(共57张PPT)
第1讲 函数的图象与性质
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一、函数的概念与性质
1.求函数定义域的方法是依据使含自变量x的代数式有意义列出相应的不等式(组)求解.
(1)若f(x)的定义域为[m,n],则f[g(x)]的定义域是由m≤g(x)≤n,解得x的取值范围;
(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n,得到g(x)的值域即为f(x)的定义域;
(3)对于分段函数的定义域为每段x的取值范围的并集,值域为每段y的取值范围的并集.
2.求函数的值域要优先考虑定义域,常用方法:配方法、分离常数法、换元法、单调性法、基本不等式法、数形结合法.
3.函数的单调性
函数单调性的判断方法 (1)定义法.
(2)图象法.
(3)性质法,即f(x)与g(x)的和与差的单调性(相同区间上):简记为↗+↗=↗;↘+↘=↘;↗-↘=↗;↘-↗=↘.
(4)导数法
复合函数的单调性 对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同,则y=f[g(x)]为增函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y=f[g(x)]为减函数.简称“同增异减”
4.函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x) =f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数
奇偶性 偶函数 奇函数
性质 图象关于y轴对称 图象关于原点对称
如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|) 如果函数f(x)是奇函数,且0在定义域内,那么f(0)=0
偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性
奇函数±奇函数=奇函数;偶函数±偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)奇函数=偶函数;偶函数×(÷)偶函数=偶函数; 奇函数×(÷)偶函数=奇函数;(两个函数定义域的交集非空,除法时作分母的函数不等于0) 5.函数的周期性与对称性
二、基本初等函数、函数的应用
1.基本初等函数
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 a>1 增函数 在(0,+∞)内为增函数 α>0 幂函数的图象过原点,并且在区间[0,+∞)内单调递增
名称 指数函数y=ax 对数函数y=logax 幂函数y=xα 性 质 0
过定点 过定点(0,1) 过定点(1,0) 过定点(1,1) 对称性 指数函数y=ax与 的图象关于y轴对称 函数y=logax与 y= 的图象关于x轴对称 函数f(x)=kxα为幂函数,则k=1 指数函数与对数函数互为反函数,图象关于直线y=x对称 2.函数的应用
函数的零点与方程解的关系 方程F(x)=f(x)-g(x)的零点 f(x)=g(x)的根 函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象交点的横坐标
确定函数零点的方法 (1)直接解方程法;(2)利用零点存在性定理;(3)数形结合,利用两个函数图象的交点求解
三、利用导数研究函数的单调性、极值、最值
导数的几何意义 (1)函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0);
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同;
(3)切点既在曲线上,又在切线上
利用导数研究函数的单调性 导数法求函数单调区间的步骤:
(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)求f'(x)(通分、合并、因式分解);
(3)解不等式f'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间
利用导数研究函数的极值 (1)导函数f'(x)的变号零点,即为函数f(x)的极值点;
(2)函数的极大值不一定大于函数的极小值
利用导数研究函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值;
(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.f(x)在[a,b]上的最值在极值点或端点处取得.
常用不等式 ex≥x+1,ln x≤x-1,x≥sin x(x≥0)
链高考1.(2021全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是( )
A.y=x2+2x+4
C.y=2x+22-x
C
链高考2.(2024新高考Ⅰ,6)已知函数 在R上单调递增,则a的取值范围是( )
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
解析 当x≥0时,f(x)=ex+ln(x+1)单调递增,当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足 解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0].
B
链高考3.(2024天津,4)下列函数是偶函数的是( )
B
微点拨 若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b对称,则函数f(x)的周期为
2|a-b|;若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x=b对称,则函数f(x)的周期为4|a-b|;若函数f(x)的图象有两个对称中心(a,0),(b,0),则函数f(x)的周期为
2|a-b|.
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
链高考5.(2024北京,9)已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x图象上不同的两点,则下列正确的是( )
A
链高考6.(2024新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=( )
D
(方法二)h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x.又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2.故选D.
链高考7.(2024全国甲,理6)设函数 ,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A
链高考8.(多选题)(2024新高考Ⅱ,11)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1时,f(x)有三个零点
B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点
C.存在a,b使得直线x=b为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
AD
解析 由题得,f'(x)=6x2-6ax=6x(x-a).当a>1时,x∈(-∞,0),函数f(x)单调递增,x∈(0,a),函数f(x)单调递减,x∈(a,+∞),函数f(x)单调递增.又极大值f(0)=1>0,极小值f(a)=1-a3<0,所以f(x)有三个零点,A正确;
当a<0时,x=0是f(x)的极小值点,B错误;
任何三次函数不存在对称轴,C错误;
f(1+x)+f(1-x)=12x2-6ax2+6-6a,当a=2时,f(1+x)+f(1-x)=-6=2f(1),D正确.故选AD.
考点一 函数的概念及表示
A.(2,3)
B.(2,3]
C.(2,3)∪(3,6]
D.(2,3)∪(3,4]
A
A.8 B.12 C.16 D.24
D
解析 由1所以f(2+log23)=f(3+log23)= =24.故选D.
(3)(2023上海)已知函数 则函数f(x)的值域为 .
[1,+∞)
解析 当x≤0时,f(x)=1,当x>0时,f(x)=2x>1,所以函数f(x)的值域为[1,+∞).
[对点训练1](1)若函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则y=f(x)-f(-x)的定义域
为( )
A.[-2,2] B.[-2,4]
C.[-4,4] D.[-8,8]
C
解析 因为函数y=f(2x)的定义域为[-2,4],则-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函数y=f(x)的定义域为[-4,8],对于函数y=f(x)-f(-x),则有 解得-4≤x≤4,因此,函数y=f(x)-f(-x)的定义域为[-4,4].故选C.
(2)(2024山东名校联考模拟)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数,例如[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)= ,则函数y=[f(x)]的值域为( )
A.(0,+∞) B.[0,+∞)
C.N D.N*
C
解析 因为f(x)= ,所以x≥0,故 ≥0,即f(x)≥0,而由题意可知,当x≥0时,函数y=[f(x)]的值域为N,故选C.
(3)存在函数f(x)满足:对任意x∈R都有( )
A.f(|x|)=x3 B.f(sin x)=x2
C.f(x2+2x)=|x| D.f(|x|)=x2+1
D
解析 对于A,当x=1时,f(|1|)=f(1)=1;当x=-1时,f(|-1|)=f(1)=-1,不符合函数定义,A错误;
对于B,令x=0,则f(sin 0)=f(0)=0,令x=π,则f(sin π)=f(0)=π2,不符合函数定义,B错误;
对于C,令x=0,则f(0)=0,令x=-2,则f((-2)2+2×(-2))=f(0)=2,不符合函数定义,C错误;
对于D,f(|x|)=x2+1=|x|2+1,x∈R,因为|x|≥0,则存在x≥0时,f(x)=x2+1,符合函数定义,D正确.
考点二 函数的图象
例2(1)(2023天津,4)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
D
(2)(多选题)(2024江西吉安模拟)已知函数 若x1A.x1+x2=-4 B.x3x4=1
C.1AB
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t,则0对于A,函数y=-x2-4x的图象关于直线x=-2对称,则x1+x2=-4,故A正确;
对于B,由图象可知|log2x3|=|log2x4|,且0当x≤0时,f(x)=-x2-4x=-(x+2)2+4≤4,由图象可知log2x4∈(0,4),则1由图象可知-4[对点训练2](1)(2022全国甲,理5)函数y=(3x-3-x)cos x在区间 的图象大致为( )
A
解析 设f(x)=(3x-3-x)cos x,则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),所以函数为奇函数,排除B,D选项.
又f(1)=(3-3-1)cos 1>0,排除C选项.故选A.
(2)(多选题)已知函数 若关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,则实数m的取值范围是 .
[1,3)∪{0}
解析 因为关于x的方程f(x)-m=0恰有两个不同的实数解,所以函数y=f(x)的图象与直线y=m的图象有两个交点,作出函数图象,如图所示,
所以当m∈[1,3)∪{0}时,函数y=f(x)与y=m的图象有两个交点,所以实数m的取值范围是[1,3)∪{0}.
