(共28张PPT)
题型专项练1 客观题11+3标准练(A)
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一、选择题
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1.已知平面向量a=(1,2),b=(-1,λ),若a⊥b,则实数λ=( )
A
解析 平面向量a=(1,2),b=(-1,λ),由a⊥b,得a·b=-1+2λ=0,所以λ= .故选A.
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2.(2024山东潍坊一模)已知集合A={x|log3(2x+1)=2},集合B={2,a},其中a∈R.若A∪B=B,则a=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解析 由log3(2x+1)=2,得2x+1=32,解得x=4,所以A={x|log3(2x+1)=2}={4},又B={2,a},A∪B=B,即A B,所以a=4.故选D.
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3.(2024广东湛江二模)若复数z=(2x+yi)(2x-4yi)(x,y∈R)的实部为4,则点(x,y)的轨迹是( )
A.直径为2的圆 B.实轴长为2的双曲线
C.直径为1的圆 D.虚轴长为2的双曲线
解析 因为(2x+yi)(2x-4yi)=4x2+4y2-6xyi,所以4x2+4y2=4,即x2+y2=1,所以点(x,y)的轨迹是直径为2的圆.故选A.
A
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4.(2024河北邯郸三模)已知抛物线y2=8x的焦点为F,P(x,y)为抛物线上一动点,点A(6,3),则△PAF周长的最小值为( )
A.13 B.14 C.15 D.16
A
解析 由题知F(2,0),准线方程为x=-2.
如图,过点P作准线的垂线,垂足为Q,
过点A作准线的垂线,垂足为B,
则|AB|=6+2=8,|AF|=
所以△PAF的周长=|PF|+|PA|+|AF|
=|PQ|+|PA|+|AF|≥|AB|+|AF|=8+5=13,
当P为AB与抛物线的交点P'时等号成立,故△PAF周长的最小值为13.故选A.
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5.(2024山东聊城二模)若圆C1:x2+y2=1与圆C2:(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线,则下列直线一定不经过点(a,b)的是( )
D
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6.(2024江苏苏锡常镇二模)羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则如下:每局两人比赛,另一人担任裁判,每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判,那么第3局甲还担任裁判的概率为( )
C
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A.8 B.9 C.10 D.11
D
解析 因为4an+1-4an+an-1=0,所以22an+1-2an=2an-an-1.
两边同乘2n-1,得2n+1an+1-2nan=2nan-2n-1an-1,故2n+1an+1-2nan=2nan-2n-1an-1=
…=22a2-21a1=1,所以{2nan}是首项为1,公差为1的等差数列,所以2nan=n,则
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8.(2024山东聊城二模)已知圆柱OO1的下底面在半球O的底面上,上底面圆周在半球O的球面上,记半球O的底面圆面积与圆柱OO1的侧面积分别为S,S1,半球O与圆柱OO1的体积分别为V,V1,则当 的值最小时, 的值为( )
A
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二、选择题
9.(2024浙江台州二模)某同学最近6次考试的数学成绩为107,114,136,128,122,143,则( )
A.成绩的第60百分位数为122
B.成绩的极差为36
C.成绩的平均数为125
D.若增加一个成绩125,则成绩的方差变小
BCD
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解析 将成绩从低到高排序为107,114,122,128,136,143,因为0.6×6=3.6,所以成绩的第60百分位数为第四个数,即为128,故A错误;
极差为143-107=36,故B正确;
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11.已知函数f(x)的导函数为f'(x),f(x)与f'(x)的定义域都是R,且满足
f'(2x)+f'(-2x)=0,f(2-x)-f'(x)=1,则下列结论正确的是( )
A.f(x)的图象关于点(2,1)中心对称
B.f'(x)为周期函数
D.y=f'(2-x)是偶函数
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解析 ∵f'(2x)+f'(-2x)=0,∴f'(x)为奇函数,∴f(x)为偶函数.
∵f(2-x)-f'(x)=1,∴f'(x)=f(2-x)-1,则f'(-x)=f(2+x)-1,∴f(2-x)+f(2+x)=2,∴f(x)关于点(2,1)中心对称,故A正确;
∵f(x)+f(4-x)=2,f(x)=f(-x),
∴f(-x)+f(4-x)=2,则f(4-x)+f(8-x)=2,故f(x)=f(8-x),
∴f(x)为周期函数,周期T=8,
∴f'(x)为周期函数,故B正确;
∵f(x)关于点(2,1)中心对称,
对f(2-x)+f(2+x)=2两边同时求导得,-f'(2-x)+f'(2+x)=0,即f'(2+x)=f'(2-x),故y=f'(2-x)为偶函数,故D正确.故选ABD.
