高考数学热点专题——直线和圆-2025届高考二轮复习讲义（含答案）

高三数学热点专题—直线和圆
1、在平面坐标系中，过点的直线与依次相交于两点（A在中间），已知，则的面积为 ．
解：如图，取的中点为，连接。设。
得
所以
2、已知点和动直线，点A在直线上的射影为，为轴上一动点， 恒成立，则实数的取值范围是
解：如图：A在直线上的射影为，所以，所以点在以为直径的圆上，
所以点的轨迹方程为.因为恒成立，所以.
又，所以
，所以.
3、过点的直线与函数图像有三个公共点（不在轴上），从左到右依次为、、，则此时弦的长度为 ．
解：因为，所以，
则，对应的图像是
两个半圆，设左圆的圆心为，右圆的圆心为.因为直线与右圆相切，所以，则点到直线的距离，，
所以弦的长度为.
4、在平面坐标系中，直线与两坐标轴分别交于两点，如⊙上存在唯一的一点满足，则=
解：设，则
,所以点在圆上.
又点在⊙上,且点唯一,
所以两圆仅有唯一交点，两圆相外切或内切
或
所以或
5、已知椭圆的左右焦点依次为，点为轴上任意一点，为上一点，且满足，则的最小值为 ．
解：由条件知，设点
则，，所以。
又为上一点，，得，
所以，则，得
所以点在圆上，
则的最大值为2.
6、已知圆，若直线和直线的交点恰好在圆上，则的取值范围为 ．
7、如图，在平面直角坐标系中，已知圆，经过点的直线与圆相交于两点，分别过两点作，交轴于两点，若
（1）求直线的方程；
（2）若点B为直线与直线的交点，在平面内是否存在定点C（不同于B点），满足对于圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点C的坐标及的值；若不存在，请说明理由。
【选题意图】本题主要考查直线方程的求解，圆的方程，直线与直线，直线与圆的位置关系等知识，考查学生分析问题，解决问题能力及运算求解能力。
【要点解析】第（1）问关键是如何找到直线的斜率，第（2）问是转化为阿波罗尼斯圆问题求解。
【讲评建议】先做后讲，讲练结合
【解答过程】（1）过点作于点，过点作于点，则为的中点，
又在中，所以直线的斜率。
又直线过点，所以直线的方程是。
（2）假设存在定点使得结论成立，设，则，
由，解得。
由可得
整理可得
由对任意的点D都成立，可得，解得（舍）或
所以在平面上存在定点C满足题意，当时，。
8、已知，是上一点.
（1）求与外切于点且半径为的的方程.
（2）是上的两动点，.
①若所在直线与相切，求方程.
②在直线上的点满足，求点坐标.
解：（1）将代入得：。
所以，圆心为，切点，
所以在上，设，则，代入切点
或（舍），所以
（2）设点到直线的距离为，
，所以，得
所以，设，，
所以方程为和。
②设的中点为，则点满足，
设，，
，
所以，解得或，所以点坐标为或