考点三 函数的性质(多考向探究预测)
考向1单调性与奇偶性
例3(1)(2020山东,8)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是( )
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]
D
A.aC.aC
考向2奇偶性、周期性与对称性
例4(1)(多选题)(2024海南一模)已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(2x-1) =f(3-2x),当x∈[0,1]时,f(x)=x,则下列结论正确的是( )
A.函数f(x)的周期为4
B.函数f(x)在[2 024,2 025]上单调递增
D.方程f(x)=log5|x|有4个根
ABC
解析 因为f(2x-1)=f(3-2x),所以f(x-1)=f(3-x),所以f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以函数f(x)的周期为4,故A正确;
当x∈[0,1]时,f(x)=x,所以函数f(x)在[0,1]上单调递增,
因为函数f(x)的周期为4,所以函数f(x)在[2 024,2 025]上的单调性与在[0,1]上的单调性相同,故B正确;
又因为f(0)=0,f(1)=1,当x=0时,则f(2)=-f(0)=0,
当x=1时,则f(3)=-f(1)=-1,
又f(4)=f(0)=0,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,
又当x∈[0,1]时,f(x)=x,结合对称性与周期性作出函数f(x)的图象,如图,
作出y=log5|x|的图象,由图知两函数共有5个交点,可得方程f(x)=log5|x|有5个根,则D错误.故选ABC.
(2)(多选题)(2024河南郑州二模)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y,有f(x+y)f(x-y)=[f(x)]2-[f(y)]2,f(1)=1,f(2x+1)为偶函数,则( )
A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数
C.f(2+x)=-f(2-x)
ACD
解析 令x=y=0,得[f(0)]2=[f(0)]2-[f(0)]2=0,即f(0)=0,A正确;
令x=0,得f(y)f(-y)=[f(0)]2-[f(y)]2,又f(0)=0,所以f(y)[f(-y)+f(y)]=0对任意y∈R恒成立.
因为f(1)=1,所以f(y)不恒为0,
所以f(-y)+f(y)=0,即f(-y)=-f(y),B错误;
将f(x)的图象向左平移1个单位长度后,再将图象上所有点的横坐标变为原来的 ,纵坐标不变,可得f(2x+1)的图象,因为f(2x+1)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=f(2-x),又f(x)为奇函数,所以f(2-x)=-f(x-2)=-f[2-(x-2)]=-f(4-x)=f(x-4),
所以f(x)=f(x-4),所以f(-x)=f(-x-4),即-f(x)=-f(x+4),即f(x)=f(x+4),所以4为f(x)的周期.
由f(x)=f(x-4)可得f(x+2)=f(x-2)=-f(2-x),C正确;
因为f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,f(2)=f(2-2)=f(0)=0,f(4)=f(0)=0,
所以 f(k)=506[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=0,D正确.故选ACD.
[对点训练3](1)(2024河北石家庄模拟)已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数
A.f(x)是奇函数且在(0,+∞)内单调递减
B.f(x)是奇函数且在(-∞,0)内单调递增
C.f(x)是偶函数且在(0,+∞)内单调递减
D.f(x)是偶函数且在(-∞,0)内单调递增
A
BD
得f(x)的图象关于点(1,0)对称,即f(1+x)=-f(1-x).
所以f(x+2)=f(1+(1+x))=-f(1-(1+x))=-f(-x)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以函数f(x)是周期函数,且周期为4.
又f(x)在[0,1]上单调递增,所以在[0,1]上,有f(x)≤0.
所以函数的草图如下:(共43张PPT)
第2讲 基本初等函数、函数的应用
考点一 基本初等函数的图象与性质
D
A.b>c>a B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
A
(3)(2024山东淄博一模)设方程ex+x+e=0,ln x+x+e=0的根分别为p,q,函数
a>c>b
解析 由ex+x+e=0,得ex=-x-e,由ln x+x+e=0,得ln x=-x-e,
依题意,直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象交点的横坐标分别为p,q,而函数y=ex,y=ln x互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x-e垂直于直线y=x,因此直线y=-x-e与函数y=ex,y=ln x图象的交点关于直线y=x对称,即点(p,q)在直线y=-x-e上,则p+q=-e,f(x)=ex-ex,于是f(0)=1,
[对点训练1](1)(2023新高考Ⅰ,4)设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)内单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
D
解析 (方法一 导数法)由题意知,在f(x)=2x(x-a)中,f'(x)=(2x-a)2x(x-a)ln 2,由函数在(0,1)内单调递减,知(2x-a)2x(x-a)·ln 2≤0在(0,1)内恒成立,即2x-a≤0在(0,1)内恒成立,即a≥(2x)max,所以a≥2.故选D.
(方法二 复合函数法)因为函数y=2x在R上是增函数,要使复合函数
(2)(2024陕西安康模拟)已知正数a,b满足aea=bln b=2,则( )
A.a<1B.aC.a>1>b
D.a>b>1
A
(3)(多选题)(2024山东临沂一模)已知函数f(x)= +a(a∈R),则( )
A.f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)
B.f(x)的值域为R
C.当a=1时,f(x)为奇函数
D.当a=2时,f(-x)+f(x)=2
ACD
故选ACD.
考点二 函数的零点(多考向探究预测)
考向1函数零点个数的判断
例2(1)(多选题)(2024四川雅安模拟)已知函数f(x)=2x+ -4,若存在x1A.x1<1
B.x2>1
C.f(x)在(x1,x2)内有零点
BCD
解析 因为f(x)=2x+ -4在[0,+∞)上单调递增,且x1所以f(x1)<0,f(x2)>0,根据零点存在定理可得函数f(x)在(x1,x2)内有零点,故C正确;
又因为f(1)=-1<0,所以x2>1,故B正确;
(2)(2024福建漳州模拟)已知函数 则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为( )
A.3 B.5 C.6 D.8
B
解析 依题意,函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数,即为方程f(f(x)-1)=0解的个数,
又f(x)-1=t,则f(x)=t+1,
当t=0时,f(x)=1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=1有两个解;
当t=-2时,f(x)=-1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=-1有两个解;
当t=t1,t1∈(1,e)时,f(x)=t1+1,由y=f(x)的图象知,方程f(x)=t1+1有一个解.综上所述,函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为5.故选B.
考向2求参数的值或范围
例3(1)(2024陕西榆林二模)已知函数f(x)=(x2-4x+m)( -m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
B
这两个函数的图象的交点为(0,0),(3,3),因为g(x)max=4,h(x)>-1,
所以由图可知m的取值范围是(-1,0)∪(0,3)∪(3,4).故整数m=1或2,个数为2.故选B.
(2)(2023天津,15)若函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且仅有两个零点,则a的取值范围为 .
(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)
解析 解含参数、含绝对值的二次函数问题的基本思想:去绝对值符号、分类讨论.
令g(x)=x2-ax+1(如何去绝对值 利用g(x)=0的Δ=a2-4来讨论),方程g(x)=0的判别式Δ=a2-4.
①当Δ≤0,即-2≤a≤2时,x2-ax+1≥0恒成立,
所以f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1).
若a=0或a=1,
则f(x)仅有一个零点-1;
若a≠0且a≠1,则f(x)有两个零点-1, .
②当Δ>0,即a>2或a<-2时,分两种情况.
若x2-ax+1≥0,有f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1=[(a-1)x-1](x+1)(*),
若x2-ax+1<0,有f(x)=ax2-2x+x2-ax+1=(a+1)x2-(a+2)x+1=[(a+1)x-1](x-1) (**),
考向3零点的代数式问题
D
又曲线y=(x+1)2的对称轴为直线x=-1,在同一平面直角坐标系中画出y=f(x)与y=a的图象,因为方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1[对点训练2](1)(2024云南昆明模拟)已知x1是函数f(x)=xln x-2 024的一个零点,x2是函数g(x)=xex-2 024的一个零点,则x1·x2的值为( )
A.1 012 B.2 024 C.4 048 D.8 096
B
(2)(多选题)(2024广东深圳模拟)已知函数 下列关于函数y=f(|f(x)|)-2的零点个数的判断,其中正确的是( )
A.当k>0时,有2个零点
B.当k<0时,至少有2个零点
C.当k>0时,有1个零点
D.当k<0时,可能有4个零点
ABD
解析 设|f(x)|=t,若k>0时,由f(t)=2,可得t=9,即|f(x)|=9,画出y=|f(x)|的大致图象如图所示,则直线y=9与y=|f(x)|的图象有两个交点.