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三、填空题
12.(2024河北保定二模)在等比数列{an}中,a1a3a5=a2a6,a4a13=-27,则a6= .
-3
解析 设等比数列{an}的公比为q,由a3a5=a2a6,a1a3a5=a2a6,得a1=1,由a4a13=-27,得q3·q12=q15=-27,所以a6=q5=-3.
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13.(2024福建莆田三模)甲、乙等5人参加A,B,C三项活动,要求每人只参加一项活动,且每项活动至少有1人参加,若甲和乙不参加同一项活动,且只有1人参加A活动,则他们参加活动的不同方案有 种.
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14.双曲线C: =1(a,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以实轴为直径作圆O,过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A,B两点(B在第一象限),若BF2=c,AF1与点B所在的渐近线垂直,则双曲线的离心率为 .
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解析 记AF1与渐近线OB的交点为H,当一条渐近线斜率大于1时,根据题意,作图如右.
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14(共27张PPT)
题型专项练2 客观题11+3标准练(B)
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一、选择题
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1.(2024山东威海二模)在研究集合时,用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.集合M={1,2,3,4},N={x|x>m},若card(M∩N)=2,则实数m的取值范围 为( )
A.[2,3) B.[2,3]
C.(2,3) D.(2,+∞)
A
解析 由题意知M∩N={3,4},所以2≤m<3.故选A.
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A.-15 B.15 C.30 D.360
B
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3.已知中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线离心率为 ,则其渐近线方程为( )
A.y=±x B.y=±2x
D
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4.已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+9的两个零点,则a1a2 025=( )
A.10 B.104 C.108 D.1012
解析 因为lg a2,lg a2 024是f(x)=3x2-12x+9的两个零点,所以lg a2+lg a2 024=4,即lg(a2a2 024)=4,得a2a2 024=104,故a1a2 025=a2a2 024=104.故选B.
B
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5.(2023全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A
解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率
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6.(2024山东临沂二模)若实数a,b,c满足a=2sin ,b3=7,3c=10,则( )
A.a
C.aA
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7.(2024山东潍坊一模)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P为截面A1C1B上的动点,若DP⊥A1C,则点P的轨迹长度是( )
B
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解析 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接DC1,BD,AC,
∵AA1⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,
∴BD⊥AA1,又BD⊥AC,AA1∩AC=A,AA1,AC 平面AA1C,
∴BD⊥平面AA1C,∵A1C 平面AA1C,
∴BD⊥A1C,同理BC1⊥A1C.
∵BC1∩BD=B,BC1,BD 平面BC1D,
∴A1C⊥平面BC1D,
∵DP⊥A1C,点D 平面BC1D,
∴DP 平面BC1D,
∵点P为截面A1C1B上的动点,平面A1C1B∩平面BC1D=BC1,
∴点P的轨迹是线段BC1,长度为 .故选B.
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C
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解析 如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,延长OQ交PF2于点A,
∵OQ∥PF1,O为F1F2的中点,
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二、选择题
9.从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50~350 kW·h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开区间),画出频率分布直方图如图所示,记直方图中六个小矩形的面积从左到右依次为si(i=1,2,…,6),则( )
A.x的值为0.004 4
B.这100户居民该月用电量的中位数为175
C.用电量落在区间[150,350)内的户数为75
D.这100户居民该月的平均用电量为
AD
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解析 由频率分布直方图的性质可知,(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001 2)×50=1,解得x=0.004 4,故A正确;
因为(0.002 4+0.003 6)×50=0.3<0.5,(0.002 4+0.003 6+0.006 0)×50 =0.6>0.5,所以中位数落在区间[150,200)内,设其为m,则0.3+(m-150) ×0.006=0.5,解得m≈183,故B错误;
用电量落在区间[150,350)内的户数为
(0.006 0+0.004 4+0.002 4+0.001 2) ×50×100=70,故C错误;
这100户居民该月的平均用电量为(50+25)s1+(50×2+25)s2+…+(50×6+25)s6= ,故D正确.
