理方程与方程组的问题，本题关键是从何处着手。要根据给定条件，找到解决问题的方法。
【解答过程】（1）由椭圆离心率为，可设椭圆方程是，
又椭圆过点，解得：，所以椭圆方程为，
（2）方法一：设点，的中点为，
依题意，消去得：，解之得：或（舍去），
所以，所以，直线即的方程是，即
方法二：设点，，依题意：，
消去并化简得：，解之得：或（舍去），
所以，所以中点，直线即的方程是，即。
4、已知椭圆的离心率为，一条准线方程为.右顶点为A，上顶点为B.
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设为椭圆上一动点且在第三象限，直线与轴交于点，
直线与轴交于点，证明：四边形的面积为定值.
【设计意图】
（1）考查用待定系数法求椭圆的方程
（2）考查用解析法研究曲线的性质，关键是如何消参数
【解答过程】
（I）椭圆的方程为．
（II）设（，），则．又，，
所以直线的方程为．令，得，从而．
直线的方程为．令，得，从而．
所以四边形的面积
由在椭圆上得，
所以，为定值．
【评讲建议】
1、表示四边形面积时注意对角线互相垂直
2、设后有两个参数如何消参数？用点在椭圆上
3、如果在第一象限，如何？
5.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右顶点分别为、，上顶点为，点是椭圆上第一象限内的动点，直线分别与轴交于点，且点是线段的中点. 当点运动到点处时，点的坐标为.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 当直线时，求直线的斜率.
【设计意图】20132017年解析几何解答题考查内容分析：
2017年 2016年 2015年 2014年 2013年
题17 直线的方程，直线与直线的位置关系，椭圆的方程与几何性质 题18 直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、平面向量的运算 题18 椭圆的方程与几何性质，直线的方程，椭圆中弦长的计算 题17 椭圆的方程及离心率 题17 直线的方程，直线与圆的位置关系
本题主要考查直线方程、椭圆的标准方程等知识，考查分析问题能力和运算求解能力.
【要点解析】是否发现是解决问题的关键！
【讲评建议】本题改编于2018届南京、盐城第一学期期末试卷中的解析几何题. 在评讲中要注意对基本图形的挖掘. 如本题，由于是的中点，可引导学生去思考这两条直线都过点，缺的是直线的方向（或者是刻画方向的量），那么它们之间有怎样的联系呢？能否将这样的图形结构加以适当的小结？如下图中，是的中点，那么此时直线、直线的斜率有怎样的联系呢？若、呢？
【解答过程】(1) 因为是的中点，且，所以.
又，得直线的方程为.
令，得点的坐标为，所以椭圆的方程为. ………………..4分
将点代入，得，解得.所以椭圆的标准方程为.………………………………..6分
(2) 设直线的斜率为，则直线的方程为.
在中，令，得，而点是线段的中点，所以.
所以直线的斜率. …………………………………..8分
联立消去，得，解得，……..10分
代入，得，所以.
在点中，用代，得. ………………………..11分
因为，，
又，....13分
所以，又，所以，即，解得. …………..15分
6.如图,在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，焦距为，过上顶点的动直线与椭圆交于另一点，当经过右焦点时，点的坐标为.作矩形，使其顶点在椭圆上，在直线上，
求椭圆的标准方程;
若经过右焦点，且,求直线的方程.
若为椭圆的右顶点，当矩形面积最大时，求直线的方程.
设计意图：考查椭圆的方程、直线的方程、直线与直线的关系、直线与椭圆的关系
要点解析：1、椭圆中已知离心率时，先消参再解方程更为简便
直线方程的选择，注意对结果的检验
最值问题中对变量范围的约束
讲评建议：本题以江苏省2014年高考题为原型，主要是复习椭圆方程与直线方程的基本运算。通过这一组题，可以帮助学生理解直线方程在椭圆中的运用方法。教学时可结合图象的生成过程说明计算方法的合理性，在方法选择中加深对算理的理解。
解答过程（1）由离心率为可知
所以联立方程组解得的横坐标为从而
椭圆的标准方程为:（考虑第一问计算量，多给了点的纵坐标，学生可以直接将点代入直线求）
设直线，与椭圆联立方程组，消去整理得：
从而求出又，
由求出或此时直线与椭圆均有两个交点
所以直线的方程为：或
显然斜率存在，设，
与椭圆联立方程组，消去整理得：
从而矩形面积
若,则斜率取时面积显然更大，故最大时，
记，则，
由基本不等式易得最大时，，
所以当矩形面积最大时，直线的方程为.
7、已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为．
（）求椭圆的方程；
（）过点的直线交椭圆于，两点，交直线于点，设，，
求证：为定值．
【设计意图】
（1）考查用待定系数法求椭圆的方程
（2）考查用解析法研究曲线的性质
【解答过程】（）由题意有：，且，所以，．
　所以椭圆的方程为．
（）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为，将代入得点坐标为，
　由，消元得　，设，，则且，
方法一：因为，所以．同理，且与异号，
　　　　所以 ，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
　　　　所以，的定值为．
方法二：由题意，当时，（若：不妨设，加一分）
　　　　有，且，
　　　　所以，且，
　　　　所以，同理，
　　　　从而，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　．
　　　　当时，同理可得．
　　　　所以，为定值．
方法三：由题意直线过点，设方程为，将代入得点坐标为，
由，消元得，
　　　 设，，则且，
　　　　因为，所以．
　　　　同理，且与异号，
　　　　所以，
　　　　　　　　　．
　　　　又当直线与轴重合时，，
所以，为定值．
备用
1.在平面直角坐标系中，椭圆的离心率，左右顶点分别为，且线段的长为，P为椭圆上一点且在第二象限，过点分别作，直线交于点C。
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，求点的坐标.
解：（1）由题意得，解得，故.
所以椭圆M的方程是
（2）法一：设，则AC的方程为，BC的方程为.
由，得，因为，所以点C的坐标为，
所以，所以，将代入得点的坐标为。
法二：设的斜率为（）， ，
因为，所以的斜率为
得①
因为，所以，则AC的方程为
因为，所以，则BC的方程为。
由，得
，得带入①式得点的坐标为