(3)已知g(x)和h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g(x)+h(x)
=2 023x+log2 023(x+ ),若函数f(x)=2 023-|x-2 023|-λg(x-2 023)-2λ2有唯一零点,则实数λ的值为( )
D
考点三 函数模型及其应用
例5(1)(2024江苏一模)德国天文学家开普勒提出了行星运动第三定律——绕以太阳为焦点的椭圆轨道运行的所有行星,其椭圆轨道的长半轴长a与公转周期T有如下关系: ,其中M为太阳质量,G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍,则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星的椭圆轨道长半轴长的( )
A.2倍 B.4倍
C.6倍 D.8倍
B
(2)(多选题)(2023新高考Ⅰ,10)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≥p2 B.p2>10p3 C.p3=100p0 D.p1≤100p2
ACD
[对点训练3](1)(2024四川宜宾二模)根据调查统计,某市未来新能源汽车保有量基本满足模型 ,其中y(单位:万辆)为第x年底新能源汽车
的保有量,p为年增长率,N为饱和度,y0为初始值.若该市2023年底的新能源汽车保有量是20万辆,以此为初始值,以后每年的增长率为12%,饱和度为1 300万辆,那么2033年底该市新能源汽车的保有量约为( )(结果四舍五入保留整数,参考数据ln 0.887≈-0.12,ln 0.30≈-1.2)
A.65万辆 B.64万辆
C.63万辆 D.62万辆
B
(2)(多选题)(2024重庆模拟预测)放射性物质在衰变中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注,已知放射性物质数量随时间t的衰变公式为
N0表示物质的初始数量,τ是一个具有时间量纲的数,研究放射性物质常用到半衰期,半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间,已知ln 2≈0.7,表中给出了铀的三种同位素τ的取值:若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1,T2,T3,则( )
物质 τ的量纲单位 τ的值
铀234 万年 35.58
铀235 亿年 10.2
铀238 亿年 64.75
A.T=τln 0.5 B.T与τ成正比例关系 C.T1>T2 D.T3>10 000T1
BD
B选项,由A可知,T与τ成正比例关系,B正确;
C选项,由B可知,T与τ成正比例关系,且ln 2>0,由于铀234的τ值小于铀235的τ值,故T1D选项,T3=τln 2=6.475×109ln 2,T1=τln 2=3.558×105ln 2,(共45张PPT)
第3讲 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
考点一 导数的几何意义(多考向探究预测)
考向1导数几何意义的应用
C
(2)(2022新高考Ⅰ,15)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
(-∞,-4)∪(0,+∞)
(3)(2022新高考Ⅱ,14)曲线y=ln|x|经过坐标原点的两条切线方程分别为 , .
考向2公切线问题
D
(2)(2024福建模拟预测)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则( )
A
[对点训练1](1)(2024陕西西安二模)已知直线y=kx+b与曲线f(x)=ax2+2+ln x相切于点P(1,4),则a+b+k=( )
A.3 B.4
C.5 D.6
解析∵点P(1,4)在曲线f(x)=ax2+2+ln x上,∴a+2=4,解得a=2.
由题意得,f'(x)=2ax+ =4x+ ,∴在点P(1,4)处的切线斜率k=5,把P(1,4)代入y=kx+b,得b=-1,
∴a+b+k=2-1+5=6,故选D.
D
(2)(2024安徽黄山模拟)已知函数f(x)=ln x- 在点(1,-1)处的切线与曲线y=ax2+(a-1)x-2只有一个公共点,则实数a的取值范围为( )
A.{1,9} B.{0,1,9}
C.{-1,-9} D.{0,-1,-9}
B
所以切线方程是y=2(x-1)-1=2x-3,
①若a=0,则曲线为y=-x-2,显然切线与该曲线只有一个公共点;
②若a≠0,则2x-3=ax2+(a-1)x-2,即ax2+(a-3)x+1=0,
由Δ=(a-3)2-4a=0,即a2-10a+9=0,得a=1或a=9.
考点二 利用导数研究函数的单调性(多考向探究预测)
考向1求函数的单调区间
(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意.
综上,a≤3.
考向2单调性的应用
例4(1)(2023新高考Ⅱ,6)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则a的最小值为( )
A.e2 B.e C.e-1 D.e-2
C
A.bC.aA
[对点训练2](1)(2024浙江杭州模拟)函数f(x)=ln(2x-1)-x2+x的单调递增区间是( )
D
D
(3)(2023全国乙,理16)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)单调递增,则a的取值范围是 .
解析 由题意得f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a).易知f'(x)不恒为0.
∵f(x)在(0,+∞)上单调递增,∴f'(x)=ax·ln a+(1+a)x·ln(1+a)≥0对 x>0恒成立.
考点三 利用导数研究函数的极值
例5(2024广东韶关二模)已知函数f(x)=ax+ +2ln x在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.
(1)求实数a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)在(1,+∞)内单调递增.
故x=1时,函数f(x)有极小值f(1)=4,无极大值.
故函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1),函数有极小值f(1)=4,无极大值.
[对点训练3](1)(2024河南郑州一模)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且
f(x)=- f'(3)ln x-f(1)x2-4x,则f(x)的极值点为( )
D
(2)(多选题)(2024重庆模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的部分图象如图所示,则( )
A.f(x)在(a,b)内有极小值
B.f(x)在(a,b)内有极大值
C.g(x)=f(x)·e-x在x=a时取极小值
D.g(x)=f(x)·e-x在x=b时取极小值
BD
解析 根据f(x)与f'(x)的关系可知,f(x)先递增后递减再递增,f'(x)先递减后递增,由图象可知f(x)在(a,b)内有极大值,无极小值,故A错误,B正确;
当xf(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,a)内单调递增,
当a当x>b时,f'(x)>f(x),则f'(x)-f(x)>0,可得g'(x)>0,所以g(x)在(b,+∞)内单调递增.综上所述,g(x)在x=a时取极大值,在x=b时取极小值,故C错误,D正确.故选BD.
考点四 利用导数研究函数的最值
例6(1)(2024山东枣庄模拟)已知函数f(x)= +2ax,则下列关于f(x)的结论中正确的是( )
A.若a≤0,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
B.若a≥1,则f(x)在[1,+∞)上有最小值
C.若a= ,则f(x)有最大值
D.f(x)关于点(0,1)中心对称
B
(2)(2024北京石景山模拟)已知x=1是函数f(x)=ax3-3x的一个极值点,其中a为实数,则f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
C
解析 f'(x)=3ax2-3,因为x=1是y=f(x)的一个极值点,所以f'(1)=3a-3=0,解得a=1,则f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),x∈[-2,2].当x∈(-2,-1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(1,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,符合题意,所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-1)=-1+3=2,又f(2)=23-3×2=2,所以函数f(x)在[-2,2]上的最大值为2,故选C.
[对点训练4](1)(2024河北邢台模拟)函数的凹凸性是函数的重要性质之一.函数凹凸性的定义:函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,x0是(a,b)内任一点.若曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线弧的下方,则称曲线弧在(a,b)内是凹的;若曲线弧上点(x0,f(x0))处的切线总位于曲线弧的上方,则称曲线弧在(a,b)内是凸的.函数f(x)在区间上为凹(凸)函数等价于f(x)的导函数在区间上单调递增(递减).若f(x)=mex-x3+1在定义域内是凹函数,则m的最小值是( )
B
A(共31张PPT)
培优拓展(一)抽象函数问题
抽象函数是指没有具体地给出解析式,只给出它的一些特征或性质的函数;抽象函数型综合问题,一般通过对函数性质的代数表述,综合考查学生对于数学符号语言的理解和接受能力,考查对于函数性质的代数推理和论证能力,考查学生对于一般和特殊关系的认识,是考查学生能力的较好途径.抽象函数问题既是高考的难点,又是近几年高考的热点.