故选AD.
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三、填空题
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13.(2024河南郑州模拟)平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理:三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍.若点A,B,C都在圆E上,直线BC的方程为x+y-2=0,且|BC|= ,△ABC的垂心G(2,2)在△ABC内,点E在线段AG上,则圆E的标准方程为 .
(x-3)2+(y-3)2=18
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14.已知圆锥的顶点与底面圆周都在半径为3的球面上,当该圆锥的侧面积最大时,它的体积为 .
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解析 如图,圆锥的顶点为P,底面圆心为C,顶点与底面圆周均在球O的球面上,
则OA=OP=3,设PA=l,CA=r,OC=d,
则圆锥的侧面积为S= ×l×2π×r=πlr,
当r相同时,l越大,则圆锥的侧面积S越大,
由球的对称性知,当P,C两点位于球心O两侧时,
圆锥的侧面积更大.
此时l2=r2+(3+d)2,r2+d2=9,联立得r2=9-d2,l2=6d+18,
故S2=π2l2r2=π2(6d+18)(9-d2)=6π2(-d3-3d2+9d+27).
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设f(x)=-x3-3x2+9x+27,0≤x≤3,
则f'(x)=-3x2-6x+9=-3(x+3)(x-1),
当0≤x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当1即当d=1时,圆锥的侧面积最大,此时r2=9-d2=8,圆锥的体积(共26张PPT)
题型专项练3 客观题11+3标准练(C)
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一、选择题
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3.(2024浙江金华三模)命题P:x1,x2,…,x10的平均数与中位数相等;命题Q:x1,x2,…,x10是等差数列,则P是Q的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
若x1,x2,…,x10分别是1,1,1,1,3,3,5,5,5,5,则平均数和中位数相等,命题P成立,但显然不是等差数列,命题Q不成立,即P推不出Q,所以P不是Q的充分条件.所以P是Q的必要不充分条件.故选B.
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4.(2024贵州遵义三模)某高中某班为了解班内学生每年平均阅读了多少本文学经典名著,让学生自行抽样调查,甲同学抽取了一个容量为10的样本,样本的平均数为4,方差为5;乙同学抽取了一个容量为8的样本,样本的平均数为7,方差为10.将甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本,则合在一起后的样本方差是(结果精确到0.01)( )
A.5.34 B.6.78 C.9.44 D.11.46
C
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5.(2024湖北武汉二模)灯笼起源于中国的西汉时期,两千多年来,每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼,营造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成,上下两部分是两个相同的圆柱的侧面,中间是球面的一部分(除去两个球缺).如图2,“球缺”是指一个球被平面所截后剩下的部分,截得的圆面叫做球缺的底,垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的体积公式为V= (3R-h)h2,其中R是球的半径,h是球缺的高.已知该灯笼的高为40 cm,圆柱的高为4 cm,圆柱的底面圆直径为24 cm,则该灯笼的体积为(取π=3)( )
图1
图2
A.32 000 cm3
B.33 664 cm3
C.33 792 cm3
D.35 456 cm3
B
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A.8 B.6 C.4 D.2
C
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如图,函数y= 的图象与y=g(x)的图象都关于点(1,0)对称,在定义域内有4个交点,所以函数y= 的图象与y=g(x)的图象的所有交点的横坐标之和为2×2=4.故选C.