角度一 赋值法的应用
例1(1)(多选题)(2023新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则( )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
ABC
解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
(2)(2024辽宁抚顺一模)已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)满足对任意x≠0,y≠0,有f(x+y)[f(x)+f(y)]=f(x)f(y),f(1)=2,且当x∈(0,+∞)时,f(x)>0恒成立,则下列结论正确的是( )
A.f( )=6
B.f(2x)=2f(x)
C.f(x)为奇函数
D.f(x)在区间(0,+∞)是单调递增函数
C
假设存在x<0,使f(x)=0.把y用-2x代换,则有f(-x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),
即f(-x)f(-2x)=0,又当x>0时,f(x)>0,所以产生矛盾,即x<0时,f(x)≠0,则f(x)≠0在函数f(x)的定义域内恒成立.
令-x代换x,y,则f(-x-x)[f(-x)+f(-x)]=f(-x)f(-x),即2f(-2x)·f(-x)=f(-x)f(-x),
所以2f(-2x)=f(-x),令-x代换x,所以2f(2x)=f(x),故B错误;
令y=-2x,则f(x-2x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)·[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x).
化简可得f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故C正确;
令x=y=1,则f(2)[f(1)+f(1)]=f(1)f(1),解得f(2)=1,f(1)=2>f(2)=1,故D错误.故选C.
角度二 特殊函数模型的应用
ABD
(2)(2024吉林模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y), f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),则 f(k)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
D
解析(方法一)令x=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,可得f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数.因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,
(方法二)由题意知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),f(0)=1,
令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数;
又f(3x+1)=-f(-3x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0,
又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,
即f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,则f(2)=-f(0)=-1.
f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x+2)=-f(-x),又结合f(x)为偶函数,
则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4为f(x)的周期,
故f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,
故 f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2 024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]
=1+506×(0-1+0+1)=1,故选D.
角度三 抽象函数性质的综合应用
例3(1)(多选题)(2024山东聊城一模)设f(x)是定义在R上的可导函数,其导数为g(x),若f(3x+1)是奇函数,且对于任意的x∈R,f(4-x)=f(x),则对于任意的k∈Z,下列说法正确的是( )
A.4k都是g(x)的周期
B.曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称
C.曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称
D.g(x+4k)是偶函数
BC
解析 由f(3x+1)是奇函数,故有f(3x+1)=-f(-3x+1),即有f(x+1)=-f(-x+1),
故f'(x+1)=f'(-x+1),即g(x+1)=g(-x+1),故函数g(x)的图象关于直线x=1对称,
由f(4-x)=f(x),则-f'(4-x)=f'(x),即-g(4-x)=g(x).
故函数g(x)的图象关于(2,0)中心对称.
由-g(4-x)=g(x),则-g(3-x)=g(x+1),又g(x+1)=g(-x+1),故g(-x+1)=-g(3-x),即有g(x+1)=-g(3+x),
则g(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+1),
即g(x+1)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)的周期为4.
对于A,当k=0时,4k=0,故A错误;
对于B,由g(x)周期为4,故g(4k-x)=g(-x),又-g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),
故g(-x)=-g(x)=g(4k-x),故曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称,故B正确;
对于C,由g(x)的周期为4,故g(4k+2-x)=g(2-x),又g(x+1)=g(-x+1),
故g(x)=g(-x+2)=g(4k+2-x),故曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称,故C正确;
对于D,由选项B得-g(x)=g(4k-x),故-g(-x)=g(4k+x),又g(x)的周期为4,
故有-g(-x)=-g(4k-x),故g(4k+x)=-g(4k-x),又x∈R,即g(x+4k)都是奇函数,故D错误.故选BC.
(2)(多选题)(2024山东青岛期末)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,若f(x)是奇函数,f(2)=-f(1)≠0,且对任意x,y∈R,f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),则( )
ABD
解析 因为f(x+y)=f(x)f'(y)+f'(x)f(y),令x=y=1,得f(2)=2f(1)f'(1),又因为
f(2)=-f(1)≠0,所以f'(1)=- ,故A正确;
因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(0)=0,且f'(x)为偶函数.令y=1,可得f(x+1)=f(x)f'(1)+f'(x)f(1).①
再用-x代替x,可得f(1-x)=f(-x)·f'(1)+f'(-x)f(1)=-f(x)f'(1)+f'(x)f(1),
则f(x-1)=f(x)f'(1)-f'(x)f(1).②
①+②,得f(x+1)+f(x-1)=2f(x)·f'(1),则f(x+1)=-f(x)-f(x-1),
所以f(x+2)=-f(x+1)-f(x),
f(x+3)=-f(x+2)-f(x+1)=f(x+1)+f(x)-f(x+1)=f(x),
所以f(x)是周期为3的周期函数,所以f(6)=f(3)=f(0)=0,故B正确;
针对训练
1.(多选题)(2024安徽安庆二模)已知定义在R上的函数f(x),满足对任意的实数x,y,均有f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,则( )
A.f(0)=1
B.f(1)+f(-1)=1
C.函数f(x)为减函数
D.函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称
ACD
解析 (方法一)由f(x+y)=f(x)+f(y)-1,且当x>0时,f(x)<1,可以令f(x)=-x+1,则f(0)=1,A正确;f(1)+f(-1)=0+2=2,B错误;f(x)=-x+1为减函数,C正确;因为f(0)=1,所以D正确.故选ACD.
(方法二)对于A,令x=y=0,则有f(0)=f(0)+f(0)-1,故f(0)=1,故A正确;
对于B,令x=1,y=-1,则有f(0)=f(1)+f(-1)-1,故f(1)+f(-1)=2,故B错误;
对于C,令y>0,则有f(x+y)-f(x)=f(y)-1,其中x+y>x,f(y)-1<0,
令x1=x+y,x2=x,即有对 x1,x2∈R,当x1>x2时,f(x1)-f(x2)<0恒成立,即函数f(x)为减函数,故C正确;
对于D,令y=-x,则有f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,又f(0)=1,
故f(x)+f(-x)=2,故函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称,故D正确.故选ACD.
D
解析 由f(x+2)+f(x)=f(4),得f(x+4)+f(x+2)=f(4),则f(x+4)=f(x),即函数f(x)的周期为4.
由f(2x+1)是R上的奇函数,得f(-2x+1)=-f(2x+1),即f(-x+1)+f(x+1)=0,于是
D正确.故选D.
3.(多选题)(2024浙江宁波期末)已知函数f(x)满足:对 x,y∈R,都有
f(x-y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+y),且f(0)≠f(2),则以下选项正确的是( )
A.f(1)=0 B.f(0)=0
C.f(x)+f(2-x)=0 D.f(x+4)=f(x)
ACD
解析 对于A,令x=y=0,则f(0)=[f(0)]2+[f(1)]2,
令x=y=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2,所以[f(0)]2=[f(2)]2,
因为f(0)≠f(2),所以f(0)=-f(2).
令x=1,y=0,则f(1)=f(0)f(1)+f(1)f(2)=0,故A正确;
对于B,结合选项A可得f(0)=[f(0)]2,所以f(0)=0,或f(0)=1.
若f(0)=0,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=0,
所以f(2)=0,此时与f(0)≠f(2)矛盾,舍去;
若f(0)=1,则f(0)=[f(1)]2+[f(2)]2=1,解得f(2)=±1,
因为f(0)≠f(2),所以f(2)=-1,故B错误;
对于C,令x=0,则f(-y)=f(0)f(y)+f(1)f(1+y),因为f(1)=0,f(0)=1,所以f(-y)=f(y),所以f(x)为偶函数,
令x=1,则f(1-y)=f(1)f(y)+f(2)f(1+y)=f(2)f(1+y)=-f(1+y),
所以f(1-y)=-f(1+y),令y=1-x,则f(x)=-f(2-x),
即f(x)+f(2-x)=0,故C正确;
对于D,因为f(x)=-f(2-x),
把x换成x+2,则f(x+2)=-f(-x),又f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(x+2)=-f(x).
把x换成x+2,则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x+4)=f(x),故D正确.故选ACD.