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7.(2024辽宁沈阳一模)已知有100个半径互不相等的同心圆,其中最小圆的半径为1,在每相邻的两个圆中,小圆的切线被大圆截得的弦长都为2,则这100个圆中最大圆的半径是( )
A.8 B.9 C.10 D.100
C
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8.(2024山东聊城三模)设函数f(x)的定义域为R,导数为f'(x),若当x≥0时, f'(x)>2x-1,且对于任意的实数x,f(-x)=f(x)+2x,则不等式f(2x-1)-f(x)<3x2-5x+2的解集为( )
B
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解析 设g(x)=f(x)-x2+x,因为f(-x)=f(x)+2x,所以g(-x)=f(-x)-x2-x=f(x)+2x-x2-x =f(x)-x2+x=g(x),即g(x)为R上的偶函数,又当x≥0时,f'(x)>2x-1,则g'(x)=f'(x)-2x+1>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减,因为f(2x-1)-f(x)<3x2-5x+2,所以f(2x-1)-(2x-1)2+(2x-1)所以|2x-1|<|x|,即(2x-1)21
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二、选择题
9.(2024山东聊城三模)设方程x2-x+1=0的两根x1,x2在复平面内对应的点分别是X1,X2,则( )
A.x1-x2的实部为1 B.X1,X2关于x轴对称
C.|x1|=|x2|=1
BCD
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10.已知(m+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,(x-1)(m+x)4 =b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5,其中m∈R,m≠0.若a2=3b2,则( )
A.m=2
B.a0+a1+a2+a3+a4=81
C.b1+b2+b3+b4+b5=-16
D.b1+2b2+3b3+4b4+5b5=80
AB
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解析 二项式(m+x)4展开式的通项为Tr+1= m4-rxr(0≤r≤4且r∈N*),
(x-1)(m+x)4=x(m+x)4-(m+x)4,所以a2=
因为a2=3b2,所以6m2=3(4m3-6m2),解得m=0(舍去)或m=2,故A正确;
由(2+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4=34=81,故B正确;
由(x-1)(2+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5,令x=0,得b0=-24=-16,令x=1,得b0+b1+b2+b3+b4+b5=0,所以b1+b2+b3+b4+b5=16,故C错误;
将(x-1)(2+x)4=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4+b5x5两边对x求导,得
(2+x)4+4(x-1)(2+x)3=b1+2b2x+3b3x2+4b4x3+5b5x4,令x=1,得b1+2b2+3b3+4b4+5b5=(2+1)4+4×(1-1)×(2+1)3=81,故D错误.故选AB.
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三、填空题
12.已知集合A={-2,-1,0,1,2},集合B={x|x2-x-a<0},写出满足A∩B={0,1}的一个实数a的值: .
1(答案不唯一)
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14.正三棱锥P-ABC和正三棱锥Q-ABC共底面ABC,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,点P和点Q在平面ABC的异侧,这两个正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角分别为α,β,则当α+β最大时,tan(α+β)= .
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14(共26张PPT)
题型专项练4 客观题11+3标准练(D)
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一、选择题
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1.(2024山东泰安二模)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(1.5≤X<2)=0.36,则P(X>2.5)等于( )
A.0.14 B.0.36 C.0.72 D.0.86
A
解析 由正态曲线的对称性知,P(2≤X<2.5)=P(1.5≤X<2)=0.36,则P(1.5≤X<2.5)=0.36+0.36=0.72,所以P(X>2.5)= =0.14.
故选A.
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2.已知数列{an}为等差数列,a1+a2+a3=9,a3+a7=10,则a8=( )
A.5 B.6 C.7 D.8
解析 由a1+a2+a3=3a2=9,得a2=3,由a3+a7=2a5=10,得a5=5,又a2+a8=2a5,即3+a8=2×5=10,得a8=7.故选C.
C
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4.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”
它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数f(x)=x2-D(x),则下列实数不属于函数f(x)值域的是( )
A.3 B.2 C.1 D.0
C
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5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全,根据国家有关规定:驾驶人员每100 mL血液中的酒精含量大于或等于20 mg、小于80 mg为饮酒后驾车,大于或等于80 mg为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后,血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL.如果他停止喝酒以后,血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少,那么他至少要经过几个小时才能驾驶机动车 ( )(结果取整数,参考数据:lg 3≈0.48,lg 7≈0.85)
A.1 B.2 C.3 D.4
D
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6.(2024辽宁葫芦岛一模)光线从点A(-5,2)射到x轴上,经x轴反射后经过圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上的点B,则该光线从点A到点B的路线长的最小值是( )
A.9 B.10 C.11 D.12
A
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7.(2024山东潍坊二模)如图,圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且2r1+r2=12,半径为4的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切,则圆台的侧面积为( )
A.36π B.64π
C.72π D.100π
D
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解析 如图,作出轴截面,设O1,O2分别为上下底面圆的圆心,M为侧面切点,O为内切球球心,则O为O1O2的中点,由题意知,OM⊥AB,OO1=OM=4,O1O2=8,O1A=MA=r1,O2B=MB=r2,
因为2r1+r2=12,所以r2=12-2r1,则AB=MA+MB=r1+r2=12-r1,过点A作AG⊥O2B于点G,则BG=r2-r1=12-3r1,在Rt△ABG中,由勾股定理得AG2+BG2=AB2,
即82+(12-3r1)2=(12-r1)2,解得r1=2或r1=4,当r1=4时,
r2=12-2r1=4,与r1当r1=2时,r2=12-2r1=8,满足题意.
故AB=10,圆台的侧面积为π×10×(2+8)=100π.故选D.
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8.已知函数f(x)=ex-ax2在R上无极值,则a的取值范围是( )
D
解析 由题意得,f'(x)=ex-2ax,f'(0)=1>0,因为函数f(x)=ex-ax2在R上无极值,所以f'(x)≥0在R上恒成立,即2ax≤ex在R上恒成立.
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二、选择题
ABD
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10.(2024辽宁大连一模)函数f(x)对任意x∈R,都有2f(x)-3f(-x)=5sin 2x+cos 2x,则关于函数g(x)=f(x)+1的命题正确的是( )
BD
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11.(2024河北沧州二模)已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l过点F且与抛物线C交于A,B两点,O为坐标原点,P(2,y0)为抛物线C上一点且|PF|=3,则( )
A.过点M(2,-3)且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条
ACD
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三、填空题
12.已知集合A={x|x2-5x+6=0},B={x|-1解析 集合A={x|x2-5x+6=0}={2,3},B={x|-17
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13.国家鼓励中小学校开展课后服务,某中学为做好课后服务工作,教务科组建了一批社团.当甲、乙、丙、丁4名同学前来教务科申请加入社团时,话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团各分别还能接收1名学生.按学校规定,每人只能加入一个社团,则甲进街舞社团,乙进书法社团或摄影社团的概率为 .
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14(共27张PPT)
题型专项练5 客观题11+3标准练(E)
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一、选择题
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C
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2.设集合A={x|y=ln(2-x)},B={x|x2-3x-4≥0},则下列结论正确的是( )
A.A∪B=R B.A∩B=
C.B RA D.A∩( RB)={x|-1解析 函数y=ln(2-x)中,2-x>0,解得x<2,即A={x|x<2}, RA={x|x≥2},解不等式x2-3x-4≥0,得x≤-1或x≥4,即B={x|x≤-1或x≥4}, RB={x|-1A∪B={x|x<2或x≥4},A错误;
A∩B={x|x≤-1},B错误;
-1∈B,-1 RA,C错误;
A∩( RB)={x|-1D
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3.已知m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法错误的是( )
A.若m⊥α,n∥α,则m⊥n B.若m⊥α,m∥n,则n⊥α
C.若m∥n,n⊥β,m⊥α,则α∥β D.若m⊥α,m⊥n,则n∥α
解析 当n∥α时,过n作平面β,使β∩α=l,则n∥l,因为m⊥α,l α,所以m⊥l,所以m⊥n,故A正确;
当m⊥α时,设a,b是平面α内的两条相交直线,则m⊥a,m⊥b.
因为m∥n,所以n⊥a,n⊥b,所以n⊥α,故B正确;
因为m∥n,n⊥β,所以m⊥β,又m⊥α,所以α∥β,故C正确;
当m⊥α,m⊥n时,n可能在平面α内,故D错误.故选D.
D
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4.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
A
解析 由图象可知,函数f(x)为偶函数,排除C;
函数f(x)的定义域不是实数集,排除B;
当x→+∞时,f(x)→-∞,而D选项中,当x→+∞时,y→0,排除D.故选A.
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5.(2024陕西安康模拟)“孙子定理”又称“中国剩余定理”,最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》,该定理是中国古代求解一次同余式组的方法,它凝聚着中国古代数学家的智慧,在加密、秘密共享等方面有着重要的应用.已知数列{an}单调递增,且由被2除余数为1的所有正整数构成,现将a6,a9,a11,a13的末位数按从小到大排序作为加密编号,则该加密编号为( )
A.1157 B.1177 C.1155 D.1122
解析 由题可知数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1,得a6=11,a9=17,a11=21,a13=25,所以a6,a9,a11,a13的末位数依次为1,7,1,5,故加密编号为1157.故选A.