4.(多选题)(2024湖南衡阳二模)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,
y=g(x+4)-3是奇函数,且g(x)-f(x-2)=2,f(x)+g(x+6)=4,g(2)=4,则( )
A.g(4)=3 B.f(x)为奇函数
C.g(x+2)为偶函数
ACD
解析 由y=g(x+4)-3是奇函数,则g(-x+4)-3=-g(x+4)+3,即g(-x+4)+g(x+4)=6,令x=0,则g(4)=3,故A正确;
由g(x)-f(x-2)=2,g(2)=4,令x=2,则f(0)=2≠0,故f(x)不是奇函数,故B错误;
由g(-x+4)+g(x+4)=6,把x代换成x-2,则g(-x+6)+g(x+2)=6,
故g(x+2)=6-g(-x+6),所以g(-x+2)=6-g(x+6)=6-(4-f(x))=2+f(x),
而g(x)-f(x-2)=2,则g(x+2)-f(x)=2,
故g(x+2)=2+f(x)=g(-x+2),
所以g(x+2)是偶函数,故C正确;
因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+6)-f(x+4)=2,
又因为f(x)+g(x+6)=4,所以f(x)+f(x+4)=2,
所以f(x+4)+f(x+8)=2,所以f(x)=f(x+8),所以f(x)的周期为8.因为g(x+2)是偶函数,所以y=f(x)+2是偶函数,则f(x)是偶函数.
因为g(x)-f(x-2)=2,所以g(x+4)-f(x+2)=2,g(4-x)-f(2-x)=2,
所以g(x+4)+g(4-x)-f(x+2)-f(2-x)=4,即f(x+2)+f(2-x)=2,
因为g(2)=4,所以由g(x)-f(x-2)=2,得g(2)-f(0)=2,得f(0)=2,
由f(x+2)+f(2-x)=2,得f(2)=1,f(4)+f(0)=2,f(4)=0,f(3)+f(1)=2,
因为f(x)的周期为8,所以f(5)=f(-3)=f(3),f(6)=f(-2)=f(2)=1,f(7)=f(-1)=f(1),(共19张PPT)
培优拓展(二)导数应用中的函数构造
导数中的函数构造问题是高考考查的一个热点内容,经常以客观题形式出现,通过已知等式或不等式的结构特征,构造新函数,解决比较大小、解不等式、恒成立等问题.常见的构造函数的形式是利用求导法则,常见类型如下:
(1)利用f(x)与x构造
①出现nf(x)+xf'(x)的形式,构造函数F(x)=xnf(x);
②出现xf'(x)-nf(x)的形式,构造函数
角度一 根据求导法则构造函数
例1(1)(2024山西大同模拟)设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的可导函数,且满足2xf'(x)+f(x)<0,其中f'(x)为f(x)的导函数,则对于任意a>b>0,必有( )
A.a2f(a)b2f(b) C.af(a2)bf(b2)
C
(2)(2024浙江杭州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)sin x+f'(x)cos x >0,则( )
B
(3)(2024湖南邵阳二模)已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数.若f(1)=e,且f'(x)+exA.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞)
D
角度二 寻找共性构造函数
A.aC.bD
(2)(2024陕西商洛模拟)已知函数f(x)=2xln x-ax2,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),当x1>x2时,都有2x1+f(x2)>2x2+f(x1),则实数a的取值范围为( )
C
解析 不等式2x1+f(x2)>2x2+f(x1)等价于f(x1)-2x1令F(x)=f(x)-2x,x∈(0,+∞),根据题意对任意的x1,x2∈(0,+∞),
当x1>x2时,F(x1)(3)(2024山东菏泽模拟)若对于任意正数x,y,不等式x(1+ln x)≥xln y-ay恒成立,则实数a的取值范围是( )
C
针对训练
A.cC.bA
2.(2024四川成都模拟)若函数f(x)对任意的x∈R都有f'(x)A.2f(2)>e2f(ln 2) B.2f(2)=e2f(ln 2)
C.2f(2)C
3.(2024河北承德模拟)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为(0,+∞),且xf'(x)>(x-1)f(x)恒成立,f(3)=e,则不等式(x+4)f(x+4)<3ex+2的解集为( )
A.(-4,-1) B.(-1,1)
C.(-1,2) D.(-1,+∞)
A
4.(2024湖北孝感模拟)定义在(0,+∞)内的函数f(x)的导函数为f'(x),且
(x3-x2+x)f'(x)<(3x2-2x+1)f(x)恒成立,则必有( )
D(共26张PPT)
培优拓展(三)同构函数
同构函数问题是近几年高考的热点问题.同构函数问题是指在不等式、方程、函数中,通过等价变形形成相同形式,再构造函数,利用函数的性质解决问题,常见的同构有双变量同构和指对同构,一般都是压轴题,难度较大.
角度一 双变量同构型
例1(1)若实数a,b满足4a+log3a=8b+3log27b,则( )
C.a>b3 D.aA
解析 由题意知a>0,b>0,∵4a=22a,8b=23b,3log27b=log3b,∴22a+log3a=23b+log3b,
∴22a+log3a+log32=23b+log3b+log32,
即22a+log32a=23b+log32b,
∵y=log3x在(0,+∞)内单调递增,∴log32b设f(x)=2x+log3x,则f(2a)∵y=2x与y=log3x在(0,+∞)内单调递增,∴f(x)在(0,+∞)内单调递增,∴2a<3b,即a< .故选A.
(2)(2024福建福州模拟)已知函数f(x)=x-1-aln x(a∈R),g(x)= .
①当a=-2时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;
②若a<0,且对任意x1,x2∈(0,1],都有|f(x1)-f(x2)|<4|g(x1)-g(x2)|,求实数a的取值范围.
角度二 指对跨阶同构型
例2(2024湖南长沙模拟)已知函数f(x)=x(aex-1),a∈R.
(1)当a=1时,求f(x)的极小值;
(2)若g(x)=f(x)+(2-ln x-x)e3+x,求证:当a>1时,g(x)>0.
(1)解 当a=1时,f(x)=x(ex-1),则f'(x)=ex(x+1)-1,
当x>0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)内单调递增;
当x<0时,0所以函数f(x)在x=0处取得极小值,为f(0)=0.
(2)证明 依题意,g(x)=axex+(2-ln x-x)e3的定义域为(0,+∞),
当a>1时,g(x)>xex+(2-ln x-x)e3,则只需证xex+(2-ln x-x)e3≥0,
只需证ex+ln x+(2-ln x-x)e3≥0,只需证ex+ln x-2-(x+ln x-2)e≥0.
令t=x+ln x-2,因为x∈(0,+∞),则t∈R.
只需证et-et≥0,令h(t)=et-et,所以h'(t)=et-e.
则当t∈(-∞,1)时,h'(t)<0,h(t)单调递减;
当t∈(1,+∞)时,h'(t)>0,h(t)单调递增.所以h(t)min=h(1)=0,所以et-et≥0恒成立,即当a>1时,g(x)>0.
角度三 零点同构型
D
(2)(2024辽宁大连模拟)已知函数f(x)=x2+2x+ex+1+e-x-1+k有且只有一个零点,则k的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
A
解析 f(x)定义域为R,且f'(x)=2x+2+ex+1-e-x-1=x+1+ex+1-[-(x+1)+e-(x+1)],
令g(x)=x+ex,则g'(x)=1+ex>0恒成立,故g(x)=x+ex在R上单调递增,
当x+1>-(x+1),即x>-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
当x+1<-(x+1),即x<-1时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
故f(x)在x=-1处取得极小值,也是最小值,
故要想满足f(x)有且只有一个零点,只需f(-1)=0,
即1-2+e-1+1+e1-1+k=0,解得k=-1.故选A.
针对训练
1.(2024河北沧州模拟)已知函数f(x)=ln x-ax+1,a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若 x>0,f(x)≤xe2x-2ax恒成立,求实数a的取值范围.
(2)设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,在区间(-∞,0)内,g'(x)<0,g(x)单调递减,在区间(0,+∞)内,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)≥g(0)=e0-0-1=0,所以ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立).
设g(x)=ex-x-1,则g'(x)=ex-1,
当x>0时,g'(x)>0,函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,
当x<0时,g'(x)<0,函数g(x)在(-∞,0)内单调递减,
又g(0)=0,所以ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号.