A
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6.已知集合 ,若a,b,c∈A且互不相等,则使得指数函数y=ax,对数函数y=logbx,幂函数y=xc中至少有两个函数在(0,+∞)上单调递增的有序数对(a,b,c)的个数是( )
A.16 B.24 C.32 D.48
B
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由BF2∥AF1,得∠AF1F2+∠BF2F1=π,即cos∠AF1F2+cos∠BF2F1=0,
在△AF1F2和△BF2F1中,由余弦定理,得
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B
单调递减,故f(x)又因为x>1,ln x+1>1,所以f(x)>0,故f(x)的值域为(0,1).
只有B选项符合条件.故选B.
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二、选择题
9.(2024山东青岛一模)袋子中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,设事件A=“取出的球的数字之积为奇数”,事件B=“取出的球的数字之积为偶数”,事件C=“取出的球的数字之和为偶数”,则( )
A.事件A与B是互斥事件
B.事件A与B是对立事件
C.事件B与C是互斥事件
D.事件B与C相互独立
AB
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解析 因为取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生,且必有一个发生,故事件A与事件B既是互斥事件,也是对立事件,A,B正确;
如果取出的数为2,4,则事件B与事件C均发生,二者不互斥,C错误;
则P(B)P(C)≠P(BC),所以事件B与事件C不相互独立,D错误.故选AB.
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10.(2024浙江绍兴二模)已知数列{an}与{bn}满足a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*),bn=log2(an+1).若数列{an}保持顺序不变,在ak与ak+1项之间都插入2k个bk后,组成新数列{cn},记{cn}的前n项和为Sn,则( )
A.an+1=2n B.bn=n
C.c2 024=10 D.S2 024=20 150
BCD
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解析 因为a1=1,且an+1=2an+1(n∈N*),则a1+1=2,an+1+1=2(an+1)(n∈N*),所以数列{an+1}是以2为首项,2为公比的等比数列,故an+1=2n,得an=2n-1,则an+1=2n+1-1,A错误;
bn=log2(an+1)=log22n=n,B正确;
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11.已知圆锥SO(O为底面圆心)的轴截面是面积为1的等腰直角三角形,P是底面圆周上的一个动点,直线a,b满足a⊥b,a⊥SO,b⊥SO,设直线SP与a所成的角为α,直线SP与b所成的角为β,则( )
BC
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设圆锥的内切球半径为R,易知圆锥内切球的
半径即等于△SCD内切圆的半径.
设A,B是圆锥SO底面圆周上的两点,且AB⊥CD于点O,则直线AB,CD满足AB⊥CD,AB⊥SO,CD⊥SO,又直线a,b满足a⊥b,a⊥SO,b⊥SO,不妨设a∥AB,b∥CD.
以O为原点,OA,OD,OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则S(0,0,1),A(1,0,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0),D(0,1,0),
设P(cos θ,sin θ,0),θ∈[0,2π],
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三、填空题
12.底面边长为6的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,则所得棱台的体积为 .
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13.应用抛物线和双曲线的光学性质,可以设计制造反射式天文望远镜,这种望远镜的特点是镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望远镜的光学系统的原理如图(中心截口示意图)所示.其中,一个反射镜PO1Q弧所在的曲线为抛物线,另一个反射镜MO2N弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知F1,F2是双曲线的两个焦点,其中F2同时又是抛物线的焦点,
y2=32(x+3)
且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2= ,△NF1F2的面积为10,|O1F2|=8,则抛物线方程为 .
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解析 以F1F2的中点O为原点,F1F2所在直线为x轴,F1F2的中垂线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设F1(-c,0),F2(c,0),N(x0,y0)(x0>0,y0>0).
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14(共28张PPT)
题型专项练6 客观题11+3标准练(F)
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一、选择题
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1.设集合A={x|y=lg(x-1)},B={x|x<-2},则A∪( RB)=( )
A.(-2,1)
B.[-2,1)
C.[-2,+∞)
D.(1,+∞)
解析 A={x|y=lg(x-1)}={x|x>1}, RB={x|x≥-2},A∪( RB)=(1,+∞)∪[-2,+∞) =[-2,+∞).
故选C.
C
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2.某乡镇为推动乡村经济发展,优化产业结构,逐步打造高品质的农业生产基地,在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物苗的长势,在试验区随机选取了100株农作物苗,经测量,其高度(单位:cm)分布在区间[10,20]内,按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5组,绘成如图所示的频率分布直方图.若高度不低于16 cm的为“优质苗”,则估计所选取的农作物样本苗中,“优质苗”的株数为( )
A.20
B.30
C.60
D.88
C
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解析 由频率分布直方图知,农作物苗的高度不低于16 cm的频率为(0.20+0.10)×2=0.60,估计选取的农作物样本苗中,“优质苗”的株数为100×0.60=60.故选C.
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3.(2024山东威海二模)已知正项等比数列{an}中,a1=1,且-a5,a4,a6成等差数列,则a2=( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析 因为-a5,a4,a6成等差数列,所以2a4=-a5+a6,因为{an}是正项等比数列,所以2a4=-a4q+a4q2,即2=-q+q2,解得q=2或q=-1(舍去),所以a2=a1q=1×2=2.
A
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5.(2024湖南常德一模)已知三棱锥A-BCD中,AB⊥平面BCD,AB=4,BC=3, CD=5,BD=7,则该三棱锥外接球的表面积为( )
B
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8.(2024浙江金华模拟)若存在直线与曲线f(x)=x3-x,g(x)=x2+a(a∈R)都相切,则a的取值范围是( )
A
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二、选择题
9.某地建立了农业科技图书馆供农民免费借阅书籍,现收集了近5年的借阅数据如下表所示.
年份代码x 1 2 3 4 5
年借阅量y/万册 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据表中的数据,可得y关于x的经验回归方程为 ,下列结论正确的有( )
A. =4.68
B.借阅量4.9,5.1,5.5,5.7,5.8的75%分位数为5.7
C.y与x的样本相关系数r>0
D.第六年的借阅量一定不少于6.12万册
ABC
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10.(2024浙江绍兴二模)已知复数z=x+yi(x,y∈R),其中i为虚数单位,若z满足|z+1|+|z-1|=4,则下列说法中正确的是( )
A.|z|的最大值为2
B.y的最大值为1
AD
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11.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,PA=2 ,点D是△PAB内的动点(含边界,但不与顶点重合),AD⊥CD,则下列结论正确的
是( )
ACD
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解析 如图,把三棱锥P-ABC补成正四棱柱,并建立空间直角坐标系A-xyz,
∵PA⊥平面ABC,
∵AD⊥CD,
∴点D的轨迹是以线段AC为直径的球面与△PAB相交的一段圆弧.
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三、填空题
12.若(2x-m)(x-1)5的展开式中x2的系数为40,则实数m= .
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13.C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,
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14(共11张PPT)
题型专项练7 中低档大题规范练(A)
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1.(13分)(2024安徽淮北二模)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c-b=2csin2 .
(1)试判断△ABC的形状;
(2)若c=1,求△ABC的周长的最大值.
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(1)求椭圆E的方程和离心率;
(2)过点(1,0)且斜率不为零的直线交椭圆E于R,S两点,设直线RS,CR,CS的斜率分别为k,k1,k2,若k1+k2=-3,求k的值.
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3.(15分)如图,已知长方形ABCD中,AB=2,AD=1,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM.
(1)求证:AD⊥BM;
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(1)证明 取AM的中点O,AB的中点N,连接OD,ON,∵M为CD的中点,且CD=AB=2,∴DM=1,又AD=1,O为AM的中点,∴OD⊥AM.
∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,OD 平面ADM,
∴OD⊥平面ABCM.
∵ON 平面ABCM,∴OD⊥ON.
∵AM=BM= ,AB=2,
∴AB2=AM2+BM2,∴AM⊥BM.
∵O为AM的中点,N为AB的中点,
∴ON∥BM,∴ON⊥AM.
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3(共12张PPT)
题型专项练8 中低档大题规范练(B)
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1.(13分)已知向量m=(cos x,-sin x),n=(cos x,sin x-2 cos x),x∈R.设f(x)=m·n.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)在△ABC中,若f(∠BAC)=1,AB=2,BC=,∠BAC的平分线交BC于点D,求AD的长.
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2.(15分)(2024四川广安模拟)已知函数f(x)=ln x-2ax.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
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3.(15分)(2024河北石家庄模拟)如图,在五棱锥S-ABCDE中,平面SAE⊥平面AED,AE⊥ED,SE⊥AD.
(1)证明:SE⊥平面AED;
(2)若四边形ABCD为矩形,且SE=AB=1,AD=3, .当直线DN与平面SAD所成的角最小时,求三棱锥D-SAE的体积.