令t(x)=ln x+3x,因为y=ln x,y=3x在(0,+∞)内单调递增,
所以t(x)在(0,+∞)内单调递增.
所以xe3x=eln x+3x≥ln x+3x+1,当且仅当x=x0时取等号.
①当a≤3时,xe3x=eln x+3x≥ln x+3x+1≥ln x+ax+1成立.
综上,a的取值范围是(-∞,3].(共20张PPT)
培优拓展(四)隐零点问题
导函数的零点在很多情况下是无法直接求解出来的,我们称之为“隐零点”,既能确定其存在,但又无法用显性的代数方法进行表达.这类问题的解题思路是对导函数的零点设而不求,通过整体代换和过渡,再结合题目条件解决问题.
角度一 不含参函数的隐零点问题
例1(2024山东威海二模)已知函数f(x)=ln x-ax+1.
(1)求f(x)的极值;
(2)证明:ln x+x+1≤xex.
角度二 含参函数的隐零点问题
例2(2024江苏模拟预测)已知函数f(x)=ax-elogax-e,其中a>1.
(1)若a=e,证明f(x)≥0;
(2)讨论f(x)的极值点的个数.
(1)证明 当a=e时,f(x)=ex-eln x-e,f'(x)=ex- ,f'(1)=0,f(1)=0,又易知f'(x)在(0,+∞)内为增函数,
所以当0当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增,
从而f(x)≥f(1)=0.
设g(x)=xaxln2a-e,a>1,显然函数g(x)在(0,+∞)内单调递增,g(x)与f'(x)同号,
①当a>e时,g(0)=-e<0,g(1)=aln2a-e>0,所以函数g(x)在(0,1)内有一个零点x0,
且x∈(0,x0),g(x)<0,x∈(x0,+∞),g(x)>0,
故f(x)在(0,x0)内单调递减,在(x0,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;
②当a=e时,由(1)知,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点;
且当x∈(0,x1)时,g(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,g(x)>0,
故f(x)在(0,x1)内单调递减,在(x1,+∞)内单调递增,
所以函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.
综上所述,函数f(x)在(0,+∞)内有且仅有一个极值点.
针对训练
1.(2024浙江杭州模拟)已知函数f(x)=(x+a)ln x- x2.
(1)若f(x)在其定义域内单调,求实数a的取值范围;
(2)若a=2,f(x)的极大值为M,证明:M>0.
当x∈(0,1)时,F'(x)>0,F(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,F'(x)<0,F(x)单调递减,
故F(x)max=F(1)=0,故F(x)≤0,即ln x≤x-1,
又x>0,∴g(x)≤a,
∵函数f(x)在其定义域内单调,∴依题知f'(x)≤0在其定义域内恒成立,
∴g(x)≤0在其定义域内恒成立,∴a≤0,即实数a的取值范围为(-∞,0].
∵在(0,x1)上,h(x)>0,即f'(x)>0,在(x1,+∞)上,h(x)<0,即f'(x)<0,
∴f(x)在(0,x1)内单调递增,在(x1,+∞)内单调递减,
2.(2024北京朝阳一模)已知函数f(x)=(1-ax)ex(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若关于x的不等式f(x)>a(1-x)无整数解,求a的取值范围.
设t(x)=ex+x-2,t'(x)=ex+1>0,所以t(x)单调递增,
且t(0)=-1<0,t(1)=e-1>0,所以存在x0∈(0,1),使t(x0)=0,即h'(x0)=0,
当x∈(-∞,x0)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,
设φ(x)=ex-x-1,则φ'(x)=ex-1,当x>0时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,当x<0时,φ'(x)<0,φ(x)单调递减,所以φ(x)≥φ(0)=0,当且仅当x=0时,等号成立.(共20张PPT)
培优拓展(五)极值点偏移问题
1.极值点偏移是指函数在极值点x0左边和右边的增减速度不一样,导致函数图象不关于直线x=x0对称,如图所示.
(1)左右对称,无偏移,如二次函数.若f(x1)=f(x2),则x1+x2=2x0,如图(1).
(2)左陡右缓,极值点向左偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x2>2x0,如图(2).
(3)左缓右陡,极值点向右偏移.若f(x1)=f(x2),则x1+x2<2x0,如图(3).
图(1)
图(2)
图(3)
2.极值点偏移问题的结论不一定总是x1+x2>2x0(或<2x0),也可能是
x1x2>
常用的解法有对称化构造函数法和比值代换法.
角度一 对称化构造函数
例1(2024广东湛江一模)已知函数
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若方程f(x)=1有两个根x1,x2,求实数a的取值范围,并证明:x1x2>1.
当00,则f(x)在(0,1)内单调递增,
当x>1时,f'(x)<0,则f(x)在(1,+∞)内单调递减.
角度二 比(差)值换元
例2(2024天津一模)设函数f(x)=x2+ln x.
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)设函数g(x)=f(x)-ax(a∈R).
①若x=1时,g(x)取得极值,求g(x)的单调区间;
(1)解 f'(x)=2x+ ,则f'(1)=3,f(1)=1,
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=3(x-1),即y=3x-2.
针对训练
1.(2024山西太原模拟)已知函数f(x)=ln x+ +mx.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(02.
当- 0时,x1<0∴函数h(x)在(0,1)内单调递增,
∴h(x1)=g(2-x1)-g(x1)∴g(2-x1)∵2-x1>1,x2>1,g(x)在(1,+∞)内单调递增,∴2-x12.
2.(2024江西南昌高三期末)已知函数f(x)=x-ln x-2.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若方程f(x)=a有两个不相等的实数根x1,x2(x13.
所以f'(x)>0 x>1,f'(x)<0 0从而f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,
故f(x)min=f(1)=-1.
(2)证明 由(1)可得0因为x1和x2是方程f(x)=a的实根,
两式作差得x1-x2-ln x1+ln x2=0,(共40张PPT)
专题突破练1 函数的图象与性质
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主干知识达标练
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1.(2024广东广州期末)若函数f(x)= +lg(2x-1),则f(x)的定义域为( )
A.{x|x>0} B.{x|x≤1}
C.{x|0C
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3.(2024陕西西安二模)已知函数f(x)的图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为( )
B
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解析 对于A,函数f(x)=cos 2x·(ex-e-x)的定义域为R,而题设函数的图象中在自变量为0时无意义,不符合图象,排除;
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4.(2024河北邯郸三模)已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(x+2)=f(x),且f(x)在[-1,0]上单调递减,若a=f(log345),b=f(-log58),c=f( ),则( )
A.aC.cB
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5.(2024辽宁一模)已知函数f(x+2)为偶函数,且当x≥2时,f(x)= ,若f(a)>f(b),则( )
A.(a+b-4)(a-b)<0
B.(a+b-4)(a-b)>0
C.(a+b+4)(a-b)<0
D.(a+b+4)(a-b)>0
A
解析 因为函数f(x+2)为偶函数,故其图象关于y轴对称,则f(x)的图象关于直线x=2对称,
当x≥2时,f(x)=lo(x2-4x+7),因为y=x2-4x+7在[2,+∞)上单调递增,而
y= 在(0,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上单调递减,
则f(x)在(-∞,2]上单调递增,故由f(a)>f(b),可得|a-2|<|b-2|,
即|a-2|2<|b-2|2,
则a2-4a+41
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6.(多选题)(2024广东惠州三模)德国数学家狄利克雷是解析数论的创始人之一.他提出了著名的狄利克雷函数: 以下对D(x)的说法正确的是( )
A.D(D(x))=1
B.D(x)的值域为{0,1}
C.存在x是无理数,使得D(x+1)=D(x)+1
D. x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1)
ABD
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解析 由 可得D(x)的值域为{0,1},所以D(D(x))=1,故选项A,B正确;因为当x是无理数时,D(x)=0且x+1是无理数,所以D(x+1)=0,所以D(x+1)≠D(x)+1,故选项C错误;
当x是无理数时,x+1,-x-1均为无理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=0,
当x是有理数时,x+1,-x-1均为有理数,此时有D(x+1)=D(-x-1)=1,所以 x∈R,总有D(x+1)=D(-x-1),故选项D正确.故选ABD.