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(1)证明 ∵平面SAE⊥平面AED,平面SAE∩平面AED=AE,DE 平面AED,DE⊥EA,∴DE⊥平面SAE.
又SE 平面SAE,∴DE⊥SE,
又∵SE⊥AD,ED∩AD=D,AD,DE 平面AED,
∴SE⊥平面AED.
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(2)解 以E为原点,EA,ED,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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3(共14张PPT)
题型专项练9 中低档大题规范练(C)
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1.(13分)(2024浙江温州三模)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥D1-A1DC1后得到如图所示的几何体,四边形ABCD是菱形,AC=4,BD=2,O为AC与BD的交点,B1O⊥平面ABCD.
(1)求证:B1O∥平面A1DC1;
(2)若B1O=2 ,求平面A1DC1与平面BCC1B1夹角的大小.
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(1)证明 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1 DD1,
∴四边形BB1D1D是平行四边形.
∴B1D1 BD.
如图,取A1C1的中点O1,连接B1O1,O1D,
∵四边形ABCD是菱形,O是AC与BD的交点,
∴AC⊥BD于点O,O是BD的中点,
∴B1O1 OD.
∴四边形B1O1DO是平行四边形,
∴B1O O1D.
又B1O 平面A1DC1,O1D 平面A1DC1,
∴B1O∥平面A1DC1.
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(2)解 以O为原点,OD,OC,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-2,0),D(1,0,0),C(0,2,0),B(-1,0,0),
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2.(15分)(2024浙江杭州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
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(1)解 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
由S4=4S2,a2n=2an+1,
解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*).
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3.(15分)(2024山东日照二模)某公司采用某方案测试员工的业务技能,并对测试成绩进行统计分析,以确定员工的绩效等级.
(1)已知该公司甲部门有3名负责人,乙部门有4名负责人,该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人做测试分析,记负责人来自甲部门的人数为X,求X最有可能的取值.
(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100)与绩效等级优秀率y,如下表所示:
x 32 41 54 68 74 80 92
y 0.28 0.34 0.44 0.58 0.66 0.74 0.94
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(ⅰ)已知某部门测试的平均成绩为60分,估计其绩效等级优秀率;
(ⅱ)根据统计分析,大致认为各部门测试平均成绩x~N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数 ,σ2近似为样本方差s2.经计算s≈20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.
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参考公式与数据:①ln 0.15≈-1.9,ln 3.32≈1.2,ln 5.2≈1.66.
③若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ=0.954 5,P(μ-3σ1
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3(共11张PPT)
题型专项练10 中低档大题规范练(D)
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1.(13分)已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=2log2an+1,且b1=1,b4=7.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*都有2λan≥bn-2,求实数λ的取值范围.
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解 (1)因为bn=2log2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=2log2a1+1=1,b4=2log2a4+1=7,得a1=1,a4=8.
因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3= =8,得q=2,所以an=a1qn-1 =2n-1,则bn=2log2an+1=2(n-1)+1=2n-1.
当n≤2时,f(n+1)-f(n)>0,则f(3)>f(2)>f(1);
当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,则f(3)>f(4)>f(5)>….
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2.(15分)(2024河北唐山二模)某学校组织游戏活动,让学生从盒子中有放回地摸球.规定每次只能摸取1个球,且每次摸球的结果相互独立.已知盒中有1分球和2分球若干,摸到1分球的概率为 ,摸到2分球的概率为 .
(1)若学生甲摸球2次,其总得分记为X,求随机变量X的分布列与期望;
(2)学生甲、乙各摸5次球,若两人的最终得分相同,则都不获得奖励;若不同,则得分多者获得奖励.已知甲前3次摸球得了6分,求乙获得奖励的概率.
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3.(15分)如图,在棱长均为2的斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的投影O是棱AC的中点,P为棱A1B1(包含端点)上的动点.
(1)求点P到平面ABC1的距离;
(2)若AP⊥平面α,求直线BC1与平面α所成角的正弦值的取值范围.
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解 (1)由题意知,A1O⊥平面ABC,OB⊥AC(底面△ABC为正三角形),且A1O=OB= ,
以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
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因为A1B1∥AB,A1B1 平面ABC1,AB 平面ABC1,所以A1B1∥平面ABC1,
又点P在棱A1B1上,所以点P到平面ABC1的距离等于点A1到平面ABC1的距离,
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