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7.(多选题)(2024广东中山模拟)已知函数f(x)的定义域为R,f(x-1)是奇函数,f(x+1)为偶函数,当-1≤x≤1时, ,则( )
A.f(x)的图象关于直线x=1对称
B.f(x)的图象关于点(-1,0)对称
C.f(x+8)=f(x)
D.f(2 021)=
ABC
解析 设g(x)=f(x-1),因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=f(-x-1)=-g(x)=-f(x-1),即
f(-1+x)+f(-1-x)=0,
即f(x)的图象关于点(-1,0)对称,B正确;
设h(x)=f(x+1),因为h(x)为偶函数,所以h(-x)=h(x),
即f(-x+1)=f(x+1),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,A正确;
由f(x)的图象关于点(-1,0)对称可得f(x)+f(-2-x)=0,由f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f(x)=f(2-x),两式联立得f(2-x)+f(-2-x)=0,把x换成x+2,得f(-x)+f(-4-x)=0,即f(x)+f(x-4)=0,把x换成x-4,
得f(x-4)+f(x-8)=0,即f(x)=f(x-8),把x换成x+8,则有f(x+8)=f(x),故f(x)的周期为8,
故C正确;
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因为T=8,所以f(2 021)=f(252×8+5)=f(5)=f(-3),
又f(-1+x)+f(-1-x)=0,令x=-2,得f(-3)+f(1)=0,
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8.(5分)(2024山东聊城一模)若函数 的值域为(2,+∞),则实数a的取值范围为 .
a>1
解析 当x>4时,f(x)=log2x,此时f(x)>log24=2,故当x≤4时,有6a-x>2恒成立,即6a>2+x在x≤4时恒成立,即6a>6,即a>1.
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9.(5分)(2024广东茂名期中)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,f(3)=0,对任意两个不相等的正实数a,b都有 >0,则不等式f(2x-1)<0的解集为 .
(0,2)
解析 不妨设a>b>0,则 >0等价于f(a)>f(b),所以f(x)在(0,+∞)内单调递增,又函数f(x)为奇函数,所以f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)内均单调递增.
∵f(3)=0,∴f(-3)=0,易知当x∈(0,3)时,f(x)<0,当x∈(-∞,-3)时,f(x)<0.
则由不等式f(2x-1)<0可知2x-1<-3或0<2x-1<3,即2x<-2或1<2x<4,∴20<2x<22,∴01
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10.(5分)(2024北京丰台一模)已知函数f(x)具有下列性质:
①当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1;
②在区间(0,+∞)上,f(x)单调递增;
③f(x)是偶函数.
则f(0)= ;函数f(x)可能的一个解析式为f(x)= .
-1
|x|-1(答案不唯一)
解析 因为当x1,x2∈[0,+∞)时,都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,可得f(0)=f(0)+f(0)+1,解得f(0)=-1.不妨令f(x)=|x|-1,x∈R,
又f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x),所以f(x)为偶函数,满足③;
当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=|x1+x2|-1=x1+x2-1,f(x1)=|x1|-1=x1-1,f(x2)=|x2|-1=x2-1,所以f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,满足①.
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关键能力提升练
11.(2024广西柳州三模)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对于任意的x,y∈R,都有|f(x)-f(y)|<|x-y|.若函数g(x)=f(x)+x,则不等式g(2x-x2)+g(x-2)<0的解集是( )
A.(-1,2)
B.(1,2)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)
D.(-∞,1)∪(2,+∞)
D
解析 ∵f(x)是定义在R上的奇函数,即f(x)+f(-x)=0,
∴g(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-g(x),故g(x)为奇函数.
∵对于任意的x,y∈R,有|f(x)-f(y)|<|x-y|,
∴|(g(x)-x)-(g(y)-y)|<|x-y|,当x≠y时,
∵g(2x-x2)+g(x-2)<0,∴g(2x-x2)<-g(x-2)=g(2-x),∴2x-x2<2-x,
整理得,x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,故选D.
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12.(多选题)(2024福建莆田二模)已知定义在R上的函数f(x)满足: f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则( )
A.y=f(x)是奇函数
B.若f(1)=1,则f(-2)=4
C.若f(1)=-1,则y=f(x)+x3为增函数
D.若 x>0,f(x)+x3>0,则y=f(x)+x3为增函数
ABD
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解析 对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,令x=y=0,可得f(0)=2f(0),解得f(0)=0.令y=-x,可得f(0)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0,故y=f(x)是奇函数,A正确;
对于B,令x=y=1,可得f(2)=2f(1)-3×2,又f(1)=1,则f(2)=2×1-6=-4;
由A可知,y=f(x)为奇函数,故f(-2)=-f(2)=4,故B正确;
对于C,由A知,f(0)=0,又f(1)=-1,对y=f(x)+x3,
当x=0时,y=f(0)+0=0;当x=1时,y=f(1)+1=0.
故当f(1)=-1时,y=f(x)+x3不是增函数,故C错误;
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13.(多选题)(2024湖南邵阳一模)已知函数f(x)与其导函数g(x)的定义域均为R,且y=f(x)-x与y=g(1-2x)均为偶函数,则下列说法一定正确的有( )
A.f(x)关于x=1对称
C.g(x+2)+g(x)=2
D.g(0)=1
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解析 对于A项,因为y=g(1-2x)为偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=1对称.若f(x)的图象关于直线x=1对称,则导函数g(x)的图象关于点(1,0)对称,这与g(x)的图象关于直线x=1对称矛盾,所以A错误;
对于B项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以f(x)-x=f(-x)+x,即f(x)-f(-x)=2x,
对于C项,因为y=f(x)-x为偶函数,所以y=f'(x)-(x)'=g(x)-1为奇函数,
所以y=g(x)-1的图象关于点(0,0)对称,g(x)的图象关于点(0,1)对称,
所以g(-x)+g(x)=2.
又g(x)的图象关于直线x=1对称,所以g(1+(x+1))=g(1-(x+1)).
所以,g(x+2)=g(1+(x+1))=g(1-(x+1))=g(-x)=2-g(x),
所以g(x+2)+g(x)=2,故C正确;
对于D项,由C知,g(-x)+g(x)=2,所以g(0)=1,D正确.故选BCD.
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14.(5分)(2024福建龙岩一模)定义在R上的函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)在(-∞,2]上单调递减,则不等式f(2x+3)≤f(1)的解集为 .
[-1,0]
解析 因为函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x),则f(x)的图象关于直线x=2对称,
又因为f(x)在(-∞,2]上单调递减,则f(x)在[2,+∞)上单调递增,
则由f(2x+3)≤f(1)得|2x+3-2|≤|1-2|,即|2x+1|≤1,解得-1≤x≤0,则不等式的解集为[-1,0].
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15.(5分)(2024山东日照期末)已知f(x)不是常数函数,且满足:f(x)+f(-x)=0, f(x+π)=f(x).①请写出函数f(x)的一个解析式:
;②将你写出的解析式f(x)构成 ,若h(-3)+h(3)=-3,则实数a的值为 .
y=sin 2x(答案不唯一,是周期为π的奇函数均可)
0或2
解析 由f(x)+f(-x)=0,可知函数f(x)为奇函数,
由f(x+π)=f(x),可知函数是周期函数,周期为π,函数f(x)的一个解析式为
y=sin 2x.
则h(-x)+h(x)=-a2+2a-3,由题意可知,-a2+2a-3=-3,解得a=0或a=2.
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16.(5分)(2024浙江杭州模拟)用max{a,b}表示a,b两个数中的最大值,设函数f(x)=max{|x|+1, -x}(x>0),若f(x)≥m+1恒成立,则m的最大值是 .
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19.(5分)(2024河南郑州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)=1-|2x-1|,若对任意x∈(-∞,t],都有f(x)≤2,则t的取值范围是 .
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核心素养创新练
①函数y=cos h(x)是偶函数,且最小值为2;
②函数y=sin h(x)是奇函数,且在R上单调递增;
③函数y=tan h(x)在R上单调递增,且值域为(-1,1);
④若直线y=t与函数y=cos h(x)和y=sin h(x)的图象共有三个交点,这三个交点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1+x2+x3>ln(1+ ).
其中所有正确结论的序号是 .
②③④
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对④:由①②知y=cos h(x)是偶函数且最小值为1,y=sin h(x)是奇函数且在R上单调递增,所以函数y=t与y=cos h(x)和y=sin h(x)的图象共有三个交点,则得t>1.设直线y=t与y=cos h(x)的图象交点的横坐标是x1,x2,直线y=t与y=sin h(x)的图象交点的横坐标是x3.
由双曲余弦函数为偶函数,得x1+x2=0,则得
故④正确.故答案为②③④.
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20(共39张PPT)
专题突破练2 基本初等函数、函数的应用
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主干知识达标练
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1.(2024北京石景山一模)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( )
A.f(x)=sin x B.f(x)=cos x
C.f(x)=ln(x+1) D.f(x)=2-x
D
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2.(2024江苏南通期末)设a∈R.若函数f(x)=(a-1)x为指数函数,且f(2)>f(3),则a的取值范围是( )
A.(1,2) B.(2,3)
C.(-∞,2) D.(-∞,1)∪(1,2)
解析 由函数f(x)=(a-1)x为指数函数,故a>1且a≠2,
当a>2时,函数f(x)=(a-1)x单调递增,有f(2)当1f(3),符合题意,故正确.故选A.
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3.(2024陕西西安三模)已知函数f(x)=ln|x|,设a=f(-3),b=f( ),c=f(2),则( )
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>a>b D.b>a>c
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4.(2024浙江二模)若函数f(x)=ln(ex+1)+ax为偶函数,则实数a的值为( )
A
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A.(-1,0)∪(0,1)
B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1)
D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
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解析 由函数y=f(x+1)图象关于点(-1,0)中心对称,知函数f(x)的图象关于点(0,0)中心对称,所以f(x)为奇函数.令g(x)=xf(x),则g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),所以g(x)为偶函数.
所以g(x)在(-∞,0)内单调递减.
由f(1)=4,得g(1)=4,g(-1)=4,
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6.(多选题)(2024河南信阳模拟)函数f(x)=loga|x|+1(0BCD
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解析 函数f(x)=loga|x|+1(0因为f(-x)=loga|x|+1=f(x),所以函数f(x)为偶函数.
当x∈(0,+∞)时,f(x)=logax+1(0故函数f(x)=loga|x|+1(01
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C
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8.(5分)(2024北京延庆一模)已知函数f(x)=xα(0<α<1)在区间(-1,0)上单调递减,则α的一个取值为 .
解析 因为f(x)=xα(0<α<1)在(0,+∞)上单调递增,又f(x)在区间(-1,0)上单调递减,
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9.(5分)(2024陕西西安二模)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时, f(x)=2lg(-x)-x2,则f( )= .
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关键能力提升练
11.(多选题)(2024江苏徐州模拟)设函数 函数
g(x)=f(x)-f(-x),则下列说法正确的是( )
A.当a=0时,函数g(x)有3个零点
B.当a>0时,函数g(x)只有1个零点
C.当-2D.存在实数a,使得函数g(x)没有零点
ABC
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解析 函数g(x)的零点个数即方程g(x)=0的不相等的根的个数,
当x≥0时,f(x)=x|x-2|,则-x≤0,f(-x)=-ax,
由f(x)-f(-x)=0,有x|x-2|=-ax,所以x=0或-a=|x-2|,
当x<0时,f(x)=ax,则-x>0,f(-x)=-x|x+2|,
由f(x)-f(-x)=0,有-x|x+2|=ax,所以-a=|x+2|,
所以问题转化为关于x的方程-a=|x-2|(x≥0)和-a=|x+2|(x<0)的解的个数,
作出函数y=|x-2|(x≥0),y=|x+2|(x<0),y=-a的图象如图.
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当-a=2,即a=-2时,有3个交点,即函数g(x)有4个零点,
当0<-a<2,即-2当-a<0,即a>0时,只有x=0这一个零点,函数g(x)只有1个零点,
当-a>2或-a=0,即a<-2或a=0时,有2个交点,函数g(x)有3个零点,
无论实数a取何值,使得函数g(x)总有零点.故选ABC.
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12.(多选题)(2024广东湛江一模)已知大气压强p(Pa)随高度h(m)的变化满足关系式ln p0-ln p=kh,p0是海平面大气压强,k=10-4.我国陆地地势可划分为三级阶梯,其平均海拔如下表:
阶梯 平均海拔/m
第一级阶梯 ≥4 000
第二级阶梯 [1 000,2 000]
第三级阶梯 [200,1 000)
若用平均海拔的范围直接代表各级阶梯海拔的范围,设在第一、二、三级阶梯某处的压强分别为p1,p2,p3,则( )
A.p1≤ B.p0ACD
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13.(多选题)(2024江苏南京模拟)已知函数 ,下列结论正确的有( )
A.f(x)在区间(1,+∞)单调递增
B.f(x)图象关于y轴对称
C.f(x)在定义域内只有1个零点
D.f(x)的值域为[0,1]
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15.(多选题)(2024陕西宝鸡模拟)已知函数f(x)=lg x+lg(2-x),则下列结论中正确的是( )
A.f(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,2)上单调递增
B.f(x)在区间(0,2)上单调递减
C.f(x)的图象关于直线x=1对称
D.f(x)有最大值,但无最小值
CD
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解析 函数f(x)=lg x+lg(2-x)的定义域为(0,2),且f(x)=lg x+lg(2-x)=lg(-x2+2x).
因为y=-x2+2x在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,且y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,故选项A,B错误;由于f(2-x)=lg(2-x)+lg x=f(x),故f(x)的图象关于直线x=1对称,故选项C正确;
因为y=-x2+2x在x=1处取得最大值,且y=lg x在区间(0,+∞)上单调递增,故f(x)有最大值,但无最小值,故选项D正确.故选CD.
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16.(2024安徽黄山模拟)“a<1”是“函数f(x)=log2[(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增”的( )
A.充分不必要条件
B.充要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
C
解析 令u=(1-a)x-1,则y=log2u,若f(x)=log2[(1-a)x-1]在区间(1,+∞)上单调递增,因为y=log2u在(1,+∞)上单调递增,则需使u=(1-a)x-1在区间(1,+∞)上单调递增,且u>0,则1-a>0,且1-a-1≥0,解得a≤0,因为(-∞,0] (-∞,1),故“a<1”是“a≤0”的必要不充分条件,故选C.
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17.(2024黑龙江哈尔滨模拟)已知函数f(x)=|ln x|,若0A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞)
C
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f(x)=2x(答案不唯一)
解析 因为对于 x1,x2∈R,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),
所以对应的函数可以是指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),
因为对于 x1,x2∈R且x1≠x2,有 >0,所以此函数在R上为增函数,
所以a>1,所以满足以上两个条件的一个函数为f(x)=2x.
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19.(5分)(2024山东济南期末)已知函数f(x)= g(x)=-x+a,若函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点x1,x2,x3,则x1·x2·x3的取值范围是 .
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解析 由题意设h(x)=f(x)+x,则函数F(x)=f(x)-g(x)的零点即为方程h(x)=a的根,在同一平面直角坐标系中分别画出函数h(x)的大致图象以及直线y=a,如图所示.
若函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点x1,x2,x3(不妨设为x1则方程h(x)=a有三个根x1,x2,x3,且x1≤01
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又函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,
函数f(x)的大致图象如图所示.
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核心素养创新练
21.(多选题)(2024湖北武汉二模)我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数.已知函数f(x)= ,则下列结论正确的有( )
A.函数f(x)的值域为(0,2]
B.函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C.函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于直线x=1对称
D.若函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,且其图象与函数f(x)的图象有2 024个交点,记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2 024),则
BCD
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对于C,由选项B知,f(-x+1)-1=-[f(x+1)-1],即f(1-x)+f(1+x)=2,
两边求导得-f'(1-x)+f'(1+x)=0,即f'(1-x)=f'(1+x),因此函数f(x)的导函数f'(x)的图象关于直线x=1对称,C正确;
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对于D,由函数g(x)满足y=g(x+1)-1为奇函数,得函数g(x)的图象关于点(1,1)成中心对称,
由选项B知,函数g(x)的图象与函数f(x)的图象有2 024个交点关于点(1,1)对称,